浙江省宁波市余姚中学2010届高三第一次质量检测(数学理)

2
20． （14 分）在 ABC 中， A、B 为锐角，角 A、、 B C 所对的边分别为 a、、 b c ，且
sin A
5 10 （I）求 A B 的值； （II）若 a b 2 1 ，求 a、、 ,sin B b c 的值． 5 10
21． （14 分）某建筑的金属支架如图所示，根据要求 AB 至少长 2.8m， C 为 AB 的中点， B 到 D 的距离 比 CD 的长小 0.5m， BCD 600 ，已知建造支架的材料每米的价格一定，问怎样设计 AB, CD 的长，可 A 使建造这个支架的成本最低？ C B
,1
k , k ( k Z ) 2 4
7 16． , 2 0 2, 4
17． __② ③_ 三、解答题（共 5 题，共 72 分） 18． （14 分） （Ⅰ）∵ f ( x) cos x sin x ， ∴ F ( x) f ( x) f ( x) f ( x)
（Ⅰ）解（1）当 a 1 时， f ( x) x | ln x 1 |
2
令x 1
得 f (1) 2, f (1) 1, 所以切点为（1，2） ，切线的斜率为 1，
所以曲线 y f ( x) 在 x 1 处的切线方程为： x y 1 0 . （Ⅱ）当 a 3 时 f ( x) x 3 ln x 1
其中，所有正确结论的序号是 . 三．解答题(本大题共 5 小题，共 72 分) 18． （14 分）已知函数 f ( x) sin x cos x ， f ( x) 是 f ( x) 的导函数. （I）求函数 F ( x) f ( x) f ( x) f ( x) 的值域和最小正周期；
最小正周期为 T
11 1 sin x 2sin x cos x 2 tan x 1 9 11 ∴ 2 2 2 cos x sin x cos x cos x sin x cos x 1 tan x 6 3
2 2 2 2
19． （14 分） （Ⅰ）函数 f ( x) 的定义域为Ｒ，且 f ( x) 为奇函数，则有 f (0) 0 解得 m 1 （II）任取 x1 , x2 R且x1 x2 ，
A．[－3，1] B．[－3，0）
） ． C．[0，1] D．[－3，0]
12 x x 2 2．函数 y 的定义域为（ ） ． lg(2 x 2)
A． [ 3,4] ３．函数 y lg( B． (1,4] C． (1, ) ( ,4] ）对称．
3 2
3 2
D． [ 3, ) ( ,4]
A． f ( ) f ( a a 1)
B． f ( ) f ( a a 1)
2
3 4
D．以上关系均不确定 ） ．
6．函数 y sin x 和 y tan x 的图象在 2 ,2 上交点的个数是（
A．3 B．5 C．7 D．9 ７．如图，设点 A 是单位圆上的一定点，动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周， 点 P 所旋转过的弧 AP 的长为 l ，弦 AP 的长为 d ，则函数 d f (l ) 的图象大致是 （ ） ．
a (a x2 a x1 )(a x1 a x2 1) x x 则 f ( x1 ) f ( x2 ) 2 ＞０，又由 a 1 0, a 2 0 ， x1 x2 a 2 a a
可知
a (a x2 a x1 ) 0 a 2
2
当 0 a 1 时， a 2 0, a
D 地面 22． （16 分）设 a 0 ，函数 f ( x) x a | ln x 1 | .
2
（Ⅰ）当 a 1 时,求曲线 y f ( x) 在 x 1 处的切线方程；（Ⅱ）当 a 3 时，求函数 f ( x) 的单调性； （Ⅲ）当 x [1,) 时,求函数 f ( x) 的最小值.
2
（II）若 f ( x) 2 f ( x) ，求
1 sin 2 x 的值. co 2 19． （14 分） （I）设函数 f ( x) 为奇函数，求 m 的值； 2x 1
（II）已知 f ( x)
a (a x a x )(a 0且a 1) 是Ｒ上的增函数，求 a 的取值范围. a 2
x
13．函数 y 1 2 x x 的值域是___ 14．函数 y
___
______. .
sin x cos x 的单调减区间
1 ，则 cos 2 的值为 . 2 2 16．设奇函数 f ( x) 在 1,1 上是单调函数，且 f ( 1) 1 ，若函数 f ( x) t 2at 1 对
2
cos 2 x sin 2 x 1 2sin x cos x
1 sin 2 x cos 2 x 1 2 sin(2 x ) 4
函数 F ( x) 的值域为 1 2,1 2 ,



2 . 2 （Ⅱ）∵ f ( x) 2 f ( x) sin x cos x 2 cos x 2sin x 1 ∴ cos x 3sin x tan x 3
８．定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) =
log 2 (1 x), x 0 ,则 f (2009) 的值为( f ( x 1) f ( x 2), x 0
) ．
1
A. －1
B. 0
3
C. 1
D. 2 ） ．
９．函数 f ( x) ax 3 x 1 对于 x [ 1,1] 总有 f ( x) 0 成立，则 a 的取值为（ A. [ 2,) B. [ 4,) C. {4} D. [ 2,4]
10．函数 f ( x) 和 g ( x) 的定义域为 [ a, b] ，若对任意的 x [ a, b] ，总有 |1
g ( x) 1 | ，则称 f ( x) 可被 f ( x) 10
） ．
g ( x) “置换” ．下列函数中，能置换函数 f ( x) x ， x [4,16] 的是（
A． g ( x)
1 ( x 6), x [4,16] 5
B． g ( x) x 6, x [4,16]
2
C． g ( x) x 6, x [4,16]
D． g ( x) 2 x 6, x [4,16]
二．填空题(本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分) 11．幂函数 f ( x) 的图象经过点 (3, 3) ，则 f ( x) 的解析式是 12．函数 f ( x) 2009 a log a (1 x) ( a 0且a 1) 的图象过定点，该定点的坐标是
） ．
o -2
x
5. 定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足：对任意的 x1 , x2 ( , 0]( x1 x2 ) ，有 ( x2 x1 )( f ( x2 ) f ( x1 )) 0 , 则下述式子中正确的是（
3 2 4 3 2 C． f ( ) f ( a a 1) 4

4
（II） 由 又∵
2 3 ，∴ sin C 2 4
a b c 得 5a 10b 2c ，即 a 2b, c 5b sin A sin B sin C
a b 2 1 ∴ 2b b 2 1
∴
b 1 ∴
a 2, c 5
A
21． （14 分） 解：设 BC am(a 1, 4), CD bm. 连结 BD.
2
x 2 3ln x 3 (0 x e) 2 (x e) x 3ln x 3
当 0 x e 时， f ( x) 2 x
3 2x2 3 ， x x
5
f ( x) 在 (0,
6 6 ) 内单调递减， 2 , e 内单调递增； 2
C B
1 则在 CDB 中， (b ) 2 b 2 a 2 2ab cos 60. 2
1 a2 4. b a 1
设 t a 1, t
1 a2 4 2a. b 2a a 1
2.8 1 0.4, 2
D 地面
1 4 2(t 1) 3t 3 4 7, 则 b 2a t 4t 等号成立时 t 0.5 0.4, a 1.5, b 4. 答：当 AB 3m, CD 4m 时，建造这个支架的成本最低. 22． （16 分） (t 1) 2
浙江省宁波市余姚中学 2010 届高三第一次质量检测 数 学（理）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 1．设 A、B 是两个集合，定义 A B {x | x A, 且x B}, 若M {x || x 1 | 2} ，
N {x | x | sin |, R}，则 M－N=（
3 2
3 2
2 1) 的图象关于（ x 1
B. x
A. 直线轴轴原点 yx
４．已知函数
C. y
D.
y 2
3
5 24
f x 2 sin(x )
( 0,0 ) ，

且函数的图象如图所示，则点 Ａ．
( , ) 的坐标是（ ） ．

24
2 2 (2, ) Ｂ． (4, ) ) Ｄ． (4, ) Ｃ． ( 2, 3 3 3 3
15．已知 (0, ), 且 sin cos 所有的 x 1,1 都成立，当 a 1,1 时，则 t 的取值范围是 ．
17．已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足：对任意实数 x 、 y ，有
f ( x y ) f ( x y ) 2 f ( x) cos y ，且 f (0) 0 ， f 1 . 给出下列四个结论： 2 1 ① f ；② f ( x) 是奇函数；③ f ( x) 是周期函数；④ f ( x) 在 0, 上是单调函数. 4 2
∴ cos A 1 sin A
2
2 5 3 10 , cos B 1 sin 2 B 5 10 2 5 3 10 5 10 2 . 5 10 5 10 2
cos( A B) cos A cos B sin A sin B
∵ 0 A B ∴ A B 由（I）知 C
2
x x
x2
a x1 0 ，上式成立；
2
当 a 1 时， a 2 a 1 0 ，应有 a 2 0 ，即 a 综上， a 的取值范围是 (0,1) ( 2, ) 20． （14 分）
2，
4
（Ⅰ）∵ A、B 为锐角， sin A
5 10 ,sin B 5 10
参考答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 1 2 3 4 5 6 7 Ｂ Ｃ Ｄ Ｄ Ａ Ｂ Ｃ
8 Ｃ
9 Ｃ
10 Ａ
3
二、填空题（共 7 小题，每小题 4 分,共 28 分） 11． f ( x) 14．
x ( x 0)
12． (0, 2010) 13． 15．
3 0 恒成立，故 f ( x) 在 e, 内单调递增； x