高考数学压轴专题新备战高考《函数与导数》难题汇编及答案解析

【最新】数学《函数与导数》高考复习知识点
一、选择题
1．函数()2log ,0,2,0,
x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2
384g x f x f x =-+的零点个数是（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．6
【答案】A 【解析】 【分析】
通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数． 【详解】 函数()()()2
384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点
即方程()2
3
f x =和()2f x =的根， 函数()2lo
g ,0,2,0
x
x x f x x ⎧>=⎨
≤⎩的图象如图所示：
由图可得方程()2
3
f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2
384g x f x f x =-+有5个零点,
故选：A. 【点睛】
本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．
2．3
3ax ⎛ ⎝
⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（ ） A ．2ln 2 B ．ln 2 C ．2 D ．1
【答案】A 【解析】
【分析】
首先根据二项式定理求出a ，把a 的值带入1
1
a
dx x
⎰
即可求出结果. 【详解】
解题分析
根据二项式3
6ax ⎛- ⎝⎭
的展开式的通项公式得2
21
213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44
a
a ∴=∴=，
则4
4
111
11d d ln 2ln 2a x x x x x ===⎰⎰.
故选：A 【点睛】
本题考查二项式定理及定积分. 需要记住二项式定理展开公式：1C k n k k
k n T a b -+=.属于中等
题.
3．给出下列说法： ①“tan 1x =”是“4
x π
=
”的充分不必要条件；
②定义在[],a b 上的偶函数2()(5)f x x a x b =+++的最大值为30； ③命题“0001
,2x x x ∃∈+
≥R ”的否定形式是“1,2x x x ∀∈+>R ”. 其中错误说法的个数为（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】 【分析】
利用充分条件与必要条件的定义判断①；利用函数奇偶性的性质以及二次函数的性质判断②；利用特称命题的否定判断③，进而可得结果. 【详解】 对于①，当4
x π
=
时，一定有tan 1x =，但是当tan 1x =时，,4
x k k ππ=+
∈Z ，
所以“tan 1x =”是“4
x π
=
”的必要不充分条件，所以①不正确；
对于②，因为()f x 为偶函数，所以5a =-.因为定义域[],a b 关于原点对称，所以
5b =，
所以函数2
()5,[5,5]f x x x =+∈-的最大值为()()5530f f -==，所以②正确；
对于③，命题“0001
,
2x x x ∃∈+≥R ”的否定形式是“1,2x x x
∀∈+<R ”，所以③不正确； 故错误说法的个数为2. 故选：C. 【点睛】
本题考查了特称命题的否定、充分条件与必要条件，考查了函数奇偶性的性质，同时考查了二次函数的性质，属于中档题..
4．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称.以下关于()f x 的结论：①()f x 是周期函数；②()f x 满足()(4)f x f x =-；③()f x 在(0,2)单调递减；④()cos 2
x
f x π=是满足条件的一个函数.其中正确结论的个数是( ) A ．4 B ．3
C ．2
D ．1
【答案】B 【解析】 【分析】
题目中条件：(2)()f x f x +=-可得(4)()f x f x +=知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性． 【详解】
解：对于①：()()f x f x -=Q ，其图象关于点(1,0)对称(2)()f x f x +=- 所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，
∴函数()f x 是周期函数且其周期为4，故①正确；
对于②：由①知，对于任意的x ∈R ，都有()f x 满足()(4)f x f x -=-， 函数是偶函数，即()(4)f x f x =-，故②正确． 对于③：反例：如图所示的函数，关于y 轴对称，
图象关于点(1,0)对称，函数的周期为4，但是()f x 在(0,2)上不是单调函数，故③不正确；
对于④：()cos 2
x
f x π=是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称的一个函数，
故④正确． 故选：B ． 【点睛】
本题考查函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、对称性和周期性，属于基础题．
5．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．
16
B ．
13
C ．
12
D ．
56
【答案】A 【解析】
曲线2
y x =与直线y x =的交点坐标为()()0,0,1,1 ，由定积分的几何意义可得曲线2
y x
=与直线y x =所围成的封闭图形的面积为
()1
2
2
3100
1
11
|2
36
x x dx x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰ ，故选A.
6．已知函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22
a b a b
+-的最小值等于（ ）．
A
B
．C
．2
D
．【答案】D 【解析】
试题分析：因为函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b = 所以lg lg a b =- 所以1
a b
=
，即1ab =，0a b >> 22a b a b
+-22()2()2
2()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+
--
-≥= 当且仅当2
a b a b
-=
-
，即a b -=时等号成立 所以22
a b a b +-
的最下值为故答案选D
考点：基本不等式．
7．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为（ ）时，其容积最大．
A ．
34
B ．
23
C ．
13
D ．
12
【答案】B 【解析】 【分析】
设正六棱柱容器的底面边长为x ,则正六棱柱容器的高为)3
12
x -,则可得正六棱柱容器的容积为()())()3233921224
V x x x x x x x =+⋅⋅-=-+,再利用导函数求得最值,即可求解. 【详解】
设正六棱柱容器的底面边长为x ,)3
1x -, 所以正六棱柱容器的容积为()())()32339214
V x x x x x x x =+-=-+, 所以()227942V x x x '=-
+,则在20,3⎛⎫
⎪⎝⎭上,()0V x '>；在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上,()0V x '<, 所以()V x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝
⎭
上单调递增,在2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减, 所以当2
3
x =时,()V x 取得最大值, 故选:B 【点睛】
本题考查利用导函数求最值,考查棱柱的体积,考查运算能力.
8．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()3221f x f x -=-,且()f x 在[1, )+∞上单调递增,则（ ）
A ．()()()0.3
1.1
3
0. 2
0.54f f log f << B ．()()()0.3
1.1
3
0. 240.5f f f log <<
C ．()()()1.1
0.3
3
40.20.5f f f log << D ．()()()0.3
1.1
3
0.50.24f log f f << 【答案】A 【解析】
【分析】
由已知可得()f x 的图象关于直线1x =对称.因为0.3
1.130.2
1log 0.5141-<-<-，又
()f x 在[1,)+∞上单调递增,即可得解.
【详解】
解：依题意可得,()f x 的图象关于直线1x =对称. 因为()()()0.3
1.1330.20,1,0.5 2 1,,044,8log log ∈=-∈-∈,
则0.3
1.130.2
1log 0.5141-<-<-，
又()f x 在[1,)+∞上单调递增, 所以(
)()()0.3
1.1
3
0.20.54f f log f <<.
故选:A. 【点睛】
本题考查了函数的对称性及单调性，重点考查了利用函数的性质判断函数值的大小关系，属中档题.
9．已知函数
在区间
上有最小值，则函数
在区间
上一定（ ）
A ．有最小值
B ．有最大值
C ．是减函数
D ．是增函数
【答案】D 【解析】 【分析】 由二次函数
在区间
上有最小值得知其对称轴
，再由基本初等函数的单调性或单调性的性质可得出函数在区间
上的单调性.
【详解】 由于二次函数
在区间
上有最小值，可知其对称轴
，
.
当时，由于函数
和函数在上都为增函数，
此时，函数在上为增函数；
当时，
在
上为增函数；
当
时，由双勾函数的单调性知，函数
在
上单调递
增，
，所以，函数
在
上为增函数.
综上所述：函数在区间
上为增函数，故选D.
【点睛】
本题考查二次函数的最值，同时也考查了
型函数单调性的分析，解题时要注意对
的符号进行分类讨论，考查分类讨论数学思想，属于中等题.
10．函数()3ln x
f x x
=
的部分图象是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
根据奇偶性排除B ，当1x >时，()3ln 0x
f x x
=>，排除CD ，得到答案. 【详解】
()()()33ln ln ,x x
f x f x f x x x
=
-==--， ()f x 为奇函数，排除B 当1x >时，()3ln 0x
f x x
=>恒成立，排除CD 故答案选A 【点睛】
本题考查了函数图像的判断，通过奇偶性，特殊值法排除选项是解题的关键.
11．函数()||()a
f x x a R x
=-
∈的图象不可能是( ) A ． B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】 【分析】
变成分段函数后分段求导，通过对a 分类讨论，得到函数的单调性，根据单调性结合四个选项可得答案. 【详解】
,0(),0a x x x f x a x x x ⎧->⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩,∴221,0()1,0a x x
f x a x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪-+<⎩
'⎪.
(1)当0a =时,,0
(),0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩,图象为A;
(2)当0a >时,210a
x
+>,∴()f x 在(0,)+∞上单调递增,
令210a
x
-+=得x a =
∴当x a <,210a
x -+<,
当0a x <<时,2
10a x
-+>, ∴()f x 在(,a -∞上单调递减,在(,0)a 上单调递增,图象为D; (3)当0a <时,210a
x
-+<,∴()f x 在(,0)-∞上单调递减, 令210a
x
+
=得x a =-
∴当x >
时,210a
x +
>,
当0x <<,210a
x
+<,
∴()f x 在上单调递减,在)+∞上单调递增,图象为B; 故选：C. 【点睛】
本题考查了分段函数的图像的识别，考查了分类讨论思想，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题.
12．()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R 总有3()()2f x f x +=-，则9()2
f -的值为（ ） A ．0 B ．3
C ．
32
D ．92
-
【答案】A 【解析】 【分析】
首先确定函数的周期，然后结合函数的周期性和函数的奇偶性求解92f ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值即可. 【详解】
函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x R ∈总有()32f x f x ⎛
⎫
+=- ⎪⎝⎭
，则函数的周期3T =， 据此可知：()993360002222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-
=-+==+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 本题选择A 选项. 【点睛】
本题主要考查函数的周期性，函数的奇偶性，奇函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
13．已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足()()80f x f x ++=，且()55f =，则
()()20192024f f +=（ ）
A ．-5
B ．5
C ．0
D ．4043
【答案】B 【解析】 【分析】
根据(8)()0f x f x ++=得函数的周期为16，结合()55f =，(0)0f =即可求解. 【详解】
由(8)()0f x f x ++=，得(8)()f x f x +=-，
所以(16)(8)()f x f x f x +=-+=.故函数()y f x =是以16为周期的周期函数. 又在(8)()0f x f x ++=中，令0x =，得(8)(0)0f f +=， 且奇函数()y f x =是定义在R 上的函数，
所以(0)0f =.故(8)0f =.故(2024)(161268)(8)0f f f =⨯+==. 又在(8)()0f x f x ++=中，令3x =-，得(5)(3)0f f +-=.
得(5)(3)(3)5f f f =--==，则(2019)(161263)(3)5f f f =⨯+==. 所以(2019)(2024)5f f +=. 故选：B. 【点睛】
此题考查根据函数的周期性求抽象函数的函数值，关键在于根据函数关系准确得出函数周期，结合定义在R 上的奇函数的特征求值.
14．函数()3ln 2x
f x x x
=+的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．64y x =- B ．75y x =- C ．63=-y x D ．74y x =-
【答案】B 【解析】 【分析】
首先求得切线的斜率，然后求解切线方程即可. 【详解】
由函数的解析式可得：()22
1ln '6x
f x x x
-=+， 则所求切线的斜率()2
2
1ln1'16171
k f -==+⨯=， 且：()0
12121
f =
+⨯=，即切点坐标为()1,2， 由点斜式方程可得切线方程为：()271y x -=-，即75y x =-. 本题选择B 选项. 【点睛】
导数运算及切线的理解应注意的问题
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.
15．函数()(
)2
ln 43f x x x =+-的单调递减区间是（ ）
A ．3,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
，
C ．31,2
⎛⎤- ⎥⎝
⎦
D ．342⎡⎫⎪⎢⎣⎭
，
【答案】D 【解析】 【分析】
先求函数定义域，再由复合函数单调性得结论． 【详解】
由2430x x +->得14x -<<，即函数定义域是(1,4)-，
2232543()24
u x x x =+-=--+在3(1,]2-上递增，在3
[,4)2上递减，
而ln y u =是增函数，
∴()f x 的减区间是3[,4)2
． 故选：D ． 【点睛】
本题考查对数型复合函数的单调性，解题时先求出函数的定义域，函数的单调区间应在定义域内考虑．
16．已知函数()f x 的导函数为()f x '，在()0,∞+上满足()()xf x f x '>，则下列一定成立的是（ ）
A ．()()2019202020202019f f >
B ．()()20192020f f >
C ．()()2019202020202019f f <
D ．()()20192020f f <
【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数()()
f x
g x x
=
，利用导数判断函数()y g x =在()0,∞+上的单调性，可得出()2019g 和()2020g 的大小关系，由此可得出结论.
【详解】
令()()()0f x g x x x =>，则()()()
2
xf x f x g x x
'-'=. 由已知得，当0x >时，()0g x '>.
故函数()y g x =在()0,∞+上是增函数，所以()()20202019g g >，
即
()()
2020201920202019f f >
，所以()()2019202020202019f f >. 故选：A. 【点睛】
本题考查利用构造函数法得出不等式的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.
17．已知函数f （x ）＝2x －1
，()2cos 2,0?
2,0a x x g x x a x +≥⎧=⎨+<⎩
（a ∈R ），若对任意x 1∈[1，＋
∞），总存在x 2∈R ，使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（）
A ．1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
B ．2,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
C ．[]1,
1,22⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭U D ．371,,224⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
U 【答案】C 【解析】 【分析】
对a 分a=0,a ＜0和a ＞0讨论，a ＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a 的取值范围. 【详解】
当a =0时，函数f （x ）＝2x －1的值域为[1,+∞），函数()g x 的值域为[0,++∞），满足题意. 当a ＜0时，y =2
2(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）, y =()cos 20a x x +≥的值域为[a +2,-a +2],
因为a +2-2a =2-a >0,所以a +2＞2a , 所以此时函数g (x )的值域为（2a ,+∞）, 由题得2a ＜1，即a ＜
1
2
，即a ＜0. 当a ＞0时，y =2
2(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）,y =()cos 20a x x +≥的值域为[-a +2,a +2], 当a ≥
2
3时，-a +2≤2a ,由题得21,1222a a a a
-+≤⎧∴≤≤⎨
+≥⎩. 当0＜a ＜
23时，-a +2＞2a ，由题得2a ＜1，所以a ＜12.所以0＜a ＜1
2
. 综合得a 的范围为a ＜1
2
或1≤a ≤2， 故选C . 【点睛】
本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥，3()3f x x x =+，则
32
(2)a f =,3
1
(log )27
b f =，(2)
c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >>
D ．b c a >>
【答案】C 【解析】 【分析】
利用导数判断3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，再根据自变量的大小得到函数值的大小. 【详解】
Q 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，
3
1
(log )(3)(3)27
b f f f ∴==-=， 32
022223<<=<Q ，
当0x ≥，'2
()330f x x =+>恒成立， ∴3
()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，
3
231
(log )(2)(2)27
f f f ∴>>，即b a c >>.
故选：C. 【点睛】
本题考查利用函数的性质比较数的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将自变量化到同一个单调区间中.
19．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取
lg30.4771≈，lg 20.3010≈）
A ．16
B ．17
C ．24
D ．25
【答案】D 【解析】 【分析】
由折线长度变化规律可知“n 次构造”后的折线长度为43n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此得到410003n
⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，利用运算法则可知3
2lg 2lg 3
n ≥⨯-，由此计算得到结果.
【详解】
记初始线段长度为a ，则“一次构造”后的折线长度为
4
3
a ，“二次构造”后的折线长度为2
43a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以此类推，“n 次构造”后的折线长度为43n
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则410003n a a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即410003n
⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，
()()44lg lg lg 4lg32lg 2lg3lg1000333n
n n n ⎛⎫
∴==-=-≥= ⎪⎝⎭，
即3
24.0220.30100.4771n ≥
≈⨯-，∴至少需要25次构造.
故选：D . 【点睛】
本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.
20．已知函数()2ln 2
x
x f x e x =+-的极值点为1x ，函数()2x
g x e x =+-的零点为2x ，
函数()ln 2x
h x x
=
的最大值为3x ，则（ ） A ．123x x x >> B ．213x x x >>
C ．312x x x >>
D ．321x x x >>
【答案】A 【解析】 【分析】
根据()f x '在()0,∞+上单调递增，且11024f f ⎛⎫⎛⎫
''⋅<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，可知导函数零点在区间11,42⎛⎫
⎪⎝⎭内，即()f x 的极值点111,42x ⎛⎫∈
⎪⎝⎭；根据()g x 单调递增且11024g g ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知211,42x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
；通过判断()()12g x g x >，结合()g x 单调性可得12x x >；利用导数可求得
()max 1124h x e =
<，即31
4
x <，从而可得三者的大小关系. 【详解】
()1
x f x e x x
'=+-Q 在()0,∞+上单调递增
且1213022f e ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，1
4115044f e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭
111,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭且11
110x e x x +-= Q 函数()2x g x e x =+-在()0,∞+上单调递增
且1213022g e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，1
4112044g e ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭
211,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ 又()()1
111121111
2220x g x e x x x g x x x ⎛⎫=+-=-+-=->= ⎪⎝⎭
且()g x 单调递增 12x x ∴> 由()2
1ln 2x h x x
-'=
可得：()()max 12h x h e e ==，即311
24x e =< 123x x x ∴>>
本题正确选项：A 【点睛】
本题考查函数极值点、零点、最值的判断和求解问题，涉及到零点存在定理的应用，易错点是判断12,x x 大小关系时，未结合()g x 单调性判断出()()12g x g x >，造成求解困难.。