2022年广东省肇庆市怀集第一中学高二数学文下学期期末试题含解析

2022年广东省肇庆市怀集第一中学高二数学文下学期
期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图1所示，已知四边形ABCD，EADM和MDCF都是边长为的正方形，点P是ED的中点，则P点到平面EFB的距离为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
2. 双曲线的渐近线方程是
( )
、、、、
参考答案：
A
略
3. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
（A）63.6万元（B）65.5万元（C）67.7万元（D）72.0万元
参考答案：
B
4. 在正方体中，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
5. 在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面-ABC，，，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（）
A. 32π
B. 48π
C. 64π
D. 72π
参考答案：
C
【分析】
先求出的外接圆的半径，然后取的外接圆的圆心，过作，
且，由于平面，故点为三棱锥的外接球的球心，为外接球半径，求解即可.
【详解】在中，，，可得，
则的外接圆的半径，取的外接圆的圆心
，过作，且，
因为平面，所以点为三棱锥的外接球的球心，
则，即外接球半径，
则三棱锥的外接球的表面积为.
故选C.
【点睛】本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
6. 空间四边形ABCD的对角线AC=10，BD=6，M、N分别为AB、CD的中点，MN=7，则异面直线AC和BD所成的角等于（）
A．30°B．60°C．90°D．120°
参考答案：
B
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】由题意画出图形，得到异面直线AC和BD所成的角（或补角），由余弦定理求解得答案．
【解答】解：如图，
取AD中点G，连接MG，NG，
∵AC=10，BD=6，M、N分别为AB、CD的中点，
∴NG=5，MG=3，又MN=7，
cos∠MGN=，
∴cos∠MGN=120°，
则异面直线AC和BD所成的角等于60°．
故选：B．
7. 已知是等比数列，，，则…（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
由得，
又…+=…+=+…
8. 若小球自由落体的运动方程为s（t）=（g为常数），该小球在t=1到t=3的平均速度为，在t=2的瞬时速度为v2，则和v2关系为（）
A．＞v2 B．＜v2 C． =v2 D．不能确定
参考答案：
C
【考点】变化的快慢与变化率．
【分析】求函数的导数，根据导数的物理意义进行求解即可．【解答】解：平均速度为===2g，
∵s（t）=，
∴s′（t）=gt，
t=2的瞬时速度为v2，
∴v2=s′（2）=g×2=2g，
∴=v2
故选：C．
9. 已知复数，若是纯虚数，则实数等于
A． B． C． D．高参考答案：
B
略
10. 在△ABC中，若则 ( ) A． B．
C． D．
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数f（x）=xlnx在x0处的函数值与导数值之和等于1，则x0的值等于
_________ ．
参考答案：
1
12. 用数学归纳法证明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）
时，第一步应验证的不等式是．
参考答案：
【考点】RG：数学归纳法．
【分析】直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可，不等式的左边需要从1加到，不要漏掉项．
【解答】解：用数学归纳法证明（n∈N+，n＞1）时，
第一步应验证不等式为：；
故答案为：
13. 从一块短轴长为的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是
，则该椭圆离心率的取值范围是．
参考答案：
略
14. 已知x与y之间的一组数据如下，则y与x的线性回归方程为y=bx+a，必过点。

参考答案：
（2,4）
15. 设，则a，b的大小关系为．
参考答案：
a＜b
【考点】不等式比较大小．
【分析】作差利用分母有理化因式即可得出．
【解答】解：b﹣a=﹣+＞0，
∴b＞a．
故答案为：a＜b．
16. 若=（2，3，m），=（2n，6，8）且，为共线向量，则m+n= ．参考答案：
6
【考点】M5：共线向量与共面向量．
【分析】，为共线向量，，即可求出m、n
【解答】解： =（2，3，m），=（2n，6，8）且，为共线向量，∴，
∴∴m+n=6
故答案为：6
17. 命题“”的否定是.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设有关于的一元二次方程
（1）若是从0，1，2，3四个数中任意取一个数，是从0，1，2三个数中任意取一个，求上述方程有实根的概率；
（2）若，求上述方程有实根的概率.
参考答案：
略
19. 已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面 ABCD，且
PA=AD=DB=，AB=1，M是PB的中点．
（1）证明：面PAD⊥面PCD；
（2）求AC与PB所成的角；
（3）求平面AMC与平面BMC所成二面角的大小．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）由三垂线定理得CD⊥PD，从而CD⊥面PAD，再由CD?面PCD，能证明面PAD⊥面PCD．
（2）过点B作BE∥CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角．连接AE，推导出四边形ACBE为正方形，由此能求出AC与PB所成的角．
（3）作AN⊥CM，垂足为N，连接BN，则∠ANB为所求二面角的平面角，由此能求出平面AMC与平面BMC所成二面角的大小．
【解答】证明：（1）∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，
∴由三垂线定理得：CD⊥PD．
因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，
∴CD⊥面PAD．
又CD?面PCD，∴面PAD⊥面PCD．
解：（2）过点B作BE∥CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角．
连接AE，可知AC=CB=BE=AE=，
又AB=2，所以四边形ACBE为正方形．
由PA⊥面ABCD，得∠PEB=90°
在Rt△PEB中，BE=a2=3b2，PB=，
∴cos∠PBE==．
∴AC与PB所成的角为arccos．
（3）作AN⊥CM，垂足为N，连接BN．
在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，
∴△AMC≌△BMC，
∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角
∵CB⊥AC，
由三垂线定理，得CB⊥PC，
在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．
在等腰三角形AMC中，AN?MC=?AC，
∴AN=．∴AB=2，
∴cos∠ANB==﹣，
故平面AMC与平面BMC所成二面角的大小为arccos（﹣）．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考百线线角的求法，考百二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
20.
参考答案：
略
21. 如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，PD⊥面ABCD，QC⊥面ABCD，且
AB=AD=PD=QC=CD，
（1）设直线QB与平面PDB所成角为θ，求sinθ的值；
（2）设M为AD的中点，在PD边上求一点N，使得MN∥面PBC，求的值．
参考答案：
【考点】直线与平面平行的判定．
【分析】（1）由题意，分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系如
图，设CD=2，求得D，P，B，Q的坐标，求出及平面PDB的一个法向量由与平面法向量所成角的余弦值的绝对值可得sinθ的值；
（2）求出M的坐标，设N（0，0，y），且=λ（λ≥0），则由，得
y=．可得N的坐标，再求出平面PBC的一个法向量，由与平面PBC的法向量的数量积为0求得λ值．
【解答】解：（1）∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥DC，
又ABCD为直角梯形，且AB⊥AD，AB∥CD，∴AD⊥DC，
分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，
∵AB=AD=PD=QC=CD，设CD=2，
则D（0，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），Q（0，2，1），
，，．
设平面PDB的一个法向量为，
由，取y=1，得．
∴sinθ=|cos＜＞|=||=；
（2）∵M为AD的中点，∴M（，0，0），设N（0，0，y），且=λ（λ≥0），
则由，得（0，0，y）=（0，0，λ﹣λy），∴y=．
∴N（0，0，），则，
设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），
由，取x=1，得，
由MN∥面PBC，得，解得，
∴=．
【点评】本题考查线面角，考查了直线与平面平行的判定，训练了利用空间向量求线面角，是中档题．
22. （本小题满分12分）
在中，角，，所对应的边分别为，，，且
．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的面积.
参考答案：
解：（Ⅰ）因为，由正弦定理，得
．…………2分
∴．……4分
∵, ∴，
∴．又∵，∴．…………6分
（Ⅱ）由正弦定理，得，…………8分由可得，由，可得
，…………10分∴．…………12分略。