最新初中数学方程与不等式之分式方程专项训练及解析答案(1)

最新初中数学方程与不等式之分式方程专项训练及解析答案(1)
一、选择题
1．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意，得到的方程是（ ）
A ．1515112
x x -=+ B ．1515112x x -=+ C ．1515112x x -=- D ．1515112
x x -=- 【答案】B
【解析】
【分析】 设小李每小时走x 千米，则小张每小时走（x+1）千米，根据题意可得等量关系：小李所用时间-小张所用时间=半小时，根据等量关系列出方程即可．
【详解】
解：设小李每小时走x 千米，依题意得：
1515112
x x -=+ 故选B ．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程．
2．若数a 使关于x 的分式方程2311a x x x
--=--有正数解，且使关于y 的不等式组21142
y a y y a ->-⎧⎪⎨+⎪⎩…有解，则所有符合条件的整数a 的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分式方程的解为正数即可得出a>-1且a ≠1，根据不等式组有解，即可得：a<3，找出所有的整数a 的个数为2．
【详解】 解方程
2311a x x x
--=--，得： 12
a x +=， ∵分式方程的解为正数，
∴1a +>0，即a>-1，
又1x ≠， ∴12
a +≠1，a ≠1， ∴a>-1且a ≠1， ∵关于y 的不等式组21142
y a y y a ->-⎧⎪⎨+⎪⎩…有解， ∴a-1<y ≤8-2a ，
即a-1<8-2a ，
解得：a<3，
综上所述，a 的取值范围是-1<a<3，且a ≠1，
则符合题意的整数a 的值有0、2，有2个，
故选：B ．
【点睛】 本题考查了根据分式方程解的范围求参数的取值范围，不等式组的求解，找到整数解的个数，掌握分式方程的解法和不等式组的解法是解题的关键．
3．甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg ，甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少千克货物．设甲每小时搬运xkg 货物，则可列方程为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
甲种机器人每小时搬运x 千克，则乙种机器人每小时搬运（x+600）千克，
由题意得：
， 故选B.
【点睛】本题考查了列分时方程解实际问题的运用，解答时根据甲搬运5000kg 所用时间与乙搬运8000kg 所用时间相等建立方程是关键．
4．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x 米/秒，则所列方程正确的是（ ）
A ．4 1.2540800x x ⨯-=
B ．
800800402.25x x -= C ．
800800401.25x x
-= D ．800800401.25x x -= 【答案】C
【分析】
先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可．
【详解】
小进跑800米用的时间为
8001.25x 秒，小俊跑800米用的时间为800x
秒， ∵小进比小俊少用了40秒， 方程是
800800401.25x x
-=， 故选C ．
【点睛】 本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键．
5．某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路x 公里，根据题意列出的方程正确的是（ ）
A ．60(125%)6060x x ⨯+-=
B ．6060(125%)60x x
⨯+-= C ．606060(125%)x x
-=+ D ．606060(125%)x x
-=+ 【答案】D
【解析】
【分析】 设原计划每天修路x 公里，则实际每天的工作效率为(125%)x +公里，根据题意即可列出分式方程.
【详解】
解：设原计划每天修路x 公里，则实际每天的工作效率为(125%)x +公里， 依题意得：
606060(125%)x x -=+． 故选：D ．
【点睛】
此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程.
6．已知关于x 的分式方程
211x k x x -=--的解为正数，则k 的取值范围为（ ） A ．20k -<<
B ．2k >-且1k ≠-
C ．2k >-
D ．2k <且1k ≠ 【答案】B
【解析】
先用k 表示x ，然后根据x 为正数列出不等式，即可求出答案.
【详解】 解：211x k x x
-=--Q ， 21
x k x +∴=-， 2x k ∴=+，
Q 该分式方程有解，
21k ∴+≠，
1k ∴≠-，
0x Q >，
20k ∴+>，
2k ∴>-，
2k ∴>-且1k ≠-，
故选：B ．
【点睛】
本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.
7．从4-，2-，1-，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a ．若数a 使关于x 的一元二次方程()22
240x a x a --+=有实数解．且关于y 的分式方程1311y a y y
+-=--有整数解，则符合条件的a 的值的和是（ ） A ．6-
B ．4-
C ．2-
D ．2
【答案】C
【解析】
【分析】
由一元二次方程()22240x a x a --+=有实数解，确定a 的取值范围，由分式方程1311y a y y
+-=--有整数解，确定a 的值即可判断． 【详解】
方程()22
240x a x a --+=有实数解， ∴△=4(a −4)2−4a 2⩾0，
解得a ⩽2
∴满足条件的a 的值为−4，−2，−1，0，1，2 方程1311y a y y
+-=--
解得y=2
a +2 ∵y 有整数解
∴a=−4，0，2，4，6
综上所述，满足条件的a 的值为−4，0，2，
符合条件的a 的值的和是−2
故选：C
【点睛】
本题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；以及分式方程解的定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫分式方程的解．
8．甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m ，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是
A ．120100x x 10
=- B ．120100x x 10=+ C ．120100x 10x =- D ．120100x 10x
=+ 【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】 甲队每天修路xm ，则乙队每天修（x －10）m ，因为甲、乙两队所用的天数相同， 所以，
120100x x 10
=-. 故选A.
9．中秋节是我国的传统节日，人们素有吃月饼的习俗．汾阳月饼不仅汾阳人爱吃，而且风靡省城市场．省城某商场在中秋节来临之际购进A 、B 两种汾阳月饼共1500个，已知购进 A 种月饼和 B 种月饼的费用分别为3000元和2000元，且 A 种月饼的单价比 B 种月饼单价多1元．求 A 、B 两种月饼的单价各是多少？设 A 种月饼单价为x 元，根据题意，列方程正确的是( )
A ．
3000200015001x x +=+ B ．2000300015001x x +=+ C ．3000200015001x x +=- D ．2000300015001
x x +=- 【答案】C
【解析】
【分析】
设A 种月饼单价为x 元，再分别表示出A 种月饼和B 种月饼的个数，根据“购进A 、B 两种汾阳月饼共1500个”，列出方程即可.
【详解】
设A种月饼单价为x元，则B种月饼单价为(x-1)元，
根据题意可列出方程30002000
1500
1
x x
+=
-
，
故选C.
【点睛】
本题考查分式方程的应用，读懂题意是解题关键.
10．为有效落实党中央“精准扶贫”战略决策，某市对农村实施“户户通”修路计划，已知该市计划在某村修路5000m，在修了1000m后，由于引入新技术，工作效率提高到原来的1.2倍，结果提前5天完成了任务.若设原来每天修路 m
x，则可列方程为( )
A．500040001000
5
1.2
x x x
=+-B．
500010004000
5
1.2
x x x
+=+
C．500040001000
5
1.2
x x x
-=+D．
500010004000
5
1.2
x x x
-=+
【答案】D
【解析】
【分析】
本题依题意可知等量关系为原计划工作时间-实际工作时间=5，根据等量关系列出方程即可.【详解】
设原来每天修路xm，引入新技术后每天修路1.2xm，实际工作天数为（10004000
1.2
x x
+），
原计划工作天数为5000
x
天，根据题意得，
500010004000
5
1.2
x x x
-=+，
故选D.
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意是解答应用题的关键，找出题中的等量关系，列出关系式．
11．某农场开挖一条480米的渠道，开工后，实际每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么所列方程正确的是（）
A ．
480x ＋480+20x ＝4 B ．480x －480+4x ＝20 C ．480x －480+20x ＝4 D ．4804x -－480x
＝20 【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意列出方程即可．
【详解】
由题意得 480x －480+20
x ＝4 故答案为：C ．
【点睛】
本题考查了分式方程的实际应用，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
12．在阳明山国家森林公园举行中国·阳明山“和”文化旅游节暨杜鹃花会期间,几名同学包租一辆车前去游览,该车的租价为180元,出发时,又增加了两名同学,结果每名同学比原来少分摊了3元车费.设参加游览的学生共有x 人,则可列方程为（ ）
A ．
18018032x x +=- B ．18018032x x -=- C ．18018032
x x +=- D ．18018032x x -=- 【答案】D
【解析】
【分析】 设参加游览的同学共x 人，则原有的几名同学每人分担的车费为：
1802x -元，出发时每名同学分担的车费为：
180x
元，根据每个同学比原来少摊了3元钱车费即可得到等量关系． 【详解】
设参加游览的同学共x 人，根据题意得： 1801802x x
-=-3． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系；易错点是得到出发前后的人数．
13．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的吋间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间. 设规定时间为x 天，则可列方程为（ ）.
A．900900
2
13
x x
⨯=
+-
B．
900900
2
13
x x
=⨯
+-
C．900900
2
13
x x
⨯=
-+
D．
900900
2
13
x x
=⨯
++
【答案】A
【解析】
【分析】
设规定时间为x天，得到慢马和快马所需要的时间，根据速度关系即可列出方程.【详解】
设规定时间为x天，则慢马的时间为（x+1）天，快马的时间是（x-3）天，
∵快马的速度是慢马的2倍，
∴900900
2
13 x x
⨯=
+-
，
故选：A.
【点睛】
此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程.
14．2019年7月30日阳朔至鹿寨高速公路建成通车，已知从阳朔至鹿寨国道的路程为150km，现在高速路程缩短了20km，若走高速的平均车速是走国道的2.5倍，所花时间比走国道少用1.5小时，设走国道的平均车速为/
xkm h，则根据题意可列方程为（）
A．15020150
1.5
2.5
x x
-
-=B．
15015020
1.5
2.5x x
-
-=
C．15015020
1.5
2.5
x x
-
-=D．
15020150
1.5
2.5x x
-
-=
【答案】C
【解析】
【分析】
根据“走高速用的时间比走国道少花1.5小时”列出方程即可得出答案.【详解】
根据题意可得，走高速所用时间15020
2.5x
-
小时，走国道所用时间
150
x
小时
即15015020
1.5
2.5
x x
-
-=
故答案选择C.
【点睛】
本题考查的是分式方程在实际生活中的应用，根据公式“路程=速度×时间”及其变形列出等式是解决本题的关键.
15．解分式方程221112
x x x x --=--时，去分母后所得的方程正确的是（ ） A ．220x x -+= B ．4241x x x -+=-
C ．4241x x x +-=-
D ．221x x x +-=- 【答案】C
【解析】
【分析】
根据等式的性质，方程两边同时乘以最简公分母2（x-1），整理即可得答案．
【详解】 ∵
221112x x x x --=--， ∴221112
x x x x -+=--， 方程两边同时乘以最简公分母2（x-1）得：4x+2(x-2)=x-1，
去括号得：4x+2x-4=x-1，
故选：C ．
【点睛】
本题考查解分式方程，正确得出最简公分母是解题关键．
16．已知关于x 的分式方程
21m x -+=1的解是负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m≤3
B ．m≤3且m≠2
C ．m ＜3
D ．m ＜3且m≠2 【答案】D
【解析】
【分析】
解方程得到方程的解，再根据解为负数得到关于m 的不等式结合分式的分母不为零，即可求得m 的取值范围.
【详解】 21
m x -+=1， 解得：x=m ﹣3，
∵关于x 的分式方程
21
m x -+=1的解是负数， ∴m ﹣3＜0，
解得：m ＜3，
当x=m ﹣3=﹣1时，方程无解，
则m≠2，
故m 的取值范围是：m ＜3且m≠2，
故选D ．
【点睛】
本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程的分母不为零是解题关键．
17．关于x的方程
2
1
11
ax
x x
-=
++
的解为非正数，且关于x的不等式组
22
5
3
3
a x
x
+
⎧
⎪
+
⎨
⎪⎩
„
…
无解，
那么满足条件的所有整数a的和是（）
A．﹣19 B．﹣15 C．﹣13 D．﹣9
【答案】C
【解析】
解：分式方程去分母得：ax﹣x﹣1=2，整理得：（a﹣1）x=3，由分式方程的解为非正数，
得到
3
1
a-
≤0，且
3
1
a-
≠﹣1，解得：a＜1且a≠﹣2．
不等式组整理得：
2
2
4
a
x
x
-
⎧
≤
⎪
⎨
⎪≥
⎩
，由不等式组无解，得到
2
2
a
-
＜4，解得：a＞﹣6，∴满足
题意a的范围为﹣6＜a＜1，且a≠﹣2，即整数a的值为﹣5，﹣4，﹣3，﹣1，0，则满足条件的所有整数a的和是﹣13，故选C．
点睛：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．2017年，全国部分省市实施了“免费校车工程”．小明原来骑自行车上学，现在乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．已知小明家距学校5千米，若校车速度是他骑车速度的2倍，设小明骑车的速度为x千米/时，则下面所列方程正确的为()
A．5
x
＋
1
6
＝
5
2x
B．
5
x
＝
5
2x
＋
1
6
C．
5
x
＋10＝
5
2x
D．
5
x
－10＝
5
2x
【答案】B
【解析】
【分析】
设小明骑车的速度为x千米/小时，校车速度为2x千米/小时，等量关系为：小明骑车所走的时间减去校车所走的时间=10分钟，据此列方程．
【详解】
设小明骑车的速度为x千米/小时，校车速度为2x千米/小时，
由题意得, 5
x
＝
5
2x
＋
1
6
所以答案为B.【点睛】
本题考查了分式方程，解题的关键是根据实际问题列出分式方程.
19．甲、乙两船从相距300km 的A 、B 两地同时出发相向而行，甲船从A 地顺流航行180km 时与从B 地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h ，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h ，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ）
A ．
1806x +=1206x - B ．1806x -=1206x + C ．1806x +=120x
D ．180x =1206
x - 【答案】A
【解析】 分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．
详解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h ，则求两船在静水中的速度可列方程为：1806x +=1206
x -． 故选A ．
点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．
20．把分式方程
11122x x x --=--，的两边同时乘以x-2，约去分母，得（ ） A ．1-(1-x)=1
B ．1+(1-x)=1
C ．1-(1-x)=x-2
D ．1+(1-x)=x-2 【答案】D
【解析】
【分析】
本题需要注意的有两个方面：①、第二个分式的分母为2－x ，首先要化成x －2；②、等式右边的常数项不要漏乘．
【详解】
解： 11122x x x
--=-- 11+122
x x x -=-- 两边同时乘以x-2，约去分母，得1+(1-x)=x-2
故选：D
【点睛】
本题考查解分式方程．。