苏教版高中数学选修2-1高二上学期同步测试：选修

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）
10-11学年高二上学期同步测试数学：选修
2-1（苏教版）
命题范围：选修2-1
全卷满分150分，用时120分钟。

第Ⅰ卷（共60分）
一、（60分，每小题5分）
1．已知命题p ：x R ∀∈，2
10x x +-<，则命题p ⌝是 （ ）
A ．x R ∀∈，012
≥-+x x B ．R x ∈∃，012
≥-+x x
C ． x R ∀∈，012>-+x x
D ．R x ∈∃，012
<-+x x
2．已知a R ∈，则“2a >”是“11
2
a <”的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．下列曲线中离心率为62
的是
（ ）
A ．22124x y -=
B ．22142x y -=
C ．22146x y -=
D ．221410
x y -=
4．已知抛物线x y C =2
:与直线1:+=kx y l ，“0≠k ”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交
点”的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件；
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．抛物线2
y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 （ ）
A ．
43 B ．75 C ．8
5
D ．3
6．设双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心
率等于
（ ）
A ．3
B ．2
C ．5
D ．6
7．设过点(,)P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P
关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =且1OQ AB =，则点P 的轨迹方程是（ ） A ．22
331(0,0)2
x y x y +=>> B ．22
331(0,0)2
x y x y -=>>
C ．
2
2331(0,0)2x y x y -=>> D ．
2
2331(0,0)2
x y x y +=>> 8．若点(2,0)P 到双曲线22
221x y a b
-=的一条淅近线的距离为2，则双曲线的离心率为
（ ）
A ．2
B ．3
C ．22
D ．23
9．设斜率为2的直线l 过抛物线2
(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF （O
为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为 （ ）
A ．24y x =±
B ．28y x =±
C ．24y x =
D ．2
8y x =
10．若点O 和点F 分别为椭圆22
143
x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为
（ ）
A ．2
B ．3
C ．6
D ．8
11．设21,x x R ∈，常数0>a ，定义运算“*”：2
212
2121)()(x x x x x x --+=*，若0≥x ，
则动点P （a x x *,）的轨迹是
（ ）
A ．圆
B ．椭圆的一部分
C ．双曲线的一部分
D ．抛物线的一部分
12．若椭圆或双曲线上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2：1，则称此椭圆或
双曲线存在“F 点”，下列曲线中存在“F 点”的是 （ ）
A ．
115162
2=+y x
B ．
124
252
2=+y x C ．115
2
2
=-y x
D ．12
2
=-y x
第Ⅱ卷 （共90分）
二、填空题（20分，每小题5分）
13．已知点120A -（，，）
和向量(3,4,12)a =-，若2AB a =，则点B 的坐标为 14．已知双曲线22221x y a b -=的离心率为2，焦点与椭圆
22
1259
χγ+=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为
15．双曲线
221169
x y -=上一点P 到右焦点的距离是实轴两端点到右焦[来源点距离的等差中项，则P 点到左焦点的距离为 ．
16．椭圆
22
1169
x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F , 过焦点F 1的直线交椭圆于,A B 两点 ，若2ABF ∆的内切圆的面积为π，A ，B 两点的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ，则
21y y -的值为
三、解答题（70分） 17．（本题满分
10
分）已知
p ：0)10)(2(≤-+x x ，q ：
)0(0)]1()][1([>≤+---m m x m x ，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的
取值范围。

18．（本题满分12分）已知双曲线C 的中心在坐标原点O ，对称轴为坐标轴，点(2,0)-是
它的一个焦点，并且离心率为23
3
． （Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）已知点(0,1)M ，设00(,)P x y 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点，
求MP MQ ⋅的取值范围．
19．（本题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝CC 1，M 、N 分
别是A 1B 、B 1C 1的中点．
（Ⅰ）求证：MN ⊥平面A 1BC ；
（Ⅱ）求直线BC 1和平面A 1BC 所成角的大小．
20．（本题满分12分）
已知动点P 到定点(
)
2,0F
的距离与点P 到定直线l ：22x =的距离之比为
2
2
． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）设M 、N 是直线l 上的两个点，点E 与点F 关于原点O 对称，若0EM FN =，
求MN 的最小值．
B
A 1
B 1
C 1
N A
C M
21．（本题满分12分）如图，抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，
过点M （0，－2）作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足(4,12)OA OB +=--． （Ⅰ）求直线l 和抛物线的方程；
（Ⅱ）当抛物线上一动点P 从点A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值．
22．（本题满分12分）
如图，设F 1，F 2是椭圆C ：122
22=+b
y a x （0>>b a ）的左、右焦点，A ，B 分别
是椭圆C 的右顶点和上顶点，P 是椭圆C 上一点，O 为坐标原点，PF 1⊥PF 2，
2
OP OB OA =。

（1）设椭圆C 的离心率为e ，证明：
12
2
<<e ； （2）证明：0=⋅PA OP ； （3）设15-=
PA ，求椭圆的长轴长。

x
y O
P A B
M
参考答案
一、（60分）
1．B （全称命题的否定是特称命题，故选 B ．、
2．A （由
112a <可得202a a ->, 即得20a a ><或, ∴“2a >”是“11
2
a <”的充分不必要条件, 故应选A ）、
3．B （由62e =得222222331
,1,222
c b b a a a =+==，选B ）、
4．B （当0k =时，直线1y =与抛物线x y C =2
:只有一个交点；所以直线l 与抛物线C 有
两个不同交点必须0≠k ；当0≠k 时，由2,1.y x y kx ⎧=⎨=+⎩得()22
2110k x k x +-+=，
()2
221441k k k ∆=--=-+，则∆不一定大于零，此时直线l 与抛物线C 可能没有
交点可能有一个交点，也可能有两个交点．所以“0≠k ”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点” 必要不充分条件．故选Ｂ．）、
5．A （设抛物线2
y x =-上一点为（m ，－m 2），该点到直线4380x y +-=的距离为
2|438|5
m m --，当m=32时，取得最小值为4
3，选A ）、
6．C （设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为0'
0|2x x y
x ==．
由题意有0
00
2y x x =又2001y x =+ 解得: 2
201,2,1()5b b
x e a a
=∴
==+=．）、 7．D （设P （x ，y ），则Q （－x ，y ），又设A （a ，0），B （0，b ），则a >0，b >0，于是
BP x y b PA a x y ＝（，－），＝（－，－），由2B P P A ＝可得a ＝
3
2
x ，b ＝3y ，所以x >0，y >0又AB ＝（－a ，b ）＝（－3
2
x ，3y ），由•O
Q A B ＝1可得
)0,0(132
322
>>=+y x y x 故选D ）、
8．A （设过一象限的渐近线倾斜角为α2
sin 4512
k αα⇒=
⇒=⇒= 所以b y x x a =±
=±a b ⇒=，因此2,2c
c a e a
===，选A ）
、 9．B （抛物线2
(0)y ax a =≠的焦点F 坐标为(,0)4a ,则直线l 的方程为2()4
a y x =-,它与y
轴的交点为A (0,)2a -,所以△OAF 的面积为1||||4242
a a
⋅=,解得8a =±．所以抛物线方
程为2
8y x =±,故选 B ．）、
10．C （由题意，F （-1，0），设点P 00(,)x y ，则有2200143x y +=,解得22
003(1)4
x y =-， 因为00(1,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2000(1)OP FP x x y ⋅=++
=00(1)OP FP x x ⋅=++203(1)4x -=2
0034x x ++，此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x =-，因为022x -≤≤，所以当02x =时，OP FP ⋅取得最大值2
22364
++=，选C ）、
11．D （因为2
212
2121)()(x x x x x x --+=*,所以
ax a x a x a x 2)()(22=--+=*，则)2,(ax x P ,设),(11y x P ，
即⎩⎨
⎧==ax
y x x 211
消去x 得)0,0(41112
1≥≥=y x ax y 故点P 的轨迹为抛物线的一部分）、
12．D （设椭圆或双曲线上点P 到两焦点F 的距离分别为m ,n ,则由方程
22
11615
x y +=可得8,2m n m n +=⎧⎨
=⎩解之得16,3
8,3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩而由,[3,7]m n ∈可得其不符合条件;由方程2212524x y +=可得10,2m n m n +=⎧⎨=⎩解之得10,3
20,
3m n ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
, 而由,[4,6]m n ∈可得其不符合条件;由方程
2
2
115y x -=可得2,2m n m n -=⎧⎨=⎩解之得4,2,m n =⎧⎨=⎩
,而由,[3,)m n ∈+∞可得其不符合条件;由
方程22
1x y -=可得2,2m n m n -=⎧⎨=⎩解之得4,
2,
m n =⎧⎨=⎩,而由,[21,)m n ∈-+∞可得其符合
条件; 故应选
D ．）、
二、（20分）
13．(5,6,24)-（设B （x,y,z ），则(1,2,)AB x y z =-+，又2AB a =，解得x=-5,y=6,z=24,
所以B 点坐标为(5,6,24)-）、
14．()4,0,30x y ±±= （据椭圆方程可得2594c =
-=,又椭圆与双曲线焦点相同,故
其焦点坐标为()4,0±,又据已知得: 2
4
c
a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩,故222,23a
b
c a ==-=,故其渐近线
方程为3b
y x x a
=±
=±．）、 15．13（由4,3,a b ==得5c =设左焦点为1F ，右焦点为2F ,则
21
||()52
PF a c c a c =++-==，由双曲线的定义得：12||2||8513PF a PF =+=+=）、
x
y
O
1F
2F
A B
M
16．
8
77
（如右图所示．由2ABF ∆的内切圆的 面积为π，可得内切圆M 的半径为1,
则22211
(111)42822
ABF S AB BF AF a a ∆=⨯+⨯+⨯=⨯==,
又
21221212111
2169722
ABF S F F y y y y y y ∆=⋅⋅⨯-=⨯-⨯-=-,
∴218
77
y y -=．
）、 三．（70分）
17．解：因为p ⌝是⌝q 的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件,由p ：
0)10)(2(≤-+x x 可得102≤≤-x ,由q ：)0(0)]1()][1([>≤+---m m x m x 可得
)0(11>+≤≤-m m x m ,因为p 是q 的充分不必要条件，
所以 ⎩⎨⎧≥+-≤-10
121m m ，得9≥m 18．解：（Ⅰ）设双曲线方程为122
22=-b
y a x （0,0>>b a ），半焦距为c ,依题意得
23
32
c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩
解得222
3,1a b c a ==-=,∴所求双曲线C 的方程为2213x y -=
（Ⅱ）依题意有：00(,)Q x y --，0000(,1),(,1)MP x y MQ x y ∴=-=---
2
200
1MP MQ x y ∴⋅=--+，又220013x
y -=,20423
MP MQ x ∴⋅=-+， 由22
00
13x y -=可得，2
03x ≥,
204223
MP MQ x ∴⋅=-+≤- 故MP MQ ⋅的取值范围是(,2]-∞-
19．（Ⅰ）据题意CA 、CB 、CC 1两两垂直，以C 为原点，
CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立
空间直角坐标系，如图．
设
AC
＝
BC
＝
CC 1
＝
a
，
则
11(0,,0),(0,,),(,0,0),(0,0,0),(0,0,)B a B a a A a C C a
B A 1
B 1
C 1
N
A
C
M x
y
z
1(,0,)A a a ，(,,),(0,,)2222
a a a a
M N a ．
所以1(,,)BA a a a =-，
1(,0,)CA a a = (,0,)22
a a
MN =-．
于是10MN BA ⋅=，10MN CA ⋅=，即MN ⊥BA 1，
MN ⊥CA 1．又1
11BA CA A =，故MN ⊥平面A 1B
C ．
（Ⅱ）因为MN ⊥平面A 1BC ，则MN 为平面A 1BC 的法向量，又1(0,,)BC a a =-，
则21111
2cos ,2
||||
222
a BC MN
BC MN BC MN a a ⋅<>=
=
=
⨯
，所以1,60BC MN <>=． 故直线BC 1和平面A 1BC 所成的角为30º． 20．解：（1）设点(),P x y ，依题意，有
(
)
2
2
2
2
2
22
x y x -+=
-．整理，得22142x y +=． 所以动点P 的轨迹C 的方程为22
142
x y +=． （2）∵点E 与点F 关于原点O 对称，∴点E 的坐标为()
2,0-．
∵M 、N 是直线l 上的两个点，∴可设()
122,M y ，()
222,N y （不妨设12y y >）． ∵0EM FN =，∴()(
)
1
232,2,0y y =．即1260y y +=．即21
6
y y =-
． 由于12y y >，则10y >，20y <．∴121111
66226MN y y y y y y =-=+
⋅=≥． 当且仅当16y =
，26y =-时，等号成立．故MN 的最小值为26． 21．解：（Ⅰ）据题意可设直线l 的方程为2y kx =-，
抛物线方程为2
2(0)x py p =->．
由22
2y kx x py
=-⎧⎨=-⎩得，2240x pkx p +-=．
设点1122(,),(,)A x y B x y ，则
()21212122,424x x pk y y k x x pk +=-+=+-=--．
所以()()
21212,2,24OA OB x x y y pk pk +=++=---．
因为(4,12)OA OB +=--，所以2
242412
pk pk -=-⎧⎨--=-⎩，解得1
2p k =⎧⎨=⎩．
故直线l 的方程为22y x =-，抛物线方程为2
2.x y =-
（Ⅱ）解法一：据题意，当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△APB 面积最大．
设点00(,)P x y ，因为y x '=-，由0022x x -=⇒=-，2
00122
y x =-
=-，所以(2,2).P --此时，点P 到直线l 的距离22
2(2)(2)2
44555
2(1)d ⋅----=
=
=+-．
由2222y x x y
=-⎧⎨=-⎩，得2
440x x +-=． 所以2
2221212||1()412(4)4(4)410AB k
x x x x =++-⋅=+---=．
故△AB P 面积的最大值为1145||410822
25
AB d ⋅⋅=
⋅⋅=． 解法二：由2222y x x y
=-⎧⎨=-⎩得，2
440x x +-=．
所以2
2221212||1()412(4)4(4)410AB k
x x x x =++-⋅=+---=．
设点2
1(,)2
P t t -(222222)t --<<-+，点P 到直线l 的距离d ． ）
则222
2
1
22
(2)82(222222)25
2(1)
t t t d t +-+-=
=
--<<-++-，
当2t =-时，d max =
45
5
，此时点(2,2)P --． 故△AB P 面积的最大值为1145||410822
25
AB d ⋅⋅=
⋅⋅=． 22．（1）证明：由21PF PF ⊥知，c OF OP ==2，又因为2
OP OB OA =，所以2
c ab =
设P （x ，y ），2211,r PF r PF ==，则由椭圆的定义可得a r r
221=+,2
22214c r r =+，有2
212b r r =,由21PF F ∆面积相等得cy b =2
，即c
b y 2
=
因为b y <，所以b c >，则222c a c ->，可得2
1
2
>
e ，得22>e
又 1<e ，所以
12
2
<<e （2）证明：由（1）有c
b y 2
=，所以
c b c c
b c y c x 4
42422
2
-=
-=-=b c
b c b b a ==-=2
24
224 则),(2c b b P ，又因为A （a ，0），所以),(2
c
b b a PA --=
0)1()(2222
222224224=-=+-=--=--=⋅c
b a
c c b b c c b b ab c b b a b PA OP
（3）解：由于0=⋅PA OP ，则OPA ∆为直角三角形，则15,-=
=PA b PA
即15-=
b ，由2
c ab =得0124=-+e e ，解得2
1
52-=
e 则222b a
c =，有2
222ac b a c ==，所以2=a ，所求椭圆的长轴长为4。