新人教版高中数学必修二教案：4.2直线、圆的位置关系

4.2直线、圆的位置关系
【知识要点】
1、直线与圆的位置关系：d d=d>⎧⎪⎨⎪⎩
相交,圆心点到直线的距离<r 相切,圆心点到直线的距离r 相离,圆心点到直线的距离r
圆心 0(,)x a b 到任意一条直线0Ax By C ++=的距离为d ，
||
Aa Bb C d ++=2、圆1o 与圆2o 的位置关系：
设圆1o 和圆2o 的半径分别为1r 、2r ，两圆圆心之间的距离为d ，则有：
121212121212||||||d r r d r r d r r d r r r r d r r ⎧⇔>+⎧⎪⎨⇔<-⎩⎪⎪⇔=+⎧⎪⎨⎨⇔=-⎩⎪⎪⇔-<<+⎪⎪⎩
外离相离内含外切相切内切相交 3、圆与圆的位置关系，以及公切线
（1）两圆内含时，公切线条数为0；
（2）两圆内切时，公切线条数为1；
（3）两圆相交时，公切线条数为2；
（4）两圆外切时，公切线条数为3；
（5）两圆相离时，公切线条数为4。

4、 圆的切线方程：
若点P 00(,)x y 在圆222()
()x a y b R -+-=上时，则切线方程为： 200()()()()x a x a y b y b R --+--=
也可以写成0000()()()()0x a x x y b y y --+--=
值得注意的是： ① 若点P 00(,)x y 在圆222()()x a y b R -+-=上，则过点
P 与圆相切的直线有且只有一条；
② 若点P 00(,)x y 在圆222()()x a y b R -+-=外，则过点
P 与圆相切的直线一定有两条，如果解题过程中只求出一条，那么一定要结合图
形，看看是不是漏掉了斜率不存在的那条切线，即与x 轴垂直的直线；
5、 圆系方程：
（1） 以（a ，b ）为圆心的同心圆系方程是：
222()()(0)x a y b λλ-+-=≠
（2） 与圆220x
y Dx Ey F ++++=同心的圆系方程是： 220x y Dx Ey λ++++=
（3） 过同一定点（a ，b ）的圆系方程是： 2212()()()()0x a y b x a y b λλ-+-+-+-=
（4） 过直线
0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=的交点
的圆系方程是： 220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=（）
（5） 过两圆221111C =0x y D x E y F ++++： 和
222222C 0x y D x E y F ++++=： 的交点的圆系方程是：
2222111222=00x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（）（λ≠-1）
（注意判断圆2C 是否被包含，2C 是满足题意的解）
【解题方法】
一、直线被圆所截的弦长问题
（1）代数法，将直线与圆联立，求出交点A 、B ，然后利用两点之间的距离公式可知：
（设直线AB 方程为：y=kx+b ，则k 为直线AB 的斜率）
（2）几何法，由弦心距d ，半径r ，以及半弦长
2
l 构成的直角三角形，可知：
l =|AB|=二、直线与圆的位置关系
1、直接利用圆心到直线的距离d 和圆的半径进行大小比较。

d d=d>⎧⎪⎨⎪⎩
相交,圆心点到直线的距离<r 相切,圆心点到直线的距离r 相离,圆心点到直线的距离r
三、求圆的方程，以及切线问题
1、利用定义来解题，可以设圆的方程为：222()
()x a y b R -+-=，然后找出其他条件，解出未知数a ，b ，R.
2、切线问题的求解，可以根据直线经过点P （00,x y ），设切线AB 为：y=k （x-0x ）+0y ，然后利用圆心点（a ，b ）到直线AB 的距离为R ，求解出未知数K ，那么切线AB 得知求解。

3、数形结合思想的运用，数形结合的思想是解析几何基本方法的出发点，曲线的方程、方程的曲线就是数形结合的产物。

在处理直线与圆的位置关系及其相关问题时要时常记得运用数形结合的思想。

【知识应用】【任意一点与圆的位置关系，并求过此点的切线】
【J 】例1、已知圆O 为：22(1)1x y -+=，点M （2,0）
，判断点M 与圆O 的位置关系，并求出过M 点的切线方程。

点拨：画图可知，点M 在圆O 上，故切线只有一条，结合图形可知切线为：x=2
【L 】例2、已知圆O 为：22450x
y y +--=，点P 为（3，-1），判断点P 与圆O 的位置关系，并求出过P 点与圆O 相切的直线。

【C 】例3、求经过点（1，-7）与圆2225x y +=相切的切线方程。

【知识应用】【关于圆的最值问题，利用数形结合的方法求解】
【J 】例1、已知实数x ，y 满足方程22
410x y x +-+=； （1）求
y x
的最大值和最小值； （2）求y -x 的最大值和最小值；
（3）求22
x y +的最大值和最小值。

点拨：（1）
y x 可以看成00y x --，即圆上一点与原点连线的斜率，由数形结合可知：过原点的直线与圆相切，00y x --有最大值与最小值。

（2）y -x 可以看成直线y x b =+在y 轴上的截距，由数形结合可知：直线y x b =+与圆相切时，截距有最大值与最小值。

（3）22
x y +可以看成22(0)(0)x y -+-，即点（x,y ）到原点（0,0）的距离的平方。

【L 】例2、已知圆C ：22(2)(1)1x y -+-=，在直线:34120l x y --=上确定一点P ，过点P 作圆的切线，使切线最短。

【C 】例3、设P （x ，y ）为圆C ：22(3)4x y -+=上任意一点，
（1）求点P （x ，y ）到直线x-y+1=0距离的最大值与最小值；
（2的最大值与最小值；
（3）求y x
的最大值与最小值.
小结：1、学习利用距离公式判断直线与圆的位置关系，以及求弦长。

2、从几何的角度出发，学会利用数形结合的思想来解决最值问题。

课堂测试
1、若直线0x y m ++=与圆222x y +=相切，求m 的值。

2、直线4320x y --=与圆22224120x y ax y a +-++-=总有两
个交点，求a 的取值范围。

3、求直线:3450l x y --=被圆225x
y +=所截得弦长。

4、圆22(2)(2)2x y -+-=与直线y kx =的交点为
A ，
B ，原点为O ，求||*||OA OB 的值。

5、已知圆1O 的方程是2220x y +-=，圆2O 的方程是
2282140x y x y +-++=，
由动点P 向圆1O 和圆2O 所引的切线长相等，求动点P 的轨迹方程。

6、由动点P 向圆122=+y x 引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，APB ∠=600，
则动点P 的轨迹方程是 .
7、已知圆22:2430C x y x y ++-+=，从圆C 外一点P 向圆引一条切线，
切点为M ，O 为坐标原点，且有||||PM PO =，求||PM 的最小值。