结构力学4静定结构的位移计算

4.3 平面杆件结构位移计算的一般公式
4.3.1 单位荷载法与结构位移计算的一般公式
P R1 1
F D 1 D F
c F R 2 c2 D F R c
c2 c1
d d du i1
D F R c M d FQ dh FN du
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结构力学
第四章 静定结构的位移计算
F1 1 FB B F2 2 F3 3 0
(a)
虚位移之间的关系为 1 1 1 B 2 2
1 1 4 2 2 2 C B B 2 2 3 3 3
1 1 1 1 3 E 2 B 2 2 3 3 1 2 1 将以上各关系式代入式(a)，得 FB F1 F2 F3 2 3 3 河南理工大学万方科技学院
4.1.3 计算位移的方法
虚功法——依据虚功原理的单位荷载法。
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第四章 静定结构的位移计算
4.2 变形体系的虚功原理 4.2.1 实功与虚功 1．功
｛
W FD cos
W 2 Fr
α
力，Δ表示广义位移） Δ
功是力与位移的矢量点积
a c l
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第四章 静定结构的位移计算
沿所求位移方向虚设单位荷载 F=1的方法称为 单位荷载法，或称为单位力法。 当支座有给定位移时，静定结构的位移可用单 位荷载法来求解，其计算步骤如下： 1. 沿欲求位移的方向虚设相应的单位荷载，并求出
在单位荷载作用下给定位移的支座处的反力
虚功原理
W =U
可写为
位移状态 位移状态
FP D Md FQdh FN du
平衡力系
(4.4)
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结构力学 (4)变形体系的虚功原理的几点说明
第四章 静定结构的位移计算
①力系是平衡力系，位移是可能的、微小的、连续的位移。 ②平衡力系和位移状态是相互独立无关的。 ③虚功原理具有普遍适用性。适用于弹性、非弹性、线性、非 线性的变形体系。 ④虚功原理同样适用于刚体系。此时变形虚功U =0，则W =0。 即外力虚功之和为零。刚体系的虚功原理是变形体系 虚功原理的一个特例。 虚功原理的两种表述形式： ①若平衡力系状态实际存在，位移状态是虚设的，称为 虚位移原理，可用于求未知力。 ②若位移状态实际存在，平衡力系状态是虚设的,称为 虚力原理。此时式(4.4)表示变形协调条件，可用于求位移。
｛｛
AH
C
D
FP A
A
C
AV
D
A1
A
A
A
B
B
AB
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图4.1绝对位移
图4.2相对位移
结构力学 4.1.2 计算位移的目的
第四章 静定结构的位移计算
①保证刚度条件 D ≤ [D] ②为计算超静定结构打下基础。 ③在结构或构件的制作、施工过程中，常需预先知道其位移。 在计算结构位移时，通常采用以下几个假定： 1.结构的材料在弹性范围内工作，且符合胡克定律，即应力与应变成 线性关系。 2.结构位移是微小的，以致不影响变形后荷载的作用位臵。 3.结构各处的约束都为理想约束。所谓理想约束是指在结构发生位移 的过程中约束力不作功的约束，例如刚性支座、链杆和无摩擦的光 滑铰等就是理想约束。 符合上述假定的结构体系称为线弹性变形体系或线性变形体系。由 于线弹性变形体系的位移与荷载成比例，因此在计算位移时可以应用叠 加原理。
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结构力学 ① 虚拟位移状态，求未知力
第四章 静定结构的位移计算
We＝FB B FδF =0
F FB F B F a 根据几何 关系有: B l
F
a FB F l
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第四章 静定结构的位移计算
可令δB =1，这种沿未知力方向虚设单位位移的方 法称为单位位移法
i FP2
D M d FQ dh FN du F R c（4.6）
P1 1
(a) 实际状态
i FP =1
Q N
M 、F 、F F ds K 此即平面杆件结构位移计算的一般公式， K ds K 这种计算位移的方法又称为单位荷载法。 d d 此方法既适用于静定结构，也适用于 du i i 超静定结构；既适用于弹性材料，也适用于 F c 非弹性材料；既适用于荷载作用下的位移计 算，也适用于由支座移动、温度改变等因素 F c 影响下的位移计算。 图4.9虚力原理 (b) 虚拟状态 (a) 实际状态 河南理工大学万方科技学院
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第四章 静定结构的位移计算
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结构力学 土木工程指导性专业规范系列教材
第四章 静定结构的位移计算
主编：文国治
副主编：陈名弟
2013年12月8日
出版社
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第四章 静定结构的位移计算
第4章
静定结构的位移计算
●基本要求 了解变形体系虚功原理的内容及其在结构位移计算中的应用； 理解广义力及广义位移的概念；熟练掌握计算结构位移的单位荷载法；熟练 掌握图乘法在位移计算中的应用；了解线性弹性体系的互等定理。 ●重点 静定结构由于荷载、支座位移、温度变化等原因引起的位移计算 ，特别是用图乘法计算静定梁和刚架在荷载作用下的位移。 ●难点 变形体系的虚功原理及其证明；广义力及广义位移的概念。
(a)力状态
图4.7虚功原理的证明
(b)位移状态
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结构力学 第四章 静定结构的位移计算 （1）按外力虚功与内力虚功计算W总(考虑变形连续条件) F M q dW总=dW外+dW内 dW总 dW外 dW内 ds
P2
(考虑力系平衡条件) F M q 将微段的虚位移分解为两步：先只发 ds 生刚体位移(由ABCD移到A1q 1C2D2)，然后 B F 再发生变形位移(截面AM B1不动，C2D2再移 1 M+d M F +d F F 到C1D1)，如图4.7(b)所示。 F +d F F dW总=dW刚+dW变 d s dW刚=0
P2 P1 N N N Q Q Q
或 W总=W外+W内 W内 dW内 W外 dW外 由相邻截面内力等值反号 W总 W外 W （2）按刚体虚功与变形虚功计算W总
FP1 M FN FQ
q M+d M FN +d FN FQ +d FQ ds
(a)力状态
ds ds A B ds B1 C D A1 C2 D2 C1 D1
W总 dW变 W变
即
W W变
(b)位移状态
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（3）变形虚功W变的计算
ds ds
d
d
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第四章 静定结构的位移计算
ds
du
d
dW变=Md+FQdh+FNdu
U W变 dW变
ds
图4.8 微段变形
ds
Md FQ dh FN du
FP FP1
FP
W1=FPΔ （4.2）
图4.5虚功
FP
FP1
力状态
FP1
位移状态
图4.6虚功
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第四章 静定结构的位移计算
4.2.2 刚体体系的虚功原理
对于具有理想约束的刚体体系，其虚功原理可表述为： 刚体体系处于平衡的必要和充分条件是，对于符合刚体体 系约束情况的任意微小虚位移，刚体体系上所有外力所做 的虚功总和等于零。 或者说：对于具有理想约束的刚体体系，如果力状态 中的力系能满足平衡条件，位移状态的刚体位移是约束容 许的可能位移，则外力所作的虚功总和等于零，即 W 外= 0
2. 令虚拟力系在相应实际位移上作功，写出虚功方 程 3. 由虚功方程解出欲求位移。如果求得的位移为正 值，表明位移的实际方向与所设单位荷载的方向 一致；如果求得的位移为负值，表明位移的实际 方向与所设单位荷载的方向相反。
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第四章 静定结构的位移计算
i FP2 K K1 ds FP1
结构力学 ②虚拟力状态，求未知位移
第四章 静定结构的位移计算
在虚拟力状态和给定的实际位移状态之间应用 虚功原理，这种形式的虚功原理又称为虚力原理。 本章就采用此方法求结构位移。
【*例4.2】 已知图(a)所示静定梁的支座B向下移动
距离c，试用虚力原理求梁上点C的竖向位移。
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结构力学 第四章 静定结构的位移计算 【解】静定结构在支座移动时只产生刚体位移。欲求C 点的竖向位移 ΔCV ，可虚拟一力状态如图(b)所示。 应用虚力原理建立虚功方程为 FΔCV FBy c=0 令F=1。得 ΔCV=
间的几何关系，由此可得到力系之间的平衡关系。
因此，该法的特点是把静力平衡问题转化为几何问 题求解。
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第四章 静定结构的位移计算
【*例4.1】 试用虚位移原理(单位位移法)求图(a)所示 多跨静定梁的支座B处的反力。
【解】去掉支座B处的约束，代之以相应的约束反力FB。设在B 处产生一个向下的虚单位位移δB=1，则体系的虚位移如图(b)中 虚线所示。应用虚位移原理建立虚功方程为
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结构力学 2．实功
第四章 静定结构的位移计算
外力（其值由零逐渐增加到最大值）在其自身引起的位移 上所作的功称为实功。力F 本身引起的位移对力F 而言为实位 移，力在实位移上所作的功称为实功。(设比例常数为β) F F
P
P
T= 0
D
FP1d D1
D
0
1 1 2 D D1d D1 D1 |0 D 2 2 2
FP1 FP
A
1 FP D 2
（4.1a）
FP
O
1
即T为三角形OAB的面积。
图4.3 静力荷载所做的实功
B O d
1
FP
1
FP1
FP
M
图4.4 静力荷载所做的实功
1 T M 2
（4.1b）
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第四章 静定结构的位移计算
3．虚功 外力在其他原因(其他荷载、温度变化、支座位移等)引起的 位移上所做的功称为虚功。位移不是由作功的力引起的，而是 由其他因素引起的是虚位移,力F在虚位移上所作的功称为虚功。
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结构力学 第四章 静定结构的位移计算 4.2.3 变形体系的虚功原理 变形体系处于平衡的必要和充分条件是，对于符合变形体 系约束条件的任意微小的连续虚位移，变形体系上所有外力所 做的虚功总和W，等于变形体系各微段截面上的内力在其虚变形 上所做的虚功U。即外力虚功等于变形虚功（或称虚应变能）。 W=U (4.3) 证明：图示力状态和位移状态互不相关。将图4.7(a)中微 段上的各力在图4.7(b)中微段上的对应位移上做虚功，并把所 有微段的虚功总加起来，便是整个结构的虚功W总。 F F
本章小结
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第四章 静定结构的位移计算
4.1 概 述
4.1.1 广义位移
荷载、温度变化、支座位移等外因作用下，结构各截面位臵的移 动，称为位移。 线位移(挠度) —截面形心所移动距离 绝对位移 结构的 (图4.1ΔA)、 (图4.2ΔCD) 广义位移 —截面转动的角度 相对位移 角位移(转角) (图4.1 A)、 (图4.1 AB) 广义荷载—— 力和力偶
上述计算是在虚拟位移状态与给定的实际力状态之间 应用虚功方程，这种形式的虚功原理又称为虚位移原理。 1. 用虚位移原理建立的虚功方程形式上是功的方程， 实质上是平衡方程。 2. 虚位移是人为虚设的。为了计算方便，可设欲求未 知力方向上的虚位移为单位位移。 3. 用虚位移原理求解时的一个重要步骤是找出虚位移
§4-1 概述 §4-2 变形体系的虚功原理 §4-3 平面杆件结构位移计算的一般公式 §4-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §4-5 图乘法 §4-6 静定结构在支座移动时的位移计算 §4-7 静定结构在温度变化时的位移计算 *§4-8 具有弹性支座的静定结构的位移计算 §4-9 线性静定结构的互等定理
M q M
P2
q
P2
ds ds FP1 M FN FQ ds q FP1 M+d M M FN +d FN FN FQ +d FQ FQ ds ds q M+d M FN +d FN FQ +d FQ A B ds B1 ds C D A1 A C2
ds ds C C2 C1 C1 A1 B D D2 d s D2 D1 D1 B1