2024年高考数学一轮复习(新高考版)《圆锥曲线压轴小题突破练》课件ppt

|PF1|＋|PF2|＝2a1， |PF1|－|PF2|＝2a2，
得||PPFF12||＝ ＝aa11＋ －aa22， ，
设|F1F2|＝2c， 因为∠F1PF2＝π3，
由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，
即 4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos π3， 整理得 a21＋3a22＝4c2， 故e121＋e322＝4. 又 4＝e121＋e322≥2 e121×e322＝2e1e32， 即 2≥e1e32，所以 e1e2≥ 23，
即 p2 ＝ 42
32·94p⇒p＝2，∴|AB|＝92.
3
题型三 圆锥曲线与其他知识的综合
例4 (多选)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1 000多年的历史，为宣传和推广这 一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开 后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄 底端的距离为1，阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形的影子(春分时，该市的 阳光照射方向与地面的夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则
唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作 的典范.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C： ax22－by22 ＝1(a>0，b>0) 的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一
周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为
3
2
√C.0，12
B.
23，1
D.12，1
连接OP，当P不为椭圆的上、下顶点时， 设直线PA，PB分别与圆O切于点A，B，∠OPA＝α， ∵存在M，N使得∠MPN＝120°， ∴∠APB≥120°，即α≥60°， 又α<90°， ∴sin α≥sin 60°， 连接 OA，则 sin α＝||OOPA||＝|ObP|≥ 23， ∴|OP|≤ 2b3.
C.[ 2－1,1]
√D.12，1
由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点 到P点与A点的距离相等， 又|FA|＝ac2－c＝bc2，|PF|∈[a－c，a＋c]， ∴bc2∈[a－c，a＋c]， ∴ac－c2≤b2≤ac＋c2，
∴aacc－ ＋cc22≤ ≥aa22－ －cc22， ，
A.2
B.2 6＋3
C.4
√D.3＋2 2
因为p＝2，
所以|A1F|＋|B1F|＝2p＝1，
所以 2|AF|＋|BF|＝(2|AF|＋|BF|)|A1F|＋|B1F| ＝3＋2|B|AFF||＋||BAFF||
≥3＋2
2|AF| |BF| |BF| ·|AF|
＝3＋2 2，
当且仅当|BF|＝ 2|AF|时，等号成立， 因此 2|AF|＋|BF|的最小值为 3＋2 2.
(2)(2023·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为 π6 的直线l过焦点F交 抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为__6_4__.
方法一 (常规解法) 依题意，抛物线C：y2＝16x的焦点为F(4,0)， 直线 l 的方程为 x＝ 3y＋4. 由xy＝2＝136yx＋，4， 消去 x，整理得 y2－16 3y－64＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y1＋y2＝16 3，y1y2＝－64.
别为F1，F2，其离心率e＝ 12，点 P 为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝π3，
已知△F1PF2的内切圆半径为r＝ 3 ，则该椭圆的长轴长为
A.2
B.4
C.6
√D.12
由 e＝12，
得ac＝12，即 a＝2c.
①
在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，
得S△F1PF2＝b2tan ∠F21PF2＝12r(2a＋2c)，
跟踪训练 1 (1)(2022·南京市宁海中学模拟)设 e1，e2 分别为具有公共焦
点 F1 与 F2 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满
足∠F1PF2＝π3，则 e1e2 的最小值为
√A.
3 2
B.32
C.
3 4
D.34
设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，不妨设|PF1|>|PF2|， 由椭圆和双曲线的定义可得
∴e2≤e2＋1，e－1≥0， 又∵e∈(0,1)，∴e∈12，1.
(2)(2022·哈尔滨模拟)已知双曲线的方程是ax22－by22＝1(a>0，b>0)，点F1，F2
为双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线相交于点P(点P在第一
象限)，若∠PF1F2≤
π 6
，则双曲线离心率的取值范围是
因为|BD|＝|DF1|＝1，DF1⊥BC，所以|BF1|＝ 2，
设椭圆的长轴长为 2a，焦距为 2c，则 a＋c＝ 2.
因为∠A＝60°，∠B＝45°，|BC|＝2，|AB|＝2a，
由正弦定理得sin260°＝sin602°a＋45°，
解得 a＝3
2＋ 6
6，
所以 c＝
2－a＝3
2－ 6
6，
所以ac＝33
√A. 2
B.2
C. 3
D.3
如图，B→A·B→P＝0，
∴BA⊥BP，令kAB＝k， ∵∠ADO＝∠AOD，
∴kAP＝－kAB＝－k， 又 BA⊥BP，∴kPB＝－1k， 依题意，kPB·kPA＝ba22，
∴－1k·(－k)＝ba22， ∴ba22＝1，即 e＝ 2.
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焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，
又P是C上任意一点，
则|OP|max≤ 2b3，
又|OP|max＝a，∴a≤
2b ， 3
则由 a2＝b2＋c2，得 e2≤14，
又0<e<1，
∴e∈0，12.
题型二 圆锥曲线中二级结论的应用
命题点1 椭圆、双曲线中二级结论的应用
例2 (1)(2022·咸宁模拟)已知椭圆C：ax22＋by22＝1(a>b>0)，其左、右焦点分
1＋ 3
A.
2
，＋∞
B.[ 3＋1，＋∞)
3＋1
C.1，
2
√D.(1， 3＋1]
由题意|P2Fc2|＝sin∠PF1F2≤sin π6＝12， 所以0<|PF2|≤c， 又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2， 即(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝4c2， 所以4c2≤(c＋2a)2＋c2，整理得2a2＋2ac－c2≥0， 所以 e2－2e－2≤0，又 e>1，故解得 1<e≤ 3＋1.
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求解圆锥曲线离心率范围问题的策略 (1)利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b， c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围. (2)利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、通径、三角形中的边 角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组). (3)利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等， 构造几何度量之间的关系.
3－1 A.该椭圆的离心率为 2
√B.该椭圆的离心率为 2－ 3 √ 3 2－ 6
C.该椭圆的焦距为 3 D.该椭圆的焦距为 2 3－1
sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝
6＋ 4
2，
如图，A，B分别是椭圆的左、右顶点，F1是椭圆的左焦点，BC是
圆的直径，D为圆的圆心.
S△OAB＝12|y1－y2|·|OF|＝2 y1＋y22－4y1y2
＝2 16 32－4×－64＝64. 方法二 (活用结论) 依题意，抛物线y2＝16x，p＝8. 又 l 的倾斜角 α＝π6. 所以 S△OAB＝2spin2 α＝ 82 π＝64.
2sin 6
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与抛物线的焦点弦有关的二级结论：
第八章 直线和圆、圆锥曲线
§8.9 圆锥曲线压轴小题 突破练[培优课]
题型一 离心率范围问题
例1 (1)已知F是椭圆 ax22＋by22＝1(a>b>0)的右焦点，若直线x＝ac2 与x轴的交 点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离
心率的取值范围是
A.0，
2
2
B.0，12
的倾斜角为
α，α∈0，π2，
∴F为AB的三等分点，
令|BF|＝t，则|AF|＝2t，
由|B1F|＋|A1F|＝2p，
得1t ＋21t＝2p⇒t＝34p， ∴|AB|＝3t＝94p，
又|AB|＝si2np2α，
∴si2np2α＝94p⇒sin α＝232，
又 S△OAB＝ 32|AB|，
∴2spin2 α＝ 32|AB|，
线BM的斜率为
1 A.3
√B.12
C.－1
D.－12
∵∠F1AF2＝90°， ∴△F1AF2为等腰直角三角形， ∴b＝c，∴a2＝2b2＝2c2， ∴ba22＝12，且∠AF2O＝45°， ∴kMA＝－1， 又 kMA·kMB＝－ba22＝－12， ∴kMB＝12.
命题点2 抛物线中二级结论的应用 例3 (1)(2022·“四省八校”联考)已知抛物线y2＝4x过焦点F的直线与抛 物线交于A，B两点，则2|AF|＋|BF|的最小值为
又四边形AF1BF2为矩形， 所以△AF1F2 的面积为 b21tan 45°＝tanb422 5°，
即 b22＝b21＝1.
所以 a22＝c22－b22＝3－1＝2. 故双曲线的离心率 e＝ac22＝
32＝
6 2.
(2)设椭圆 ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分 别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2＝90°，则直
即 e1e2 的最小值为 23， 当且仅当e121＝e322， 即 e1＝ 22，e2＝ 26时，等号成立.
(2)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)，点 P 是 C 上任意一点，若圆 O：x2＋
y2＝b2 上存在点 M，N，使得∠MPN＝120°，则 C 的离心率的取值范围是
A.0，
即 33b2＝ 3(a＋c)，
②
由a2＝b2＋c2，
③
联立①②③，得 c＝3，a＝6，b＝3 3， 所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12.
(交2)C(2于02A2，·石B家两庄点模(点拟B在)已右知支双上曲)，线双C：曲ax2线2－右by22支＝上1(a一>0点，Pb(>异0于)，点过B原)满点足OB的→A直·B→线P ＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为
若倾斜角为αα≠0，π2 的直线l经过抛物线y2＝2px(p>0)的(x2，y2)(y1>y2)两点，则
①焦半径|AF|＝x1＋p2＝1－cpos
， α
|BF|＝x2＋p2＝1＋cpos
， α
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②焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝si2np2α， ③S△OAB＝2spin2 α(O 为坐标原点)， ④x1x2＝p42，y1y2＝－p2， ⑤|A1F|＋|B1F|＝2p，
⑥以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切.
跟踪训练3 已知A，B是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线与抛物线的
交点，O 是坐标原点，且满足A→B＝3F→B，S△OAB＝ 32|AB|，则|AB|的值为
9
2
√A.2
B.9
C.4
D.2
如图，不妨令直线 ∵A→B＝3F→B，
AB
且∠F1PF2＝θ，
则椭圆中 S△PF1F2＝b2·tan θ2，
双曲线中 S ＝ △PF1F2
b2 θ.
tan 2
周角定理：已知A，B为椭圆(或双曲线)上关于原点对称的两点，点P
为椭圆(或双曲线)上异于A，B的任一点，
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则椭圆中 kPA·kPB＝－ba22， 双曲线中 kPA·kPB＝ba22.
跟踪训练2 (1)如图，F1，F2是椭圆C1：x42＋y2＝1与双曲线C2的公共焦 点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩
形，则C2的离心率是
A. 2
B. 3
C.32
√D.
6 2
设双曲线 C2 的方程为ax222－by222＝1， 则有 a22＋b22＝c22＝c21＝4－1＝3.
2－ 2＋
66＝2－
3，2c＝3
2－ 3
6 .
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高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与 平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等， 这些问题的实质是圆锥曲线问题，体现出数学的应用性.
跟踪训练4 (多选)(2022·福州质检)如图为陕西博物馆收藏的国宝——