最新初中数学向量的线性运算真题汇编附答案

最新初中数学向量的线性运算真题汇编附答案
一、选择题
1．下面四个命题中正确的命题个数为（ ）．
①对于实数m 和向量a r 、b r ，恒有()
m a b ma mb -=-r r r r
②对于实数m 、n 和向量a r ，恒有()m n a ma na -=-r r r
③若ma mb =r
r
（m 是实数）时，则有a b =r
r
④若ma na =r r
（m 、n 是实数，0a ≠r
r
），则有m n = A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C 【解析】 【分析】
根据平面向量的性质依次判断即可. 【详解】
①对于实数m 和向量a r
、b r ，恒有()
m a b ma mb -=-r r r r ，正确；
②对于实数m 、n 和向量a r
，恒有()m n a ma na -=-r r r ，正确；
③若ma mb =r r （m 是实数）时，则有a b =r r ，错误，当m=0时不成立； ④若ma na =r r （m 、n 是实数，0a ≠r r ），则有m n =，正确；
故选C. 【点睛】
本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键．
2．在矩形ABCD 中，如果AB u u u r BC uuu r 模长为1，则向量（AB u u u r +BC uuu
r +AC u u u r ）
的长度为（ ）
A ．2
B ．4
C 1
D 1
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，然后2AB BC AC AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r
，利用勾股定理即可计算出向量（AB u u u r +BC uuu
r +AC u u u r ）的长度为 【详解】
|||1||22|||2|224
AB BC AC AC AB BC
AB BC AC AC AB BC AC AC ==∴===+∴++=++==⨯=∴u u u r u u u r Q u u u r
u u u r Q u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
故选：B. 【点睛】
考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则.
3．如果向量a r 与单位向量e r
方向相反，且长度为12
，那么向量a r 用单位向量e r
表示为（ ）
A ．12
a e =
r
r B ．2a e =r r
C ．12
a e =-r
r D ．2a e =-r r
【答案】C 【解析】
由向量a r 与单位向量e r
方向相反，且长度为
1
2
，根据向量的定义，即可求得答案． 解：∵向量a r 与单位向量e r
方向相反，且长度为12
，
∴12
a e =-r
r ．
故选C ．
4．已知a 、b 为非零向量，下列说法中，不正确的是( )
A ．()
a a
b b --= B ．0a 0=
C ．如果1
a b 2
=，那么a //b D ．如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据非零向量的性质，一一判断即可； 【详解】
解：A 、()
a a
b b --=r
r r r ，正确；
B 、0a 0⋅=r r ，正确；
C 、如果1
a b 2
=
，那么a //b ，错误，可能共线；
D 、如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-r
，正确； 故选C ． 【点睛】
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．已知3a →
=，2b =r
，而且b r
和a r
的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ） A ．32a b →
→
= B ．23a b →→
=
C ．32a b →→
=-
D ．23a b →→
=-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v
的方向相反，可得两者的关系，即可求解.
【详解】
∵3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v
的方向相反 ∴32
a b =-v v
故选D. 【点睛】
本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键.
6．已知a r
、b r
和c r
都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b r
r 的是( )
A ．2a b =r
r
B ．//a c r r
，//b c r r
C ．||||a b =r
r
D ．12
a c =r r ，2
b
c =r r
【答案】C 【解析】 【分析】
由方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断． 【详解】
A 选项：由2a b =r r ，可以推出//a b r r
．本选项不符合题意；
B 选项：由
//a c r r ，//b c r r ，可以推出//a b r r ．本选项不符合题意； C 选项：由||||a b =r r ，不可以推出//a b r r
．本选项符合题意；
D 选项：由12
a c =r r ，2
b
c =r r
，可以推出//a b r r ．本选项不符合题意；
故选：C ． 【点睛】
考查了平面向量，解题关键是熟记平行向量的定义．
7．以下等式正确的是（ ）． A ．0a a -=r r
B ．00a ⋅=r
C ．()
a b b a -=--r
r r r
D ．km k m =r r
【答案】C 【解析】 【分析】
根据平面向量的运算法则进行判断． 【详解】
解：A. 0a a -=r
r r
，故本选项错误； B. 00a ⋅=r
r
，故本选项错误；
C. ()
a b b a -=--r
r r r ，故本选项正确；
D. km k m =⋅r r
，故本选项错误.
故选：C. 【点睛】
考查了平面向量的有关运算，掌握平面向量的性质和相关运算法则是关键．
8．点C 在线段AB 上，且35
AC AB =u u u r u u u r ，若AC mBC =u u u r u u u r
，则m 的值等于（ ）．
A ．
23
B ．
32
C ．23
-
D ．32
-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据已知条件即可得：25AC AB CB AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，从而得出：52
AB BC =-u u u r u u u
r ，再代入
35AC AB =u u u r u u u r
中，即可求出m 的值.
【详解】
解：∵点C 在线段AB 上，且35
AC AB =u u u r u u u r
∴25
AC AB CB AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r
∴5522CB AB BC ==-u u u r u u u r u u u r
∴55322335BC B C A C A B ⎛⎫=- ⎝==-⎪⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r
故选D.
【点睛】
此题考查的是向量的运算，掌握共线向量的加法、减法和数乘法则是解决此题的关键.
9．已知一点O 到平行四边形ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别为、、，则向量等于 （ ） A ．++ B ．-+
C ．+-
D ．--
【答案】B 【解析】 【分析】
利用向量的线性运算，结合平行四边形的性质，即可求得结论． 【详解】 如图，
，则
-+
故选B ． 【点睛】
此题考查平面向量的基本定理及其意义，解题关键在于画出图形.
10．化简OP QP PS SP -++u u u r u u u r u u u r u u r
的结果等于（ ）．
A ．QP uuu r
B ．OQ uuu r
C ．SP u u r
D ．SQ u u u r
【答案】B 【解析】 【分析】
利用向量的加减法的法则化简即可. 【详解】
解：原式=+Q OP P PS SP ++u u u r u u u r u u u r u u r
=Q O uuu r ，
故选B. 【点睛】
本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，难度不大.
11．已知e r 是一个单位向量，a r 、b r
是非零向量，那么下列等式正确的是（ ）
A ．a e a v v v =
B ．e b b =v v v
C ．1a e a
=v v v
D ．11a b a b
=v v v v 【答案】B 【解析】 【分析】
长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】
A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；
B. 符合向量的长度及方向，正确；
C. 得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；
D. 左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误. 故答案选B. 【点睛】
本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.
12．下列各式不正确的是（ ）． A ．0a a -=r
r r
B ．a b b a +=+r r
r
r
C ．如果()0a k b k =⋅≠r r ，那么b r 与a r 平行
D ．如果a b =r r ，那么a b =r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量的定义是规定了方向和大小的量，向量的运算法则及实数与向量乘积的意义判断各选项即可． 【详解】
A.任意向量与它的相反向量的和都等于零向量，所以选项A 正确；
B.向量的加法符合交换律，即a b b a +=+r r r r
，所以选项B 正确；
C.如果()0a k b k =≠r r g ，根据实数与向量乘积的意义可知：a r ∥b r
，所以选项C 正确；
D.两个向量相等必须满足两个条件：长度相等且方向相同，如果a b =r r ，但a r 与b r
方向不
同，则a b ≠r r
，所以D 选项错误. 故选D. 【点睛】
本题考查了向量的定义、运算及运算法则、实数与向量乘积的意义，明确定义及法则是解
题的关键.
13．下列结论正确的是（ ）．
A ．2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量
B ．若AB u u u r 是单位向量，则BA u u u r
不是单位向量 C ．若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA u u u r 、OB uuu r
是单
位向量
D ．计算向量的模与单位长度无关 【答案】C 【解析】 【分析】
根据单位向量的定义及意义判断即可. 【详解】
A.1个单位长度取作2004cm 时，2004cm 长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A 不正确；
B. AB u u u r
是单位向量时，1AB =uu u r ，而此时1AB BA ==u u u r u u u r ，即BA u u u r 也是单位向量，故选项B
不正确；
C.单位长度选定以后，在l 上点O 的两侧各取一点A 、B ，使得OA u u u r 、OB u u u r
都等于这个单位
长度，这时OA u u u r 、OB uuu r
都是单位向量，故选项C 正确；
D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D 不正确. 故选C. 【点睛】
本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键.
14．下列判断错误的是（ ） A ．0•=0a v
v
B ．如果a r +b r =2c r ，a r -b r =3c r ，其中0c ≠r r ，那么a r ∥b r
C ．设e r 为单位向量，那么|e r |=1
D ．如果|a r |=2|b r |，那么a r =2b r 或a r =-2b r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答． 【详解】
A 、0•=0a v
v ，故本选项不符合题意．
B 、由a v +b v
=2c v
，a v -b v
=3c v 得到：a v
＝52
c v ，b v ＝﹣12c v ，故两向量方向相反，a v ∥b v ，
故本选项不符合题意．
C 、e v 为单位向量，那么|e v
|=1，故本选项不符合题意．
D 、由|a v
|=2|b v
|只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意． 故选D ． 【点睛】
考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大．
15．在下列关于向量的等式中，正确的是（ ） A ．AB BC CA =+u u u r u u u r u u u r
B ．AB B
C AC =-u u u r u u u r u u u r C ．AB CA BC =-u u u r u u u r u u u r
D ．0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】
AB AC CB =+u u u r u u u r u u u r
，故A 选项错误； AB AC BC =-u u u r u u u r u u u r
，故B 、C 选项错误； 0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r
，故D 选正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查向量的线性运算，熟练掌握运算法则是关键.
16．已知e r 是单位向量，且2,4a e b e =-=v v v v
，那么下列说法错误的是（ ）
A ．a r
∥b r
B ．|a r |=2
C ．|b r |=﹣2|a r |
D ．a r =﹣12
b r
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
解：∵e v 是单位向量，且2a e =-v v ，4b e =v v ，
∴//a b v v ，2a =v ， 4b =v ， 12
a b =-v v ，
故C 选项错误， 故选C.
17．已知a r ，b r 和c r 都是非零向量，下列结论中不能判定a r ∥b r
的是（ ）
A ．a r //c r ，b r //c r
B ．1,22
a c
b
c ==r r r r
C ．2a b =r r
D ．a b =r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】
解：A.∵a r //c r ，b r //c r ，∴a r ∥b r
，故本选项错误；
B.∵1,22a c b c ==r r r r ∴a r ∥b r
，故本选项错误.
C.∵2a b =r r ，∴a r ∥b r
，故本选项错误；
D.∵a b =r r ，∴a r 与b r 的模相等，但不一定平行，故本选项正确；
故选：D ． 【点睛】
本题考查了平面向量，是基础题，熟记平行向量的定义是解题的关键．
18．已知非零向量a r 、b r ，且有2a b =-r r
，下列说法中，不正确的是（ ）
A ．||2||a b =r r
； B ．a r ∥b r
；
C ．a r 与b r
方向相反； D ．20a b +=r r
．
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平行向量以及模的知识求解即可.
【详解】
A.∵2a b =-r r
，表明向量a r 与2b -r 是同一方向上相同的向量，自然模也相等，∴
||2||a b =r r
，该选项不符合题意错误；
B. ∵2a b =-r r
，表明向量a r 与2b -r 是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然2b -r 与b
r 方向相反，但还是相互平行，∴a r ∥b r ，该选项不符合题意错误； C. ∵2a b =-r r
，而2b -r 与b r 方向相反，∴a r 与b r 的方向相反，该选项不符合题意错误；
D. ∵0只表示数量，不表示方向，而2a b +r r
是两个矢量相加是带方向的，应该是
02b a →
→→
+=，该选项符合题意正确；
故选：D 【点睛】
本题主要考查了平面向量的基本知识.
19．设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（ ）
A ．m na mn a r r
（）＝（）
B ．
m n a ma na ++r r r
（）＝ C ．m a b ma mb +r r r r （+）＝ D ．若0ma =r r
，那么0a =r r
【答案】D 【解析】 【分析】
空间向量的线性运算的理解：
（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；
（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；
（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同． 【详解】
根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0
v
是有方向的，而0没有，所以错误．
解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的； ∵D 、如果a v =0v ，则m=0或a v =0v
．∴错误． 故选D ． 【点睛】
本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.
20．已知AM 是ABC △的边BC 上的中线，AB a =u u u r r
，AC b =u u u r r ，则AM u u u u r 等于（ ）．
A ．()
12
a b -r r
B ．()
12
b a -r r
C ．()
12
a b +r r
D ．()
12
a b -+r r
【答案】C 【解析】 【分析】
根据向量加法的三角形法则求出：CB a b =-u u u r r
r ，然后根据中线的定义可得：
()
12
CM a b =-u u u u r r r ，再根据向量加法的三角形法则即可求出AM u u u u r .
【详解】
解：∵AB a =u u u r r
，AC b =u u u r r ∴CB AB AC a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r
∵AM 是ABC △的边BC 上的中线 ∴()
1122
CM CB a b ==-u u u u r u u u r r r
∴()()
1122
AM AC CM b b b a a -=+=+=+u u u u r u u u r u u u r r r u r r r
故选C.
【点睛】
此题考查的是向量加法和减法，掌握向量加法的三角形法则是解决此题的关键.。