自动控制原理与系统第三章-自动控制系统的数学模型-精选全文完整版
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+ 0 ()
在初始条件为零时，对方程两边进行拉氏变换：
+ −1 −1 + ⋯ 1 + 0
= + −1 −1 + ⋯ 1 + 0
+ −1 −1 + ⋯ + 1 + 0
关系。
直流电动机有两个独立的电路：一个是电枢
(Armature)回路，有关物理量的角标用a表示，为直
观起见，现将电枢的电阻Ra和漏磁电感La单独画出
；另一个电路便是励磁回路,有关物理量的角标F用
表示。直流电动机的电路图如图3-1所示。
直流电动机各物理量间的基本关系式如下：
电枢电路：
= +
（3-5）
式中Tm为电动机的机电时间常数
=
Φ2
（3-6）
Ta为电枢回路的电磁时间常数
=
（3-7）
• 4.对微分方程进行分析与简化
由式(3-5)可见,电动机的转速和电动机本身的固有
参数 Tm、Ta有关,和电枢电压Ua有关，还和负载转矩
TL以及负载转矩对时间的变化率dTL/dt有关。
作用于系统，系统的输入量和输出量及其各阶导数
在 ≤ 0时的值也均为零。
二、传递函数的一般表达式
如果系统的输入量为()，输出量为()，并由
下列微分方程描述
−1
+ −1 −1 + ⋯ 1 + 0
−1
= + −1 −1 + ⋯ + 1
+
（3-1）
电磁转矩：
= Φ
（3-2）
运动方程：
− =
（3-3）
反电动势：
= Φ
（3-4）
图3-1 直流电动机电路图
若以 =
2
2
=
2
(
4
= 9.8/ 2 )
及 = 60 [/]代入
− =
1
=
= , =
+ 1
（3-23）
【实例8】电阻、电容电路，如图3-8b所示。
由图可见：1 = + 2 ()
将i t =
()
=
2 ()
代入上式有
2
1 =
+ 2 ()
以 =
=
2
与积分环节相反，传递函数互为倒数。因此，积分
环节的逆过程就是理想微分。
四、惯性环节（Inertance Element)
1．微分方程
+ = ()式中，为惯性时
间常数
2．传递函数与功能框如图3-7a所示。
1
=
+ 1
3．动态响应 = 1
1
（3-21）
（3-19）
功能框如图3-6a所示。
a)功能框
图3-6
b)阶跃响应
c)实例
3．动态响应 = 1 时 =
1
1
= = =
=
（3-20）
上式中 为单位脉冲函数(参见例2-2)
其阶跃响应曲线如图3-6b所示。
4．实例
理想微分环节的输出量与输入量间的关系恰好
1
2 ()
1
对上式进行拉氏变换，并整理后可得：
0 ()
1
=
= 1 1 , = −
() + 1
0
（3-25）
【实例10】 弹簧－阻尼系统。如图3-8d中阻尼器的
阻力1 = (0 ()/)，式中为粘性阻尼系数(粘
性阻力与相对速度成正)。
1．微分方程 = ()
2．传递函数与功能框 =
功能框如图3-4a所示。
a)功能框图
（3-13）
b)阶跃响应
图3-4 比例环节 c)实例
3．动态响应
当 = 1 时， = 1 1()
比例环节能立即成比例地响应输入量的变化。
4．实例。
比例环节是自动控制系统中遇到最多的一种，
2．信号线(Signal Line)如图b）所示。
3．引出点(又称分点)(Pickoff Point)如图b）所示。
4．比较点(Comparing Point)(又称和点)(Summing
Point)如图c
图3-2 框图的图形符号
图3-3 典型自动控制系统框图
第四节 典型环节的传递函数和功能
一、比例环节（Proportion Element）
和弹簧等)和一个耗能元件(如电阻、阻尼器等)的组
合，就能构成一个惯性环l Element)
1．微分方程 =
()
+ ()
2．传递函数与功能框（式中为微分时间常数。）
（3-26）
= + 1
比例微分环节的传递函数恰与惯性环节相反，
传递函数(Transfer Function)是系统的另一种数学模
型，是自动控制中最常用的数学模型。
一、传递函数的定义
传递函数的定义为：在初始条件为零时，输出量的
拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。即
输出量的拉氏变换式 ()
传递函数 =
=
输入量的拉氏变换式 ()
初始条件为零，是指输入量在 = 0时刻以后才
由式（3-3）’有 = +
，
代入以消去参变量Te，然后按照前面叙述的步
骤将微分方程整理成标准形式，就可得到以Ua为输
入量，以n输出量，以TL为扰动量的直流电动机的微
分方程：
2
1
2 +
+ =
−
+
2
Φ
Φ
详细的分析。
图3-7
a)功能框
b)阶跃响应
4．实例
【阅读材料】实例分析
图3-8
a)电阻、电感电路 b)电阻、电容电路 c)惯性调节器
d)弹簧阻尼系统
【实例7】电阻、电感电路，如图3-8a所示。
由基尔霍夫定律可得电路微分方程：
()
+
= ()
对上式进行拉氏变换，并整理后可得
程。
⑤传递函数是一种数学模型，因此对不同的物理模
型，它们可以有相同的传递函数（如后面的图3-4～
图3-8所示）。反之，对同一个物理模型(系统和元
件)，若选取不同的输入量和输出量，则传递函数将
是不同的（如后面的式3-39与式3-40所示）。
第三节 系统框图（结构图）
1．功能框(Block Diagram)如图a）所示。
()——传递函数的分母多项式。
式中k为常数 =
(−1 )(−2 )…(− )
(−1 )(−2 )…(− )
（3-12）
1 , 2 … 为分子多项式 = 0的根，称为零点；
1 , 2 … 为分母多项式 = 0的根，称为极点。
和 可为实数、虚数或复数(若为虚数或复数，则必
第三章 自动控制系统的数学模型
• 主要内容
• 第一节 系统的微分方程
• 第二节 传递函数
• 第三节 系统框图
• 第四节 典型环节的传递函数和功能框
• 第五节 自动控制系统的框图
• 第六节 框图的变换、化简和系统闭环传
递函数的求取
第一节 系统的微分方程
描述系统的输入量和输出量之间的关系的最直
接的数学方法是列写系统的微分方程。
代入上式，进行拉氏变换并
整理后可得：
2
1
=
=
1
+ 1
（3-24）
【实例9】惯性调节器，如图3-8c所示。
由于运算放大器的开环增益很大、输入阻抗很高，
所以有0 = − , 0 =
于是有
0
=−
0
0 ()
1
+
及 =
0
1
+
2 ()
例如电子放大器、齿轮减速器、杠杆机构、弹簧、
电位器等，如图3-4c所示。
二、积分环节(Integrating Element)
1.微分方程 =
1
0
(为积分时间常数)
2.传递函数与功能框 =
1
（3-15）
功能框如图3-5a所示。
1
3.动态响应 = 1 时， =
当系统的输入量和输出量都是时间t的函数时，
其微分方程可以确切地描述系统的运动过程。它是
系统的最基本数学模型。
一、系统微分方程式的建立
建立微分方程式的一般步骤是：
①全面了解系统的工作原理、结构组成和支配系统
②一般从系统的输入端开始，根据各元件或环节所
③将各元件或环节的微分方程联立起来消去中间变
量，求取一个仅含有系统的输入量和输出量的微分
弹簧力2 = [ − 0 ()] 其中k为弹性系数。
由于两力相等，即1 = 2 ，于是有
0 ()
− 0 () =
对上式进行拉氏变换，并整理后可得
0 ()
1
=
( = )
() + 1
由以上几个实例可见，一个储能元件(如电感、电容
为共轭虚数或共轭复数)。
三、传递函数的性质
①传递函数和微分方程之间存在着一一对应的关系
②传递函数只与系统本身内部结构、参数有关，它
代表了系统的固有特性，是一种数学模型，称为系
统的复数域模型。
③传递函数是一种运算函数。由 = ()/()可得
= ()/()
④传递函数的分母多项式，即为微分方程的特征方
（3-3）
式中， 称为转速惯量，
2 2 2 1
=
=
= 2 , [ = 375
]
60 4
375
式(3-3)还可写成
1
= න −
（3-3）’
此式的物理含义是:转速是合转矩对时间的积累
2.确定输入量与输出量
如今需要分析改变电枢电压 对电动机转速
若不考虑电动机的负载转矩，即设 = 0，于
是式(3-5)可简化成
2
1
2 +
+ =
Φ
（3-8）
考虑到直流电机电枢漏感 一般较小，可假设
La = 0，若Ta = 0，则式(3-8)可简化为
1
+ =
Φ
（3-9）
第二节 传递函数
=
1 1
1
1
= =
= −
+ 1
+1
−
（3-22）
由表2-1可得到 = 1 −
惯性环节的阶跃响应曲线如图3-7b所示。由图
可见，当输入量发生突变时，输出量不能突变，只
能按指数规律逐渐变化，这就反映了该环节具有惯
性。
此环节的阶跃响应，在第2章［例2-5］已作了
④将该方程整理成标准形式。即把与输入量有关的
各项放在方程的右边，把与输出量有关的各项放在
方程的左边，各导数项按降幂排列，并将方程中的
系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常
二、微分方程建立举例
[例3-1]直流电动机的微分方程。
1.直流电动机(Direct-Current Motor)各物理量间的
的影响（设励磁电流 恒定）。因此以电枢电压
为输入量,电动机转速为输出量来列写电动机的微
分方程,而将负载转矩 作为电动机的外界扰动量。
3.消去中间变量，并将微分方程整理成标准形式
由式（3-4）有 = Φ, 由式（3-3）有 =
Φ
，将及 代入式（3-1），以消除参变量及 ；再
特点的元件一般都含有积分环节。例如水箱的水位
与水流量，烘箱的温度与热流量(或功率)，机械运
动中的转速与转矩，位移与速度，速度与加速度，
电容的电量与电流等等。积分环节也是自动控制系
统中遇到的最多的环节之一。
三、理想微分环节
1．微分方程 =
()
式中的为微分时间常数。
2．传递函数与功能框 =
= + −1 −1 + ⋯ + 1 + 0 ()
根据传递函数的定义有
+ −1 −1 + ⋯ + 1 + 0 ()
=
=
=
−1
+ −1
+ ⋯ + 1 + 0
()
（3-11）
式(3-11)中()——传递函数的分子多项式，
1 1
1
= =
= 2
1
由表2-1可得 =
（3-16）
其阶跃响应曲线如图3-5b所示。由图可见，输出量
随着时间的增长而不断增加，增长的斜率为1/
图3-5 积分环节
a)功能框图 b)阶跃响应 c)
4.实例
积分环节的特点是它的输出量为输入量对时间
的积累。因此，凡是输出量对输入量有储存和积累
在初始条件为零时，对方程两边进行拉氏变换：
+ −1 −1 + ⋯ 1 + 0
= + −1 −1 + ⋯ 1 + 0
+ −1 −1 + ⋯ + 1 + 0
关系。
直流电动机有两个独立的电路：一个是电枢
(Armature)回路，有关物理量的角标用a表示，为直
观起见，现将电枢的电阻Ra和漏磁电感La单独画出
；另一个电路便是励磁回路,有关物理量的角标F用
表示。直流电动机的电路图如图3-1所示。
直流电动机各物理量间的基本关系式如下：
电枢电路：
= +
（3-5）
式中Tm为电动机的机电时间常数
=
Φ2
（3-6）
Ta为电枢回路的电磁时间常数
=
（3-7）
• 4.对微分方程进行分析与简化
由式(3-5)可见,电动机的转速和电动机本身的固有
参数 Tm、Ta有关,和电枢电压Ua有关，还和负载转矩
TL以及负载转矩对时间的变化率dTL/dt有关。
作用于系统，系统的输入量和输出量及其各阶导数
在 ≤ 0时的值也均为零。
二、传递函数的一般表达式
如果系统的输入量为()，输出量为()，并由
下列微分方程描述
−1
+ −1 −1 + ⋯ 1 + 0
−1
= + −1 −1 + ⋯ + 1
+
（3-1）
电磁转矩：
= Φ
（3-2）
运动方程：
− =
（3-3）
反电动势：
= Φ
（3-4）
图3-1 直流电动机电路图
若以 =
2
2
=
2
(
4
= 9.8/ 2 )
及 = 60 [/]代入
− =
1
=
= , =
+ 1
（3-23）
【实例8】电阻、电容电路，如图3-8b所示。
由图可见：1 = + 2 ()
将i t =
()
=
2 ()
代入上式有
2
1 =
+ 2 ()
以 =
=
2
与积分环节相反，传递函数互为倒数。因此，积分
环节的逆过程就是理想微分。
四、惯性环节（Inertance Element)
1．微分方程
+ = ()式中，为惯性时
间常数
2．传递函数与功能框如图3-7a所示。
1
=
+ 1
3．动态响应 = 1
1
（3-21）
（3-19）
功能框如图3-6a所示。
a)功能框
图3-6
b)阶跃响应
c)实例
3．动态响应 = 1 时 =
1
1
= = =
=
（3-20）
上式中 为单位脉冲函数(参见例2-2)
其阶跃响应曲线如图3-6b所示。
4．实例
理想微分环节的输出量与输入量间的关系恰好
1
2 ()
1
对上式进行拉氏变换，并整理后可得：
0 ()
1
=
= 1 1 , = −
() + 1
0
（3-25）
【实例10】 弹簧－阻尼系统。如图3-8d中阻尼器的
阻力1 = (0 ()/)，式中为粘性阻尼系数(粘
性阻力与相对速度成正)。
1．微分方程 = ()
2．传递函数与功能框 =
功能框如图3-4a所示。
a)功能框图
（3-13）
b)阶跃响应
图3-4 比例环节 c)实例
3．动态响应
当 = 1 时， = 1 1()
比例环节能立即成比例地响应输入量的变化。
4．实例。
比例环节是自动控制系统中遇到最多的一种，
2．信号线(Signal Line)如图b）所示。
3．引出点(又称分点)(Pickoff Point)如图b）所示。
4．比较点(Comparing Point)(又称和点)(Summing
Point)如图c
图3-2 框图的图形符号
图3-3 典型自动控制系统框图
第四节 典型环节的传递函数和功能
一、比例环节（Proportion Element）
和弹簧等)和一个耗能元件(如电阻、阻尼器等)的组
合，就能构成一个惯性环l Element)
1．微分方程 =
()
+ ()
2．传递函数与功能框（式中为微分时间常数。）
（3-26）
= + 1
比例微分环节的传递函数恰与惯性环节相反，
传递函数(Transfer Function)是系统的另一种数学模
型，是自动控制中最常用的数学模型。
一、传递函数的定义
传递函数的定义为：在初始条件为零时，输出量的
拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。即
输出量的拉氏变换式 ()
传递函数 =
=
输入量的拉氏变换式 ()
初始条件为零，是指输入量在 = 0时刻以后才
由式（3-3）’有 = +
，
代入以消去参变量Te，然后按照前面叙述的步
骤将微分方程整理成标准形式，就可得到以Ua为输
入量，以n输出量，以TL为扰动量的直流电动机的微
分方程：
2
1
2 +
+ =
−
+
2
Φ
Φ
详细的分析。
图3-7
a)功能框
b)阶跃响应
4．实例
【阅读材料】实例分析
图3-8
a)电阻、电感电路 b)电阻、电容电路 c)惯性调节器
d)弹簧阻尼系统
【实例7】电阻、电感电路，如图3-8a所示。
由基尔霍夫定律可得电路微分方程：
()
+
= ()
对上式进行拉氏变换，并整理后可得
程。
⑤传递函数是一种数学模型，因此对不同的物理模
型，它们可以有相同的传递函数（如后面的图3-4～
图3-8所示）。反之，对同一个物理模型(系统和元
件)，若选取不同的输入量和输出量，则传递函数将
是不同的（如后面的式3-39与式3-40所示）。
第三节 系统框图（结构图）
1．功能框(Block Diagram)如图a）所示。
()——传递函数的分母多项式。
式中k为常数 =
(−1 )(−2 )…(− )
(−1 )(−2 )…(− )
（3-12）
1 , 2 … 为分子多项式 = 0的根，称为零点；
1 , 2 … 为分母多项式 = 0的根，称为极点。
和 可为实数、虚数或复数(若为虚数或复数，则必
第三章 自动控制系统的数学模型
• 主要内容
• 第一节 系统的微分方程
• 第二节 传递函数
• 第三节 系统框图
• 第四节 典型环节的传递函数和功能框
• 第五节 自动控制系统的框图
• 第六节 框图的变换、化简和系统闭环传
递函数的求取
第一节 系统的微分方程
描述系统的输入量和输出量之间的关系的最直
接的数学方法是列写系统的微分方程。
代入上式，进行拉氏变换并
整理后可得：
2
1
=
=
1
+ 1
（3-24）
【实例9】惯性调节器，如图3-8c所示。
由于运算放大器的开环增益很大、输入阻抗很高，
所以有0 = − , 0 =
于是有
0
=−
0
0 ()
1
+
及 =
0
1
+
2 ()
例如电子放大器、齿轮减速器、杠杆机构、弹簧、
电位器等，如图3-4c所示。
二、积分环节(Integrating Element)
1.微分方程 =
1
0
(为积分时间常数)
2.传递函数与功能框 =
1
（3-15）
功能框如图3-5a所示。
1
3.动态响应 = 1 时， =
当系统的输入量和输出量都是时间t的函数时，
其微分方程可以确切地描述系统的运动过程。它是
系统的最基本数学模型。
一、系统微分方程式的建立
建立微分方程式的一般步骤是：
①全面了解系统的工作原理、结构组成和支配系统
②一般从系统的输入端开始，根据各元件或环节所
③将各元件或环节的微分方程联立起来消去中间变
量，求取一个仅含有系统的输入量和输出量的微分
弹簧力2 = [ − 0 ()] 其中k为弹性系数。
由于两力相等，即1 = 2 ，于是有
0 ()
− 0 () =
对上式进行拉氏变换，并整理后可得
0 ()
1
=
( = )
() + 1
由以上几个实例可见，一个储能元件(如电感、电容
为共轭虚数或共轭复数)。
三、传递函数的性质
①传递函数和微分方程之间存在着一一对应的关系
②传递函数只与系统本身内部结构、参数有关，它
代表了系统的固有特性，是一种数学模型，称为系
统的复数域模型。
③传递函数是一种运算函数。由 = ()/()可得
= ()/()
④传递函数的分母多项式，即为微分方程的特征方
（3-3）
式中， 称为转速惯量，
2 2 2 1
=
=
= 2 , [ = 375
]
60 4
375
式(3-3)还可写成
1
= න −
（3-3）’
此式的物理含义是:转速是合转矩对时间的积累
2.确定输入量与输出量
如今需要分析改变电枢电压 对电动机转速
若不考虑电动机的负载转矩，即设 = 0，于
是式(3-5)可简化成
2
1
2 +
+ =
Φ
（3-8）
考虑到直流电机电枢漏感 一般较小，可假设
La = 0，若Ta = 0，则式(3-8)可简化为
1
+ =
Φ
（3-9）
第二节 传递函数
=
1 1
1
1
= =
= −
+ 1
+1
−
（3-22）
由表2-1可得到 = 1 −
惯性环节的阶跃响应曲线如图3-7b所示。由图
可见，当输入量发生突变时，输出量不能突变，只
能按指数规律逐渐变化，这就反映了该环节具有惯
性。
此环节的阶跃响应，在第2章［例2-5］已作了
④将该方程整理成标准形式。即把与输入量有关的
各项放在方程的右边，把与输出量有关的各项放在
方程的左边，各导数项按降幂排列，并将方程中的
系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常
二、微分方程建立举例
[例3-1]直流电动机的微分方程。
1.直流电动机(Direct-Current Motor)各物理量间的
的影响（设励磁电流 恒定）。因此以电枢电压
为输入量,电动机转速为输出量来列写电动机的微
分方程,而将负载转矩 作为电动机的外界扰动量。
3.消去中间变量，并将微分方程整理成标准形式
由式（3-4）有 = Φ, 由式（3-3）有 =
Φ
，将及 代入式（3-1），以消除参变量及 ；再
特点的元件一般都含有积分环节。例如水箱的水位
与水流量，烘箱的温度与热流量(或功率)，机械运
动中的转速与转矩，位移与速度，速度与加速度，
电容的电量与电流等等。积分环节也是自动控制系
统中遇到的最多的环节之一。
三、理想微分环节
1．微分方程 =
()
式中的为微分时间常数。
2．传递函数与功能框 =
= + −1 −1 + ⋯ + 1 + 0 ()
根据传递函数的定义有
+ −1 −1 + ⋯ + 1 + 0 ()
=
=
=
−1
+ −1
+ ⋯ + 1 + 0
()
（3-11）
式(3-11)中()——传递函数的分子多项式，
1 1
1
= =
= 2
1
由表2-1可得 =
（3-16）
其阶跃响应曲线如图3-5b所示。由图可见，输出量
随着时间的增长而不断增加，增长的斜率为1/
图3-5 积分环节
a)功能框图 b)阶跃响应 c)
4.实例
积分环节的特点是它的输出量为输入量对时间
的积累。因此，凡是输出量对输入量有储存和积累