江西省南昌市2019-2020学年高考数学五模考试卷含解析

江西省南昌市2019-2020学年高考数学五模考试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若向量(1,5),(2,1)a b ==-v v ，则(2)a a b ⋅+=v
v v （ ）
A ．30
B ．31
C ．32
D ．33
【答案】C 【解析】 【分析】
先求出2a b +r r ,再与a r
相乘即可求出答案.
【详解】
因为2(1,5)(4,2)(3,7)a b +=+-=-r r ,所以(2)35732a a b ⋅+=-+⨯=r r r
.
故选:C. 【点睛】
本题考查了平面向量的坐标运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.
2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（ ） A ．96里 B ．72里
C ．48里
D ．24里
【答案】B 【解析】 【分析】
人每天走的路程构成公比为1
2
的等比数列，设此人第一天走的路程为1a ，计算1192a =，代入得到答案. 【详解】
由题意可知此人每天走的路程构成公比为
1
2
的等比数列，设此人第一天走的路程为1a ， 则611123781
12
a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢
⎥⎣⎦=-，解得1192a =，从而可得3
241119296,1922422a a ⎛⎫=⨯==⨯= ⎪⎝⎭，故24962472a a -=-=.
故选：B . 【点睛】
本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
3．如图，点E 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）
A ．在点F 的运动过程中，存在EF//BC 1
B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AE
C ．四面体EMAC 的体积为定值
D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值 【答案】C 【解析】 【分析】
采用逐一验证法，根据线线、线面之间的关系以及四面体的体积公式，可得结果. 【详解】 A 错误
由EF ⊂平面AEC ，1BC //1AD 而1AD 与平面AEC 相交，
故可知1BC 与平面AEC 相交，所以不存在EF//BC 1 B 错误，如图，作11B M BD ⊥
由11,,AC BD AC BB BD BB B ⊥⊥⋂=
又1,BD BB ⊂平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D 又1B M ⊂平面11BB D D ，所以1B M AC ⊥
由OE //1BD ，所以1B M OE ⊥
AC OE O =I ，,AC OE ⊂平面AEC
所以1B M ⊥平面AEC ，又AE ⊂平面AEC 所以1B M AE ⊥，所以存在 C 正确
四面体EMAC 的体积为1
3
M AEC AEC V S h -∆=
⋅⋅ 其中h 为点M 到平面AEC 的距离，
由OE //1BD ，OE ⊂平面AEC ，1BD ⊄平面AEC 所以1BD //平面AEC ，
则点M 到平面AEC 的距离即点B 到平面AEC 的距离， 所以h 为定值，故四面体EMAC 的体积为定值
D 错误
由AC //11A C ，11A C ⊂平面11A C B ，AC ⊄平面11A C B 所以AC //平面11A C B ，
则点F 到平面11A C B 的距离1h 即为点A 到平面11A C B 的距离， 所以1h 为定值
所以四面体FA 1C 1B 的体积111111
3
F A C B A C B V S h -∆=⋅⋅为定值 故选：C 【点睛】
本题考查线面、线线之间的关系，考验分析能力以及逻辑推理能力，熟练线面垂直与平行的判定定理以及性质定理，中档题.
4．若复数()(1)2z i i =++（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】A 【解析】 【分析】
将z 整理成a bi +的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限. 【详解】
解：2
21()()2313z i i i i i =++=++=+，所以z 所对应的点为()1,3在第一象限.
【点睛】
本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把2i 当成1进行计算. 5．设复数z 满足21z i z -=+，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ） A ．2430x y --= B ．2430x y +-= C ．4230x y +-= D ．2430x y -+=
【答案】B 【解析】 【分析】
设z x yi =+，根据复数的几何意义得到x 、y 的关系式，即可得解； 【详解】 解：设z x yi =+
∵|2||1|z i z -=+，∴2222(2)(1)x y x y +-=++，解得2430x y +-=. 故选：B 【点睛】
本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.
6．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，8f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
π且在()0,π上是单调函数，则下列说法正确的是（ ）
A ．1
2
ω=
B ．82f π⎛⎫
-
= ⎪
⎝⎭
C ．函数()f x 在,2ππ⎡
⎤--⎢⎥⎣⎦
上单调递减
D ．函数()f x 的图像关于点5,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数()f x ，在()0,π上是单调函数，确定 01ω<≤，然后一一验证， A.若12ω=
，则()12sin 2ϕ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭f x x ，由02f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，得34πϕ=，但
13
sin 84
82πππ⎛⎫
⨯+≠ ⎛⎫= ⎪⎭⎪⎝⎭
⎝f .B.由8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，确定()2
22sin 33π⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
f x x ，再求解8f π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调性判断.D.计算54
f π
⎛⎫
⎪⎝⎭
是否为0.
因为函数()f x ，在()0,π上是单调函数， 所以
2
T ≥π ，即22ππω≥，所以 01ω<≤ ，
若12ω=
，则()12sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
f x x ，又因为02f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，即1sin 0222ππϕ⎛⎫⎛⎫
⨯+= ⎪⎝=⎪⎝⎭
⎭f ，解得34πϕ=，
而13sin 84822
ππ
π⎛⎫
⨯+≠ ⎛⎫=
⎪⎭⎪⎝⎭⎝f ，故A 错误. 由2sin 022πωπϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭f ，不妨令2ωπϕπ+= ，得2
πω
ϕπ=-
由sin 882ππωϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ，得 2+84ππωϕπ⨯+=k 或32+84ππωϕπ⨯+=k 当2+
8
4
π
π
ωϕπ⨯
+=k 时，2=
23
k π
ω+，不合题意. 当32+
8
4π
πωϕπ⨯
+=k 时，22
=33
k πω+，此时()222sin 33π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
f x x
所以222272sin 2sin 2sin 8383383
122ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫-
=⨯-+=⨯-+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
f ，故B 正确. 因为2
2,,0,2333ππππ⎡⎤⎡⎤∈--
+∈⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦x x ，函数()f x ，在0,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
上是单调递增，故C 错误. 52523
2sin 2sin 0434
32f π
πππ⎛⎫⎛⎫
=⨯
+==≠ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，故D 错误. 故选：B 【点睛】
本题主要考查三角函数的性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于较难的题.
7．直线0(0)ax by ab ++=>与圆2
2
1x y +=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．相交或相切
【答案】D 【解析】 【分析】
由几何法求出圆心到直线的距离，再与半径作比较，由此可得出结论． 【详解】
解：由题意，圆2
2
1x y +=的圆心为()0,0O ，半径1r =，
∵圆心到直线的距离为d =
222a b ab +≥Q ，
1d ∴≤，
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
8．已知集合M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，N ＝{x|x （x+3）≤0}，则M∩N ＝（ ） A ．[﹣3，2） B ．（﹣3，2） C ．（﹣1，0] D ．（﹣1，0）
【答案】C 【解析】 【分析】
先化简N ＝{x|x （x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根据M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，求两集合的交集. 【详解】
因为N ＝{x|x （x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}， 又因为M ＝{x|﹣1＜x ＜2}， 所以M∩N ＝{x|﹣1＜x≤0}. 故选：C 【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
9．若函数()()2
2
2cos 137f x x x m x m m =+-+++-有且仅有一个零点，则实数m 的值为（ ）
A B C ．4- D ．2
【答案】D 【解析】 【分析】
推导出函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称，由题意得出()10f -=，进而可求得实数m 的值，并对m 的值进行检验，即可得出结果. 【详解】
()()()2
21cos 138f x x m x m m =+-+++-Q ，
则()()()2
222111cos 1138cos 38f x x m x m m x m x m m -+=-++--++++-=-++-，
()()()2
222111cos 1138cos 38f x x m x m m x m x m m --=--+---+++-=-++-，
()()11f x f x ∴-+=--，所以，函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称.
若函数()y f x =的零点不为1x =-，则该函数的零点必成对出现，不合题意. 所以，()10f -=，即2280m m +-=，解得4m =-或2.
①当4m =-时，令()()()2
14cos 140f x x x =+-+-=，得()()2
4cos 141x x +=-+，作出函数
()4cos 1y x =+与函数()2
41y x =-+的图象如下图所示：
此时，函数()4cos 1y x =+与函数()2
41y x =-+的图象有三个交点，不合乎题意；
②当2m =时，()cos 11x +≤Q ，()()()2
12cos 120f x x x ∴=+-++≥，当且仅当1x =-时，等号成
立，则函数()y f x =有且只有一个零点. 综上所述，2m =. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出()10f -=，在求出参数后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
10．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 、Q 分别为AB 、AD 的中点，过点D 作平面α使1//B P 平面
α，1//A Q 平面α若直线11B D ⋂平面M α=，则
1
1
MD MB 的值为（ ） A ．
14
B ．
13
C ．
12 D ．
23
【答案】B
【解析】 【分析】
作出图形，设平面α分别交11A D 、11C D 于点E 、F ，连接DE 、DF 、EF ，取CD 的中点G ，连接PG 、
1C G ，连接11A C 交11B D 于点N ，推导出11//B P C G ，由线面平行的性质定理可得出1//C G DF ，可得出
点F 为11C D 的中点，同理可得出点E 为11A D 的中点，结合中位线的性质可求得
1
1
MD MB 的值. 【详解】 如下图所示：
设平面α分别交11A D 、11C D 于点E 、F ，连接DE 、DF 、EF ，取CD 的中点G ，连接PG 、1C G ，连接11A C 交11B D 于点N ，
Q 四边形ABCD 为正方形，P 、G 分别为AB 、CD 的中点，则//BP CG 且BP CG =，
∴四边形BCGP 为平行四边形，//PG BC ∴且PG BC =，
11//B C BC Q 且11B C BC =，11//PG B C ∴且11PG B C =，则四边形11B C GP 为平行四边形， 11//B P C G ∴，1//B P Q 平面α，则存在直线a ⊂平面α，使得1//B P a ，
若1C G ⊂平面α，则G ∈平面α，又D ∈平面α，则CD ⊂平面α， 此时，平面α为平面11CDD C ，直线1A Q 不可能与平面α平行， 所以，1C G ⊄平面α，1//C G a ∴，1//C G ∴平面α，
1C G ⊂Q 平面11CDD C ，平面11CDD C I 平面DF α=，1//DF C G ∴，
1//C F DG Q ，所以，四边形1C GDF 为平行四边形，可得11111
22
C E DG C
D C D ===，
F ∴为11C D 的中点，同理可证E 为11A D 的中点，11B D EF M =Q I ，11
1111
24
MD D N B D ∴==，因此，
1
1
1
3
MD
MB
=.
故选：B.
【点睛】
本题考查线段长度比值的计算，涉及线面平行性质的应用，解答的关键就是找出平面α与正方体各棱的交点位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．
8
3
B．3 C．
11
3
D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
首先把三视图转换为几何体，该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，由柱体、椎体的体积公式进一步求出几何体的体积.
【详解】
解：根据几何体的三视图转换为几何体为：
该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，
如图所示：
故：
11111
222112
2323
V=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.
故选：C.
【点睛】
本题考查了由三视图求几何体的体积、需熟记柱体、椎体的体积公式，考查了空间想象能力，属于基础题. 12．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()
3
2222x y x y +=.
给出下列四个结论： ①曲线C 有四条对称轴；
②曲线C 上的点到原点的最大距离为
1
4
； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为
18
； ④四叶草面积小于
4
π. 其中，所有正确结论的序号是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．①③④
D ．①②④
【答案】C 【解析】 【分析】
①利用,x y 之间的代换判断出对称轴的条数；②利用基本不等式求解出到原点的距离最大值；③将面积转化为,x y 的关系式，然后根据基本不等式求解出最大值；④根据,x y 满足的不等式判断出四叶草与对应圆的关系，从而判断出面积是否小于4
π. 【详解】
①：当x 变为x -时， ()3
2222x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y 轴对称；
当y 变为y -时，(
)
3
2
222x y
x y +=不变，所以四叶草图象关于x 轴对称；
当y 变为x 时，(
)
3
2
222x y
x y +=不变，所以四叶草图象关于y x =轴对称；
当y 变为x -时，()3
2222
x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y x =-轴对称；
综上可知：有四条对称轴，故正确；
②：因为(
)
3
2222x y x y +=，所以()
2
223
2222
2x y x y
x y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭
，
所以2
2
14
x y +≤
12≤，取等号时22
18x y ==，
所以最大距离为1
2
，故错误；
③：设任意一点(),P x y ，所以围成的矩形面积为xy ， 因为()
3
22
22x y x y +=，所以()()33
22222x y x y xy =+≥，所以18
xy ≤，
取等号时x y ==
，所以围成矩形面积的最大值为18，故正确；
④：由②可知2
2
14
x y +≤
，所以四叶草包含在圆22
14x y +=的内部，
因为圆的面积为：144S π
π=⋅=，所以四叶草的面积小于4
π，故正确. 故选：C. 【点睛】
本题考查曲线与方程的综合运用，其中涉及到曲线的对称性分析以及基本不等式的运用，难度较难.分析方程所表示曲线的对称性，可通过替换方程中,x y 去分析证明. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知0t >，记122337788888880
()(1248...128256)t
f t C x C x C x C x C x dx =
-+-+-+⎰
，则()f t 的展开式
中各项系数和为__________． 【答案】
1
9
【解析】 【分析】
根据定积分的计算，得到()911(12)1818f t t =--+，令1t =，求得()1
19
f =，即可得到答案． 【详解】
根据定积分的计算，可得
1
22337788888880
()(1248...128256)t f t C x C x C x C x C x dx =-+-+-+⎰8900
1
(12)(12)|18
t
t x dx x =-=-
-⎰911(12)1818
t =-
-+， 令1t =，则()9
1111(121)18189
f =--⨯+
=， 即()f t 的展开式中各项系数和为1
9.
【点睛】
本题主要考查了定积分的应用，以及二项式定理的应用，其中解答中根据定积分的计算和二项式定理求得
()
f t的表示是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
14
．函数()
f x=_____________.
【答案】
1
|0
5 x x
⎧⎫
<≤
⎨⎬⎩⎭
【解析】【分析】
由题意可得，
2
2
10
x
lg
x
⎧
>
⎪⎪
⎨
⎪-
⎪⎩
…
，解不等式可求．
【详解】
解：由题意可得，
2
2
10 x
lg
x
⎧
>
⎪⎪
⎨
⎪-
⎪⎩
…
，
解可得，
1
5
x <„，
故答案为
1
|0
5
x x
⎧⎫
<
⎨⎬⎩⎭
„．
【点睛】
本题主要考查了函数的定义域的求解，属于基础题．
15．已知椭圆
22
1
95
x y
+=的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为
圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_______.
【解析】
【分析】
结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.
【详解】
方法1：由题意可知||=|2
OF OM|=c=，
由中位线定理可得
12||4
PF OM
==，设(,)
P x y可得22
(2)16
x y
-+=，
联立方程
22
1 95
x y
+=
可解得
321
,
22
x x
=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，
求得
315
,
2
P
⎛⎫
-
⎪
⎪
⎝⎭
，所以
15
215
1
2
PF
k==
方法2：焦半径公式应用
解析1：由题意可知|2
OF|=|OM|=c=，
由中位线定理可得
1
2||4
PF OM
==，即
3
4
2
p p
a ex x
-=⇒=-
求得
315
,
22
P
⎛
-
⎝⎭
，所以
15
215
1
2
PF
k==.
【点睛】
本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.
16．已知sin cos0
αα
-=，则cos(2)
2
π
α+=__________.
【答案】1
-
【解析】
【分析】
首先利用sin cos0
αα
-=，将其两边同时平方，利用同角三角函数关系式以及倍角公式得到
1sin20
α
-=，从而求得sin21
α=，利用诱导公式求得cos(2)sin21
2
π
αα
+=-=-，得到结果.
【详解】
因为sin cos0
αα
-=，所以1sin20
α
-=，即sin21
α=，
所以cos(2)sin 212
π
αα+=-=-，
故答案是1-. 【点睛】
该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，倍角公式，诱导公式，属于简单题目.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知2()2(01)f x ax x x =-≤≤，求()f x 的最小值.
【答案】()min
2,1
1,1a a f x a a
-<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩
【解析】 【分析】
讨论0a =和0a ≠的情况，然后再分对称轴和区间之间的关系，最后求出最小值 【详解】
当0a =时，()2f x x =-，它在[]
01
，上是减函数 故函数的最小值为()12f =-
当0a ≠时，函数()2
2f x ax x =-的图象思维对称轴方程为1
x a
=
当1a ≥时，
](1
01a ∈，，函数的最小值为11f a a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
当01a <<时，1
1a
>，函数的最小值为()12f a =- 当0a <时，
1
1a
<，函数的最小值为()12f a =- 综上，()2,11,1min
a a f x a a
-<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩
【点睛】
本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题。

18．某调查机构为了了解某产品年产量x(吨)对价格y(千克/吨)和利润z 的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计如下表：
（1）求y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bx
a =+； （2）若每吨该产品的成本为12千元，假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润w 取到最大值？
参考公式： ()()
()
1
1
2
22
1
1
ˆˆˆ,n n
i i
i
i
i i n
n
i i i i x y n x y x x y y b
a
y bx x nx x x ====-⋅⋅--==
=---∑∑∑∑ 【答案】（1）ˆ18.69 1.23y
x =-（2）当 2.72x =时，年利润z 最大． 【解析】 【分析】
（1）方法一：令10z y =-，先求得z 关于x 的回归直线方程，由此求得y 关于x 的回归直线方程.方法二：根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.方法一的好处在计算的数值较小. （2）求得w 的表达式，根据二次函数的性质作出预测. 【详解】
（1）方法一：取10z y =-，则得x 与z 的数据关系如下
(12345)35x =++++=，
1
(7.0 6.5 5.5 3.8 2.2)55
z =++++=，
5
1
17.02 6.53 5.54 3.85 2.262.7i i
i x z
==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，
5
2222221
1234555i
i x
==++++=∑.
5
1
5
2
22
1
562.7535
ˆ 1.2355535i i i i
i x z
xy
b
x
x ==--⨯⨯∴===--⨯-∑∑，
ˆˆ5( 1.23)38.69a
z bx =-=--⨯=， z ∴关于x 的线性回归方程是8.69 1.23z x =-即ˆ108.69 1.23y z x -==-， 故y 关于x 的线性回归方程是ˆ18.69 1.23y
x =-.
方法二：因为1
(12345)35
x =
++++=， 1
(17.016.515.513.812.2)155
y =++++=，
5
1
117.0216.5315.5413.8512.2212.7i i
i x y
==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，
5
2222221
1234555i
i x
==++++=∑，
5
1
5
2
22
1
5212.75315
ˆ 1.235553
5i i
i i
i x y xy
b
x
x ==--⨯⨯∴==
=--⨯-∑∑， 所以ˆˆ15( 1.23)318.69a
y bx =-=--⨯=， 故y 关于x 的线性回归方程是ˆ18.69 1.23y
x =-， （2）年利润2
(18.69 1.23)12 1.23 6.69w x x x x x =--=-+，根据二次函数的性质可知:当 2.72x =时，年利润z 最大． 【点睛】
本小题主要考查回归直线方程的求法，考查利用回归直线方程进行预测，考查运算求解能力，属于中档题. 19．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x y θ
θ=⎧⎨
=⎩
（θ为参数），以坐标原点O 为极
点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
cos sin 30ρθρθ+-=.
（1）求直线l 的直角坐标方程；
（2）求曲线C 上的点到直线l 距离的最小值和最大值. 【答案】（1）30x y +-=（2
）最大值2
；最小值
2
. 【解析】 【分析】
（1）结合极坐标和直角坐标的互化公式可得；
（2）利用参数方程，求解点到直线的距离公式，结合三角函数知识求解最值. 【详解】
解：（1）因为cos ,sin x y ρθρθ==，代入cos sin 30ρθρθ+-=，可得直线l 的直角坐标方程为
30x y +-=.
（2）曲线C 上的点()cos ,2sin θθ到直线l
的距离d =
=
cos ϕ=
，sin ϕ=
. 故曲线C 上的点到直线l
距离的最大值max 2
d =
=
，
曲线C 上的点到直线l
的距离的最小值min d ==.
【点睛】
本题主要考查极坐标和直角坐标的转化及最值问题，椭圆上的点到直线的距离的最值求解优先考虑参数方法，侧重考查数学运算的核心素养.
20．已知()
2
:,41p x R m x x ∀∈+>；2:[2,8],log 10q x m x ∃∈+…
. （1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；
（2）若p q ⌝∨为真命题且p q ⌝∧为假命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1,4⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
（2）-1m ＜或14m >
【解析】 【分析】
（1）根据p 为真命题列出不等式，进而求得实数m 的取值范围；（2）应用复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真. 【详解】
（1）(
)
2
41x m x x ∀∈⋅+>R Q ，
0m ∴>且21160-<m ，
解得1
4
m >
所以当p 为真命题时，实数m 的取值范围是1,4
⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
.
（2）由2[2,8],log 10x m x ∃∈+≥，可得21
[2,8],log x m x
∃∈≥-
， 又∵当[2,8]x ∈时，2111,log 3⎡
⎤-
∈--⎢⎥⎣⎦
x ， 1m ∴≥-.
∵当p q ⌝∨为真命题，且p q ⌝∧为假命题时，
∴p 与q 的真假性相同，
当p 假q 假时，有141
m m ⎧≤⎪
⎨⎪<-⎩，解得1m <-；
当p 真q 真时，有14
1
m m ⎧>⎪
⎨⎪≥-⎩，解得14m >； 故当p q ⌝∨为真命题且p q ⌝∧为假命题时，可得1m <-或1
4
m >. 【点睛】
本题主要考查结合不等式的含有量词的命题的恒成立问题，存在性问题，考查复合命题的真假判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
21．设椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，下顶点为A ，椭圆C
，
12AF F ∆
.
（1）求椭圆C 的标准方程.
（2）直线l 与椭圆C 交于B ，D 两点（异于A 点），若直线AB 与直线AD 的斜率之和为1，证明：直线
l 恒过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（1）2
214
x y +=； （2）证明见解析，()2,1.
【解析】 【分析】
（1）根据离心率和12AF F ∆
.
（2）先排除斜率为0时的情况，设()11,B x y ，()22,D x y ，联立方程组利用韦达定理得到
12224mt y y m +=-+，21224
4
t y y m -=+，根据1AB AD k k +=化简得到2t m =-，代入直线方程得到答案.
【详解】
（1
）由题意可得222
c a bc c a b ⎧=
⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩
，解得2
4a =，21b =，则椭圆C 的标准方程是2
214x y +=.
（2）当直线l 的斜率为0时，直线AB 与直线AD 关于y 轴对称，则直线AB 与直线AD 的斜率之和为零，与题设条件矛盾，故直线l 的斜率不为0.
设()11,B x y ，()22,D x y ，直线l 的方程为x my t =+
联立2
214x y x my t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()222
4240m y mty t +++-=
则12224mt y y m +=-+，2122
4
4
t y y m -=+. 因为直线AB 与直线AD 的斜率之和为1，所以1AB AD k k +=， 所以121212121111AB AD y y y y k k x x my t my t +++++=
+=+++()()()121222
121222my y m t y y t
m y y mt y y t ++++=+++， 将12224mt y y m +=-+，21224
4
t y y m -=+代入上式，整理得2AB AD k k t m +=
+. 所以
2
1t m
=+，即2t m =-， 则直线l 的方程为()212x my m m y =+-=-+. 故直线l 恒过定点()2,1. 【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程，直线过定点问题，计算出2t m =-是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力. 22．已知函数()ln x
f x x
=
． (Ⅰ)求函数()f x 的极值；
(Ⅱ)若0m n >>,且n m m n =,求证：2mn e >． 【答案】 (Ⅰ)极大值为：1
e
，无极小值；(Ⅱ)见解析. 【解析】 【分析】
(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可求出函数()f x 的极值；(Ⅱ)得到
()()f m f n =,根据函数的单调性问题转化为证明2e m e n
>>，即证()2
2ln ln n n n n e -<,令()()222ln 2ln 1G x e x x x x x e =-+<<，根据函数的单调性证明即可．
【详解】 (Ⅰ)()ln x
f x x Q =
()f x ∴的定义域为()0,∞+且()21ln x f x x
-'=
令()0f x '>，得0x e <<；令()0f x '<，得x e >
()f x ∴在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减
∴函数()f x 的极大值为()ln 1
e f e e e
=
=，无极小值 (Ⅱ)0m n >>Q ，n m m n = ln ln n m m n ∴=
l ln n m m n
n
∴
=，即()()f m f n = 由(Ⅰ)知()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减 且()10f =，则1n e m <<<
要证2mn e >，即证2
e
m e n >>，即证()2e f m f n ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即证()2e f n f n ⎛⎫< ⎪⎝⎭
即证
()2
2ln ln n n n n e -<
由于1n e <<，即0ln 1n <<，即证222ln 2ln e n n n n <- 令()()2
2
2
ln 2ln 1G x e x x x x x e =-+<<
则()()()()()2242ln 2ln 12ln 1e x e x e e G x x x x x x x x x x x x x +-⎛⎫'=-++=-+-=+- ⎪
⎝⎭
1x e <<Q ()0G x '∴>恒成立 ()G x ∴在()1,e 递增 ()()0G x G e ∴<=在()1,x e ∈恒成立
2mn e ∴>
【点睛】
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，考查运算求解能力及化归与转化思想，关键是能够构造出合适的函数，将问题转化为函数最值的求解问题，属于难题．
23．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos ,
3sin x y αα
=⎧⎨
=⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴
的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin cos 6ρθρθ+=. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）若射线m 的极坐标方程为3
π
θ=
（0ρ≥）.设m 与C 相交于点M ，m 与l 相交于点N ，求||MN .
【答案】（1）曲线C 的普通方程为2
2
19
y x +=；
直线l 的直角坐标方程为60x y +-=（2）||6MN =
【解析】
【分析】
（1）利用消去参数α，将曲线C 的参数方程化成普通方程，利用互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
， 将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）根据（1）求出曲线C 的极坐标方程，分别联立射线m 与曲线C 以及射线m 与直线l 的极坐标方程，求出1ρ和2ρ，即可求出||MN .
【详解】
解：（1）因为cos ,3sin x y αα
=⎧⎨=⎩（α为参数），所以消去参数α，得2219y x +=， 所以曲线C 的普通方程为2
2
19y x +=. 因为cos ,sin ,
x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以直线l 的直角坐标方程为60x y +-=. （2）曲线C 的极坐标方程为2222sin cos 19ρθρθ+
=. 设,M N 的极径分别为1ρ和2ρ，
将3πθ=
（0ρ≥）代入2222sin cos 19ρθρθ+=，解得1ρ，
将3π
θ=（0ρ≥）代入sin cos 6ρθρθ=”，解得26ρ=.
故12||6MN ρρ=
-=.
【点睛】 本题考查利用消参法将参数方程化成普通方程以及利用互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨
=⎩
将极坐标方程化为直角坐标方程，还考查极径的运用和两点间距离，属于中档题.。