2019大一轮高考总复习理数北师大版课时作业提升32 等

课时作业提升(三十二) 等差数列及其前n 项和
A 组 夯实基础
1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12
D ．14
解析：选C 由题知3a 1＋3×2
2d ＝12，因为a 1＝2，解得d ＝2，又a 6＝a 1＋5d ，所以a 6
＝12，故选C.
2．(2018·江南十校联考)已知数列{a n }是等差数列，a 3＋a 13＝20，a 2＝－2，则a 15＝( ) A ．20 B ．24 C ．28
D ．34
解析：选B ∵a 3＋a 13＝2a 8＝20，∴a 8＝10，又a 2＝－2，∴d ＝2，得a 15＝a 2＋13d ＝24.故选B.
3．已知等差数列{a n }，且3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝48，则数列{a n }的前13项之和为( )
A ．24
B ．39
C ．104
D ．52
解析：选D 因为{a n }是等差数列，所以3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝6a 4＋6a 10＝48，所以a 4＋a 10＝8，其前13项的和为13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2＝13×82
＝52，故选D.
4．若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，则使a k ·a k ＋1＜0的k 值为( ) A ．22 B ．21 C ．24
D ．23
解析：选D 因为3a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－a n ＝－2
3，又a 1＝15，所以数列{a n }是首
项为15，公差为－23的等差数列，所以a n ＝15－23·(n －1)＝－23n ＋47
3，且{a n }为递减数列，
令a n ＝－23n ＋47
3
＞0，得n ＜23.5，可知使a k ·a k ＋1＜0的k 值为23.
5．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )
A.54
钱 B ．53
钱
C.32钱 D ．43
钱
解析：选D 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧
2a 1
＋d ＝3a 1＋9d ，2a 1
＋d ＝5
2，解得⎩⎨⎧
a 1＝43
，
d ＝－1
6，
即甲得4
3
钱，故选D.
6．(2018·临沂模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大正整数n 的值为( )
A ．6
B ．7
C ．12
D ．13
解析：选C ∵a 1>0，a 6a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1
＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0，∴S 12>0，S 13<0，∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12.
7．若数列{a n }满足a 1＝13，1a n ＋1－1a n
＝5(n ∈N ＋)，则a 10＝____________.
解析：因为1a n ＋1－1a n
＝5，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝3为首项，5为公差的等差数列，所以1
a n ＝3
＋5(n －1)＝5n －2，即a n ＝
15n －2，所以a 10＝150－2＝1
48
. 答案：1
48
8．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于____________.
解析：∵2a n ＝a n －1＋a n ＋1，又a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，
∴2a n －a 2n ＝0，即a n (2－a n )＝0.
∵a n ≠0，∴a n ＝2.
∴S 2n －1＝(2n －1)a n ＝2(2n －1)＝38，解得n ＝10. 答案：10
9．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n
b n
为
整数的正整数n 的个数是____________.
解析：由等差数列前n 项和的性质知，a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12
n ＋1，故当n
＝1,2,3,5,11时，a n b n 为整数，故使得a n
b n
为整数的正整数n 的个数是5.
答案：5
10．(2016·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有 2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3，解得a 1＝1，d ＝25.
所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋3
5
. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎡
⎤2n ＋35.
当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋3
5<2，b n ＝1；
当n ＝4,5时，2≤2n ＋3
5<3，b n ＝2；
当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋3
5<4，b n ＝3；
当n ＝9,10时，4≤2n ＋3
5
<5，b n ＝4.
所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
11．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；
(2)设数列{b n }的通项b n ＝S n
n
，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .
解：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)
2
×2＝k 2＋k .
由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，
解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. (2)由(1)得S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)，则b n ＝S n
n ＝n ＋1，
故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，
即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列， 所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)
2
.
12．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足b n ＝S n
n ＋c ，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出
c 的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵数列{a n }为等差数列，∴a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22. 又a 3·a 4＝117，
∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根， 又公差d ＞0，∴a 3＜a 4，∴a 3＝9，a 4＝13，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，d ＝4. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －3. (2)由(1)知a 1＝1，d ＝4， ∴S n ＝na 1＋n (n －1)2×d ＝2n 2－n ，
∴b n ＝S n
n ＋c ＝2n 2－n n ＋c
，
∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝15
3＋c ，其中c ≠0.
令2b 2＝b 1＋b 3， 即
62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c
，∴2c 2＋c ＝0， ∴c ＝－12或c ＝0(舍去)，故c ＝－12.
此时b n ＝2n 2－n
n －
12
＝2n .
当n ≥2时，b n －b n －1＝2n －2(n －1)＝2符合等差数列的定义， 即存在一个非零实数c ＝－1
2
，使数列{b n }为等差数列．
B 组 能力提升
1．(2018·湖南模拟)等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3，a 5，a 15成等比数列，若a 5＝5，
S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
S n n 的前n 项和取最小值时的n 为( )
A ．3
B ．3或4
C ．4或5
D ．5
解析：选B 由题意知⎩⎪⎨⎪
⎧
(a 1＋2d )(a 1＋14d )＝25，a 1
＋4d ＝5，
由d ≠0，解得a 1＝－3，d ＝2，
∴S n
n ＝na 1＋n (n －1)2d
n ＝－3＋n －1＝n －4， 由n －4≥0，得n ≥4，
∴数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
S n n 的前n 项和取最小值时的n 为3或4.
2．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n
S 2n
为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等
差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( )
A ．b n ＝n －1
B ．b n ＝2n －1
C ．b n ＝n ＋1
D ．b n ＝2n ＋1
解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，
S n S 2n ＝k ，因为b 1＝1，则n ＋1
2
n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋1
2×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.因为对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝1
4
.所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1. 3．若等差数列 {a n }的前17项和S 17＝51，则a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13等于____________. 解析：因为S 17＝a 1＋a 17
2×17＝17a 9＝51，所以a 9＝3.根据等差数列的性质知a 5＋a 13＝
a 7＋a 11，所以a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝a 9＝3.
答案：3
4．在等差数列{a n }中，a 9＝1
2a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11等于____________.
解析：S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6，设公差为d ，由a 9＝12a 12＋6得a 6＋3d ＝1
2(a 6＋6d )＋6，
解得a 6＝12，所以S 11＝11×12＝132.
答案：132
5．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝1
2
a n －30，设数列{
b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．
解：∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故数列{a n }为等差数列．设数列{a n }
的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得，⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋2d ＝10，
6a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4.故a n
＝4n －2，则b n ＝12a n －30＝2n －31，令⎩⎪⎨⎪⎧ b n ≤0，b n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧
2n －31≤0，2(n ＋1)－31≥0，
解得292≤n ≤31
2，
∵n ∈N ＋，∴n ＝15，即数列{b n }的前15项均为负值，∴T 15最小．∵数列{b n }的首项是－29，
公差为2，∴T 15＝15(－29＋2×15－31)
2
＝－225，∴数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－225.
6．(2018·宿州模拟)已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7(n ∈N ＋)．
(1)设函数y ＝f (x )的图像的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列； (2)设函数y ＝f (x )的图像的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n . (1)证明：因为f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8， 所以a n ＝3n －8，
因为a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－8－(3n －8)＝3， 所以数列{a n }为等差数列．
(2)解：由题意知，b n ＝|a n |＝|3n －8|， 所以当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，
S n ＝b 1＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝n [5＋(8－3n )]2＝13n －3n 22；
当n ≥3时，b n ＝3n －8，
S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝5＋2＋1＋…＋(3n －8)＝7＋(n －2)[1＋(3n －8)]
2
＝
3n 2－13n ＋28
2
.
所以S n
＝⎩⎨⎧
13n －3n 2
2
，1≤n ≤2，3n 2
－13n ＋28
2
，n ≥3.。