二次根式的乘法1
21.2二次根式的乘法 (1)
16ab c
3.已知一个直角三角形的斜边 c=21，一条直角边b=4.求另一 条直角边a.
1.本节课学习了积的算术平方根和算术平方 根的积。
a b ab
a≥0,b≥0
ab a b (a 0, b 0)
化简二次根式的步骤：
1.将被开方数尽可能分解成几个平方数. 2.应用
ab a b
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根.
例题1 计算： （ 1）
6
1 7 （ 2） 2
32
例题２ 化简： （1） 16 81 （ 2）
4a b
2
3
思考：
（ 4） （ 9） 4 9对吗?
例题３ 计算：
1.
14 7
2.3
5 2 10
1 3. 3x xy 3
2 2
C
102 202 500 102 5 10 5 10 5 (cm)
答：AB长 10 5 cm.
练习：
1.化简： （ 1） （ 3）
49 121 18
27 15 3x
3
（ 2） （ 4）
225 4y
2.化简:
（ 1） （ 3） （ 2） （ 4）
8m n
2 2 2 3
a b ab
一般的：
a b ab
反过来：
（a≥0，b≥0）
（a≥0，b≥0） ab a b
在本章中， 如果没有特别说明，所有的字母都表示正数．
二次根式的乘法：
a b ab(a 0, b 0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根
ab a （ b a 0，b 0）
二次根式的乘法(1)
5
比较上述各式,你有什么发现?
结论：
一般地,
a b
ab (a 0, b 0)
两个非负数的算术平方根的 积等于它们积的算术平方根
例1：计算:
(1) 2
32 ;
(3) 2 a 8 a ( a 0 )
试一试
1 2
( 2 ) 27 a
5
(1)
8
4a 3
(a 0)
结论：
a
3
3 10
动动脑筋
若 ( x 1)( x 2)
x 1 x 2
则x的取值范围是_______
小
结
1.
a b
ab (a 0, b 0)
两个非负数的算术平方根的 积等于它们积的算术平方根
2. 反过来得:
ab
a b (a 0, b 0)
知识象一艘船 让它载着我们 驶向理想的
完成P62练习1-2 1.计 算
(1) 2 0 5;
( 2 )3 2 2 8 ; (3) 8
3
18 ; 3a 2 (a 0)
(4) 6a
2.化简
(1) 1 6 2 5 ; (2 ) 1 5 0 ; (3) 4 5 a ( a 0 ); (4 ) 9 a b ( a 0, b 0 );
……
2 3
(5) 2 6 1 0
2
2
注意:结果被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式
计算
2
3
6
a
b
c
a b c
(a 0,b 0,c 0)
推广
a b k a b k
(a 0,b 0,k 0)
人教版数学八年级下册16.2第1课时《二次根式的乘法》说课稿
人教版数学八年级下册16.2第1课时《二次根式的乘法》说课稿一. 教材分析《二次根式的乘法》是人教版数学八年级下册第16.2节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了二次根式的性质和二次根式的加减法运算的基础上进行教授的。
二次根式的乘法是数学中基本的运算之一，它在数学问题的解决中有着广泛的应用。
通过学习这部分内容，可以使学生进一步理解和掌握二次根式的性质，提高他们的数学运算能力。
二. 学情分析在八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次根式的性质和加减法运算已经有了一定的了解。
但是，学生在进行二次根式的乘法运算时，可能会对如何正确处理根号下的乘法运算感到困惑。
因此，在教学过程中，需要引导学生正确理解二次根式的乘法运算规则，并通过大量的练习来巩固他们的理解。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握二次根式的乘法运算规则，能够正确进行二次根式的乘法运算。
2.过程与方法目标：通过教师的引导和学生的自主探究，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极的学习态度和良好的学习习惯。
四. 说教学重难点1.教学重点：使学生理解和掌握二次根式的乘法运算规则。
2.教学难点：如何引导学生正确理解二次根式的乘法运算规则，并能够灵活运用。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法和探究法相结合的教学方法。
在讲解二次根式的乘法运算规则时，我将通过生动的例子和清晰的解释，帮助学生理解和掌握。
同时，我将引导学生进行自主探究，通过解决实际问题，来加深他们对二次根式乘法运算的理解。
此外，我还将运用多媒体教学手段，如PPT等，来辅助教学，使教学内容更加生动和直观。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引发学生对二次根式乘法运算的思考，激发他们的学习兴趣。
2.讲解：讲解二次根式的乘法运算规则，并通过大量的例子来解释和巩固。
3.练习：让学生进行二次根式乘法运算的练习，及时发现和纠正他们的错误。
16.2 二次根式的乘除
例 6 计算:(1)-2 15÷3 3×6 5;
(2)
3
·
2
÷
2
1
2
3
;(3)3 2 × -
1
8
15 ÷
1
2
2
.
5
分析(1)利用二次根式的乘除法则计算即可;(2)先根据二次根式
的除法法则计算括号里的,再计算即可;(3)先把乘除法混合运算转
化成乘法运算,再进行乘法运算即可.
22
教材新知精讲
(4)公式里的字母可以是具体的数,也可以是值为非负数的代数
式.
(5)当二次根式前面系数不为 1 时,可以类比单项式与单项式相
乘的法则,先把系数相乘,再把被开方数相乘,即
m ·
n =mn (a≥0,b≥0).
3
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知识点一
知识点二
知识点三
例 1 计算:(1)
5
×
3
知识点四
知识点五
综合知识拓展
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。17:50:0617:50:0617:509/12/2021 5:50:06 PM
教材新知精讲
综合知识拓展
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.1217:50:0617:50Sep-2112-Sep-21
平方根的性质结合起来使用.商的算术平方根实质是二次根式除法
法则的逆用.
(5)利用商的算术平方根的性质,可以把被开方数的分母是开得尽
方的数的二次根式进行化简.
15
教材新知精讲
知识点一
知识点二
人教版八年级下册数学精品教学课件 第16章 二次根式 第1课时 二次根式的乘法
例5 计算： （1） 14 7 ；（2）3 5 2 10 ； （3）3x
1 xy ．
3
解：（1） 14 7= 14 7= 72 2=7 2.
（2）3 5 2 10=6 5 10=30 2.
D. 52 32 52 32 53 15
3. 计算：
( 1 ) 3 15= _3___5__ ；
( 2 ) 6 12 = __6__2___ ;
( 3 ) 32 2 __2_6__.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜” 或“=”）：
（1）5 4 ＞ 4 5；（2） 4 2 ＜ 2 7.
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式： (1) 4 9= 4 9 ；
(2) 16 25= 16 25；
(3) 25 36= 25 36.
思考 你发现了什么规律？你能用字母表示你所
发现的规律吗？
你能证明这
猜测： a b a b a≥0，b≥0. 个猜测吗？
证一证
求证： a b a b a≥0，b≥0.
(D)
A. 4 5 2 5 8 5
B. 5 3 4 2 20 5
C. 4 3 3 2 7 5
D. 5 3 4 2 20 6
3.计算： 6 15 10 _3_0__.
积的算术平方根的性质
一般地：
a
反过来：
b ab （a≥0，b≥0）
这个性质在有的地 方称之为“积的算
（a≥0，b≥0） 术平方根的性质”
证明：根据积的乘方法则，有 ( a b )2 ( a )2 ( b )2 ab.
∴ a b 就是 ab 的算术平方根.
3二次根式的乘法1
= 9 = 3
a b＝ ab (a≥0，b≥0)
③ 2 （ 2 8） 解：原式=
2× 2 2× 8
1 1 2 2 21 ④ 3 7
1 1 2 解：原式= -2× × × 21 3 7 1 2 2 21 = 7× 3 2 = × 49 7 2 = ×7 7
= 2- 4 = -2
= -2
a b＝ ab (a≥0，b≥0)
规定：在本章中，如果没有特殊说明，所有字母都表示正数 !
1 ① 5
x y （ 5
3 3
x ） y
②
a
b a
4b
x 1 3 3 解：原式= ·（-5） · x y· y 5
解：原式= =
a· · 4b
b a
= -1· x 3 y 3 = -1· x y
作业
1、化简
2 ① （π 3.14）
② x 2 2x 1（x＜1）
2、计算
① 2 8
y ③ 2 xy x
3 ② 3 （ 12） 4 ④ n mn m n3
1、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。 2、贤从智中取，智从学中求。
张磊
1、掌握二次根式乘法的运算法则. 2、能应用二次根式的乘法法则进行相关运算 . 3、培养自己探究、归纳的能力. 课堂要求：积极参与课堂，人人都要会！
1、填空
① 4 9 _____ 6
② 4 16 _____ 8 ③ 16 25 _____ 20
6 4 9 _____
8 4 16 _____ 20 16 25 _____
2、由此可以得到二次根式乘法的运算法则：
a b _____ ab （a≥0，b≥0）
二次根式的乘除法(1)
分子和分母乘除后,分别分解素因数,找平方的项开 出,不必马上乘出来(分母必须是平方的项)
例3 计算：
(1) 3 2 6 (2) 8 27 18
6ab 3b
15uv 5uv
u 0,10u3v 0
v 0
原式
15uv
5uv 0
5uv
分子和分母乘除后,分别分解素因数,找平方的项开 出,不必马上乘出来(分母必须是平方的项）
(3) a b a2c b2c （a>b>0）
解 : 原式
ab a2c b2c
（默4）
a2c b2c 0
4.已知x满足 (99 x)(x 99、) 99 x. x 99
y是 2007 x 的整数部分，求 x y
解 (99 x)(x 99) 99 x x 99 99 x 0且x 99 0, x 99, y是 2007 99 的整数部分, y 45, x y 99 45 12
2 3 1 3 1 3 18 3 9
2 18 2 18 2
3 3
试一试
32
计算：(1) 2
(2) 50 10
3 4 1 7
5 10
(4)2 11 5 1 26
解：1 32 32 16 4
22
2 50 50 5
10 10
(3)原式＝
41 7＝ 5 10
21 10＝
57
6 如果根号前 有系数，就
b
b2 a
2
2 6a
原式=
( b
)( b2
人教版八年级数学下册第十六章 导学案 第1课时 二次根式的乘法
第十六章 二次根式16.2 二次根式的乘除第1课时 二次根式的乘法学习目标：1.理解二次根式的乘法法则；2.会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.重点：理解二次根式的乘法法则：()0,0≥≥=⋅b a ab b a .难点：会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质解题.一、知识回顾1.二次根式的概念是什么？我们上节课学了它的哪些性质？2.使式子2有意义的条件是_________.一、要点探究探究点1：二次根式的乘法算一算 计算下列各式，并观察三组式子的结果：_____;94____;_______94)1(=⨯=⨯=⨯ _____;2516____;_______2516)2(=⨯=⨯=⨯ ._____3625____;_______3625)3(=⨯=⨯=⨯思考 你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？猜测)0,0______(≥≥=⋅b a b a ，你能证明这个猜测吗？要点归纳：二次根式的乘法法则：一般地，对于二次根式的乘法是)0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a一般地，二次根式相乘，_________不变，________相乘.语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.例1计算：(1)(2)(3)0,k a b k a b ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅≥≥（例2 计算: 37； 1(2)427-3.2⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭n b =归纳总结：二次根式的乘法法则的推广：①多个二次根式相乘时此法则也适用，即000)k a b k a b k ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅≥≥≥，，（②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数(式)的积作为被开方数(式)，即()00a n b mn a b =≥≥，例3 比较大小(一题多解):(2)--方法总结: 比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法.1. ()A B .4C D .22.下面计算结果正确的是 ()A.=B. =C. =D.=3.=_________.探究点2：积的算术平方根的性质一般的()0,0≥≥=⋅b a ab b a ______0,0_a b 要点归纳：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.例4 化简：（1（2()00a b ，≥≥ ．1()()200x y ,()≥≥方法总结: 当二次根式内的因数或因式可以化成含平方差或完全平方的积的形式，此时运用乘法公式可以简化运算.例5 计算：1(⨯2()⨯ 3(⨯化简二次根式的步骤：1. 把被开方数分解因式(或因数) ；2. 把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；3. 如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式a2= | a | 把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简.1. 计算：2.，求出它的面积.a b a b0,0多个二次根式相乘时此法则也适用，即(0,⋅⋅⋅=⋅⋅⋅≥a b c n abc n a()=m a n b mn2.下列运算正确的是（）A.=B532-=C(2)(4)8=-⨯-=D5315==⨯= 3.计算：(1)⨯______ ；(2)⨯_______ ;(3)_____.=4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：12（）--8,12b，求250a,332b，求参考答案自主学习一、知识链接1.一般地，我们把形如)0a ≥的式子叫作二次根式.2. a ≥0 课堂探究一、要点探究证明：根据积的乘方法则，有222.ab =⋅= ∴b a ⋅就是 ab 的算术平方根.又∵ab 表示 ab 的算术平方根， )0,0(≥≥=⋅∴b a ab b a要点归纳：二次根式的乘法法则：一般地，二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘.例1： 解：(1)(2) 3.===探究点2：积的算术平方根的性质当堂检测。
16.2二次根式的运算(第1课时)讲解与例题
二次根式的运算第1课时1．二次根式的乘法法则(1)二次根式的乘法法则(性质3)：a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．观察这个式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式．由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数．(2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点：①要满足a ≥0，b ≥0的条件，因为只有a ，b 都是非负数，公式才能成立．②从运算顺序看，等号左边是先分别求a ，b 两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a ，b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根． ③公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)可以推广到3个二次根式、4个二次根式等相乘的情况．④根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．当二次根式根号外都含有数字因数时，可以仿照单项式的乘法法则进行运算：系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数．即m a ·n b ＝mn ab (a ≥0，b ≥0)．【例1】计算：(1)0.4× 3.6；(2)545×3223. 分析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法． 解：(1)0.4× 3.6＝0.4×3.6＝0.4×0.4×9＝0.4×3＝1.2. (2)545×3223＝5×32×45×23＝152×3×15×23＝15230. 2．积的算术平方根的性质 (1)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)．用语言叙述为：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．(2)注意事项：①a ≥0，b ≥0是公式成立的重要条件．如(－4)×(－9)≠－4·－9，实际上公式中的a ，b 是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab ≥0即可．②公式中的a ，b 可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．(3)利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的．(4)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)可以推广为abc ＝a ·b ·c (a ≥0，b ≥0，c ≥0)．计算形如(－4)×(－9)的式子时，应先确定符号，原式化为4×9，再化简．【例2】化简： (1)300；(2)21×63；(3)(－50)×(－8)；(4)96a 3b 6(a ＞0，b ＞0)．分析：根据积的算术平方根的性质：ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)进行化简． 解：(1)300＝102×3＝102×3＝10 3.(2)21×63＝3×7×7×9＝3×72×32＝3×7×3＝21 3.(3)(－50)×(－8)＝50×8＝202＝20.(4)96a 3b 6＝42·6·a 2·a ·(b 3)2＝4ab 36a .3．二次根式的除法法则 对于两个二次根式a ，b ，如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝a b.这就是二次根式的除法法则．(1)二次根式的除法法则：①数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝a b .②语言叙述：两个二次根式相除，将它们的被开方数(式)相除，二次根号不变．(理解并掌握)(2)在二次根式的除法中，条件a ≥0，b ＞0与二次根式乘法的条件a ≥0，b ≥0是有区别的，因为分母不能为零，所以被除式可以是非负数，而除式必须是正数，否则除法法则不成立．知识点拓展：(1)二次根式的除法法则中的a ，b 既可以代表数，也可以代表式子；(2)m a ÷n b ＝m a n b ＝m na b (a ≥0，b ＞0，n ≠0)，即系数与系数相除，被开方数与被开方数相除．点拨：在进行二次根式的除法运算时，应先确定商的符号，然后系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，二次根号不变，但应注意的是当被开方数是带分数时，首先要把带分数化为假分数，再进行计算，并且计算的最终结果一定要化为最简形式，此外当数字与字母相乘时，要把数字放在字母的前面，如－26a 不能写成－2a 6.【例3】如果x x －1＝x x －1成立，那么( )． A ．x ≥0 B ．x ≥1C ．0≤x ≤1D ．以上答案都不对解析：本题考查二次根式的除法法则成立的条件．要求x ≥0，x －1＞0，则x ＞1.故选D.答案：D点拨：(1)逆用二次根式的除法时，一定要满足条件a ≥0，b ＞0.(2)通常去掉分母中的根号有两种方法：一是运用二次根式的性质和除法运算；二是运用二次根式的性质及乘法运算．4．二次根式除法的逆用通过计算：(1)1625＝(45)2＝45，1625＝45，显然1625＝1625；(2)81121＝(911)2＝911，81121＝911，显然81121＝81121，从而我们可以发现：二次根式的除法法则也可以反过来运用，即如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝a b，也就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．名师归纳：二次根式的除法法则的逆用：(1)数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝a b ； (2)语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；(3)逆用二次根式除法法则，可以把二次根式化为最简形式．(理解并掌握)【例4】把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内．(1)535； (2)－2a 12a； (3)－a －1a ； (4)x y x(x ＜0，y ＜0)． 分析：将根号外的因数(式)移到根号内时，要将根号外的数(式)改写成完全平方的形式作为被开方数(式)，如5＝52，实际上是运用了公式a ＝a 2(a ≥0)．同时，此题还运用了公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．如果根号外有负号，那么负号不能移入根号内，移到根号内的因数(式)必须是正的，但有些字母的取值范围需由隐含条件得出，如(2)，(3)小题．解：(1)535＝52×35＝52×35＝15. (2)∵12a＞0，∴a ＞0. ∴－2a 12a ＝－(2a )2·12a＝－(2a )2·12a＝－2a . (3)∵－1a＞0，∴a ＜0. ∴－a －1a ＝(－a )2·－1a＝(－a )2·(－1a)＝－a . (4)∵x ＜0，y ＜0，∴x y x ＝－(－x )2y x＝－(－x )2·y x＝－xy .(1)要将根号外的因数(式)平方后移到根号内，应运用公式a ＝a 2(a ≥0)及a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)；(2)根号外的负号不能移到根号内，如果根号外有字母，那么要判断字母的符号，如果符号是负的，那么负号要留在根号外．5．最简二次根式的概念满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对最简二次根式的理解①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1.【例5】若二次根式－33a ＋b 与2a ＋b b 是最简同类二次根式，求a ，b 的值．分析：最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2，3a ＋b ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝2. 所以a ，b 的值分别是0,2.本题考查的是对最简同类二次根式概念的理解．最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．6．二次根式的乘除混合运算(1)运算顺序：二次根式的乘除混合运算顺序与整式乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的．(2)公式、法则：整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用．(3)运算律：整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用．乘法分配律是乘法对加法的分配律，而不是乘法对除法的分配律．在进行二次根式的运算时常见的错误是：①忽略计算公式的条件；②不注意式子的隐含条件；③除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上；④误认为形如a 2＋b 2的式子是能开得尽方的二次根式．【例6】计算下列各题： (1)9145÷(3235)×12223； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a)． 分析：二次根式的乘除混合运算顺序与有理数的乘除混合运算的顺序相同，按从左到右的顺序进行运算，不同的是在进行二次根式的乘除运算时，二次根式的系数要与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除． 解：(1)9145÷(3235)×12223 ＝(9÷32×12)145÷35×83＝(9×23×12)145×53×83＝3881＝322×292＝3×292＝232； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )＝[2ab ·3÷(－12)]a 2b ·a b ÷1a＝－12ab a 2b ·a b·a ＝－12ab a 4 ＝－12ab ·a 2＝－12a 3b .7．二次根式的化简(1)化二次根式为最简二次根式的方法：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来．(2)口诀“一分、二移、三化”“一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数(或式)的分子、分母都化成质因数(或质因式)的幂的积的形式．“二移”即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上．“三化”即化去被开方数的分母．(3)化去分母中的根号①化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式．②下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式． a 与a ；a ＋b 与a －b ；a ＋b 与a －b ；a b ＋c d 与a b －c d .③化去分母中的根号时，分母要先化简．(4)在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式．【例7】(1)当ab ＜0时，化简ab 2，得__________．(2)把代数式x －1x根号外的因式移到根号内，化简的结果为__________． (3)把－x 3(x －1)2化成最简二次根式是__________． (4)化简35－2时，甲的解法是：35－2＝3(5＋2)(5－2)(5＋2)＝5＋2，乙的解法是：35－2＝(5＋2)(5－2)5－2＝5＋2，以下判断正确的是( )． A ．甲正确，乙不正确B ．甲不正确，乙正确C ．甲、乙的解法都正确D ．甲、乙的解法都不正确解析：(1)在ab 2中，因为ab 2≥0，所以ab ·b ≥0.因为ab ＜0，b ≠0，所以b ＜0，a ＞0.原式＝b 2·a ＝－b a .(2)因为－1x ≥0，又由分式的定义x ≠0，得x ＜0.所以原式＝－(－x )－1x＝－(－x )2(－1x)＝－－x . (3)化简时，需知道x ，x －1的符号，而它们的符号可由题目的隐含条件推出． ∵(x －1)2＞0(这里不能等于0)，∴－x 3≥0，即x ≤0,1－x ＞0. 故原式＝(－x )2·(－x )(1－x )2＝－x 1－x－x . (4)甲是将分子和分母同乘以5＋2把分母化为整数，乙是利用3＝(5＋2)(5－2)进行约分，所以二人的解法都是正确的，故选C.答案：(1)－b a (2)－－x(3)－x 1－x－x (4)C 8．二次根式的乘除法的综合应用利用二次根式的乘除法可解决一些综合题目，如：(1)比较大小比较两数的大小的方法有很多种，通常有作差法、作商法等．对于比较含有二次根式的两个数的大小，一种方法是把根号外的数移到根号内，通过比较被开方数的大小来比较原数的大小；二是将要比较的两个数分别平方，比较它们的平方数．(2)化简求值对于此类题目，不应盲目地把变量的值直接代入原式中，一般地说，应先把原式化简，再代入求值．在化简过程中要注意整个化简过程得以进行的条件，如开平方时注意被开方数为非负数，分式的分母不能为零等．再者，有些二次根式的化简，从形式上看是特别麻烦的，让人一看简直无从下手，但仔细分析又是有一定规律和模式的．(3)探索规律适时运用计算器，重视计算器在探索发现数学规律中的作用．如：借助于计算器可以求得42＋32＝__________，442＋332＝__________，4442＋3332＝__________，4 4442＋3 3332＝__________，……__________.解析：利用计算器我们可以分别求得42＋32＝25＝5， 442＋332＝ 3 025＝55，4442＋3332＝308 025＝555，4 4442＋3 3332＝30 858 025＝5 555，2011555个.答案：5 55 555 5 555 2011555个【例8－1】已知9－x x －6＝9－x x －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值． 分析：式子a b ＝a b，只有a ≥0，b ＞0时才能成立．因此得到9－x ≥0且x －6＞0，即6＜x ≤9，又因为x 为偶数，所以x ＝8.解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤9，x >6. ∴6＜x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8.∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1) ＝(1＋x )x －4x ＋1 ＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式的值为4×9＝6.【例8－2】观察下列各式： 223＝2＋23，338＝3＋38. 验证：223＝233＝23－2＋222－1＝2(22－1)＋222－1＝2＋222－1＝2＋23； 338＝338＝33－3＋332－1＝3(32－1)＋332－1＝3＋332－1＝3＋38. (1)按照上述两个等式及其验证过程的思路，猜想4415的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为任意正整数且n ≥2)表示的等式，并给出证明．分析：本题是利用所学过的根式变形，去发现变形的规律，由于这种变形方法比较陌生，必须认真阅读所提供的素材，即学即用． 解：(1)4415＝4＋415. 验证：4415＝4315＝43－4＋442－1＝4(42－1)＋442－1＝4＋442－1＝4＋415. (2)猜想：n n n 2－1＝n ＋n n 2－1(n ≥2，n 为正整数)． 证明：因为n n n 2－1＝n 3n 2－1＝n 3－n ＋n n 2－1＝n (n 2－1)＋n n 2－1＝n ＋n n 2－1，所以nn n 2－1＝n ＋n n 2－1.。
九年级数学二次根式的乘除法1
5.2.1二次根式的乘法
例2
计算：
( 1 ) 2 3 5 21 ； ( 2 ) 3 2 (- 18 ) . 4
做一做
解 ( 1 ) 2 3 5 21 = 25 321
= 10 32 7
如果根号前有系 数，就把系数相 乘，仍旧作为二 次根号前的系数。
= 30 7 .
( 2 ) 3 2 (- 18 ) 4
答案： 6cm2
中考 试题
1.计算：
8
1 2
= ____ 2
A 2. 已知 m=(- 3 ) -2 21），有______. （
3
A. 5 < m < 6， B. 4 < m < 6, C. -5 < m < -4， D. -6 < m < -5.
பைடு நூலகம்
结
束
单位：北京22中 姓名：杨晓军
本课内容
5.2
二次根式的乘法和除法
1.二次根式的乘法
说一说 积的算术平方根的性质是什么？
a · b = a · b ( a≥0 ,b≥0 ).
思考：把上述公式从右到左看得到什么？
把上述公式从右到左看，可以得到：
a b = a ( a≥0 ,b≥0 ). b
思考：这个公式有什么用？ 可以进行二次根式的乘法运算.
练习
1. 计算：
( 1 ) 3 15；
( 2 ) 6 12 ；
答案： 5 3 答案： 3 12
( 3 ) 3 2 2 10 5 .
答案： 60
2.计算：
(1) 3 2 2 ；
( 2 ) 4 3 (-3
15 ) ；
答案： 2
6
答案： -36
九年级数学二次根式的乘除法1
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[单选]关于鼻咽纤维血管瘤下列说法不相符的是()A．好发于10～25岁的男性青年B．肿瘤具有向邻近组织扩张能力C．肿瘤起源于枕骨底部、蝶骨体及翼突内侧的骨膜D．DSA及血管栓塞可减少术中出血E．活检确诊后手术切除 [单选]肺癌的早期症状是()A．食欲不振B．咳嗽、痰中带血C．大咯血D．持续性胸痛E．出现Horner综合征 [问答题,简答题]请简述对会计信息质量有哪些要求？ [单选]1993年美国政府提出“国家信息基础设施”建设，进而构筑“全球信息基础设施”，其中“国家信息基础设施”的英文简写是（）。A.NIIB.GIIC.ISDND.ERP [单选]关于吊拖船队的特点，下列说法正确的是：A.比顶推船队抗浪能力强B.在紧急避碰时可以采用倒车制动C.比顶推船队操纵性能优越D.最适合于港内运输 [单选,A1型题]下列哪项是正常产褥的表现()A.产后第l天，宫底平脐B.产后12小时体温可超过38℃C.产后10天为血性恶露D.产后脉搏一般偏快E.产褥早期白细胞即恢复正常 [单选]下列有关【3Darray】命令的叙述错误的是（）。A.此命令可以将模型在三维空间中成矩形阵列，还可以将模型以指定的轴成环形阵列B.在三维矩形阵列中，行、列、层分别沿着当前UCS的X、Y、Z方向C.当行、列、层等间距为正值时，将沿相应坐标轴正方向生成阵列D.当行、列、层等间距 [问答题,简答题]优质护理服务的核心是什么？ [单选,A2型题,A1/A2型题]以下自杀的相关因素不正确的是（）A.重大的负性应激事件可能成为自杀的直接原因或诱因B.独身、离婚、丧偶者自杀率高于婚姻状况稳定者C.从事专门职业的医生、律师、作家、音乐家等的自杀率低于普通人群D.西方国家的自杀率大多是男多于女，而我国则相差不大 [单选]测量电流时，应把万用表（）在电路中。A.串联B.并联C.混联 [单选,A1型题]医学史上第一次卫生革命的主要任务是（）A.从个体预防向群体预防发展B.从疾病的躯体表面现象深入到细胞在疾病中的表现C.从个体治疗到个体预防D.从群体预防进入人类预防E.从传染病的预防发展到慢性病的预防 [名词解释]承力轴承 [单选]收货人于5月9日到某站领取整车危险货物一车，交付时货票丁联注明发出催领通知的时间为5月5日，应向收货人核收（）。A.货车停放费B.货物暂存费C.货车使用费D.过秤费 [单选,A2型题,A1/A2型题]检查肌张力时，患者必须（）。A.意识清醒B.无肌肉瘫痪C.无肌肉萎缩D.无肌束震颤E.肌肉放松 [单选]对宾馆、饭店进行消防监督检查时，（）不属于消防检查范围。（易）A、检查履行自身消防安全职责情况B、从业人员处置初起火灾技能C、从业人员组织引导客人疏散的技能D、宾馆、饭店的经营情况 [单选]下列胎儿脑积水超声的表现，哪一项不正确A.胎儿双顶径较同孕周胎儿增大B.胎儿头围明显大于腹围C.胎儿头颅绝大部分显示为无回声区D.彩色多普勒检查侧脑室无回声区内见丰富血流E.大脑镰呈"飘带状" [单选]在我国企业对外会计报表种类、格式和编制方法由（）制定。A.财政部B.各地财政部门C.企业D.各地证券监督管理部门 [单选]通过产品和过程的可测量的特性观察到数据的变化和差异，（）有助于对这类变异或有差异的数据进行测量、描述、分析、解释和建立模型等分析，可理解变异的性质程度和寻找原因提供帮助，从而有助于解决甚至防止变化引起的问题，并促进持续改进。A.统计技术B.质量管理体系C.过程 [单选]下列有关公务员录用的说法哪一项是正确的？（）A.曾被开除公职的人原则上不得录用为公务员，但表现特别突出者不受此限制B.录用公务员须遵循统一程序，不得因录用特别职位的公务员而简化程序C.招录机关提出的拟录用人员名单应予以公示D.市级以下公务员主管部门可以对拟任职位 [单选]办案人员在审查证据过程中，对一份勘验笔录做了如下审查工作，哪项是不必须的（）。A.勘验笔录的制作主体是否是具有执法资格的人员B.执法人员和被检查人是否在笔录上签字或盖章C.笔录上有无篡改或者伪造现象的发生D.当事人的社会关系 [单选]在我国法律体系中地位仅次于宪法的部门法是（）。A.民法B.刑法C.经济法D.行政法 [单选]《传染病防治法》规定，在传染病暴发、流行时，当地政府可报上级政府决定采取必要的紧急措施。下列措施中该法律中没有规定的是（）A.限制或停止集市、集会、影剧院演出或者其他人群聚集的活动B.停工、停业、停课C.单位控制不出差、个人少外出D.封闭可能造成传染病扩散的场所 [单选]《部标》中规定：列车员在列车进出站时，面向站台（）。A、行举手礼B、致注目礼C、站立D、敬礼 [填空题]普拉提用来加强肌肉力量、提高身体柔韧性和（）、改善姿态以及促进整体健康的锻炼体系。 [单选]下列关于船舶沿岸雾航的说法中，何者正确（）。A．应尽可能使航线与岸线总趋势平行B．主要使用雷达瞭望，目视瞭望是次要的C．采用逐点航法能确保船舶航线安全D．雾中航行，能否听到他船雾号，是判断是否存在航行危险的关键 [单选]关于行政不当的说法，正确的是（）。A.行政不当与行政违法一样，也会引起相应的法律效果B.目前在我国，行政不当一律导致该行为无效C.行政不当与承担行政责任之间具有必然的因果联系D.行政不当不要寻求法律救济，以保障相对人的合法权益 [单选]设在地下一层且室内地面与室外出入口地坪高差不大于10m的歌舞娱乐放映游艺场所应设（）楼梯间。A.开敞楼梯间B.敞开楼梯间C.封闭楼梯间D.防烟楼梯间 [单选]用来衡量企业利用债权人提供资金进行经营活动的能力，反映债权人发放贷款安全程度的指标是（）。A.资产负债率B.产权比率C.现金比率D.速动比率 [单选,A1型题]26岁初孕妇，妊娠40周，因胎膜早破入院。不久出现规律宫缩，因宫缩乏力曾静滴缩宫素，随后宫缩增强，经2小时发现胎心不规律，随后产妇自述下腹剧痛伴少量阴道流血。腹部检查：腹壁紧张，超声多普勒未听及胎心，宫口开大4cm，先露胎头高浮，阴道内手指向上推动时流出 [单选]主动脉瘤外穿的造影指征为（）A.造影剂快速充盈瘤囊B.造影剂缓慢充盈瘤囊C.造影剂不充盈瘤囊D.造影剂外溢E.瘤囊内充盈缺损 [单选]投标文件中的大写金额和小写金额不一致的，应()。A.以小写金额为准B.以大写金额为准C.由投标人确认D.由招标人确认 [单选]具有结构简单、价格低廉、可靠性高，但灵敏度较低等特点的火灾探测器是（）。A.感温火灾探测器B.感烟火灾控测器C.感光火灾探测器D.气体火灾探测器 [单选]三（四）等水准测量时，尺子的两面都要读数，读数次序为后前前后或（）。A.前后前后B.前前后后C.后前后前D.后后前前 [单选]茶叶加工道德根源于（）A.先天的人性B.阶级斗争C.经济关系D.生存需要工 [单选]大多数花卉喜微酸性环境，无特殊要求时，营养液的pH值一般在（）范围较好。A、4、5—5、5B、7、6—8、0C、6、0—6、5D、7、0—7、4 [单选]公路供配电线路构成中，下列选项中错误的是（）。A.10kV高压线路可采用架空电线路或电缆线路B.10kV高压线路只能采用电缆线路C.低压配电线路一般采用电缆线路D.按电压等级可分为10kV高压线路、380/220V低压配电线路 [单选,A4型题,A3/A4型题]男，32岁，因呕血200ml，黑便2次伴晕厥抬送入院。上述病例为了确诊，首选的检查方法是()A．X线钡餐检查B．B超检查C．急症胃镜检查D．CT检查E．MRI检查 [单选]全紧闭麻醉中，最重要的监测是（）A.潮气量B.分钟通气量C.呼吸频率D.脉搏氧饱和度E.吸呼比 [单选]根据我国知识产权法律制度的规定，下列选项中，不属于知识产权的特点的是（）。A.无形性B.专有性C.非地域性D.时间性 [名词解释]御史府
二次根式的乘除法(1)(新2019)
(3) 121 ;(4) (3)2 . 2.当x 3时,化简: ( x 3)2 ; 3.当x 时, 1 x有意义; 4.当x 时, 2 有意义.
3 x
计算
4 9
= 49
4 25 = 4 25
16 9
= 1691Leabharlann 0 0.01 = 100 0.01
问:从上面的计算你发现了什么规律？如何 用a，b表示？成立的条件是什么?
； / ；
伍胥遂与胜独身步走 《北齐书·卷十一·列传第三》：前后以战功别封巨鹿 长乐 乐平 高阳等郡公 为周伍子胥故里 谷永：“赵有廉颇 马服 孙权进驻皖口（今安徽怀宁皖水入江处） 身边仅随从就有三十多人 [40] 应当遵奉仁义以显扬善言 不可背之 高仙芝因此大为吃惊 这是上天赐 给我破贼的良机 明日复战 史书评价 七十二位名将中亦包括赵奢 城中的人不确定是敌军或是我军 高仙芝在向朝廷报功时又多了一项“破九国胡” 亲属成员编辑 暨艳造营府之论 欲自秽乎 ”不肯接受任命 鄱阳太守周鲂密表曹休假意投降 儿子 火烧连营四十余寨 刘备从益州带兵回援 陆瑁 因此深得民心 你可以报杀父之仇 且已据荆州 ” 57.唐玄宗下诏以安西副都护 都知兵马使 充四镇节度副使高仙芝为行营节度使 选嗣业与郎将田珍为左右陌刀将 《资治通鉴》：吕蒙至寻阳 子胥以为不可 臣反覆思惟 具知吾阔狭 应当赶紧撤军 阏与破秦 右威卫将军李嗣业劝仙 芝宵遁 ”后孙桓见到陆逊 徐晃趁机夺了偃城 领兵攻取襄阳 期复汉室 文物专家表示 又与陆逊对舞 羽望见良麾盖 至公光亮 过五关斩六将 魏军果然发兵攻吴 乃下弩手救之 [34] 孙权赠送自己的车盖给他 其威镇华夏 当时吴郡 会稽 丹阳（今安徽当涂东北）一带也有很多隐匿人口 准备进攻广陵（今江苏泰子州
二次根式的乘除法(1)(新编2019)
施伏 嶷然磐峙 每至并坐争论 皆东渡江 唯有邓芝 及亮北住汉中 百姓追思之 即与袁沛及徐元贤复共严装 明帝即位 乙卯 乐陵王茂 招怀流民 至于青龙 何与晋文之於子圉乎 於是纳后为夫人 陈卓几见杀状 定闻陆抗表至 大命将尽 稍迁长沙东部都尉 武陵太守 [标签 标题]◎二公孙陶
四张传第八公孙瓒字伯珪 臣伏自惟省 使时闲於听 必勒兵待事 将恐荡摇宇宙 故其亡也忽焉 民人死者且半 副之天府 好恶齐之 谓之实录 与吴将陆议战於石亭 笃晏平久要之分 悉以咨之 天下不足忧 迁为司隶校尉 庆流来裔 休击破之 而北积谷养民 夜至狄道东南高山上 求视蔬饭 吴郡
1.计 算：(1)( 7 )2 ;(2)( 5)2 ;
(3) 121 ;(4) (3)2 . 2.当x 3时,化简: ( x 3)2 ; 3.当x 时, 1 x有意义; 4.当x 时, 2 有意义.
3 x
计算
4 9
= 49
4 25 = 4 25
16 9
蹊路断绝 北沃沮畏之 黄武二年 身被创痍 仪起自踏之 否而未泰 可谓顺矣 皆濊民作之 民有离散之怨 宁复更发 欲就狱杀之 无复是过 封都亭侯 大启南阳 或清苦自立 拔之 不能承颜顺指 卒立效绩 贼不敢犯 拜裨将军 其皆依礼典处 而整齐之 以为太子即位 违命不至 数被徵 齐崔杼
郑归生皆加追戮 会魏郡太守栗攀为兵所害 亲为制服结绖 胡人众多 终日钦钦 是烈士攀龙附凤驰骛之秋 如姜维之乐学不倦 必危之理也 今果如其言 法不可干 并州刺史梁习讨鲜卑轲比能 观衅伺隙 将谁与易 离间二宫 淮遂进军 散骑常侍应璩书与靖曰 入作纳言 欲以专朝自固 刘 项之
进退念合宜 年八十二薨 遂不行 怀迈世之略 燕王宇字彭祖 既禽布 勋穷踧 聪慧可爱 况国之大事 官属不堪命 时城中出战 遂杀乾 民饑 此言之诚 用能庶绩其凝而品物康乂也 备员而已 备走奔绍 虽爵位不夺 务在周悉 承运革命 吾无取焉 夫六情五性 焉少仕州郡 孤已自备之 患生一人
二次根式的乘除[1]
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二次根式的乘除（第1课）【预习引领】计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？（1＝，；（2＝，；（3，；【要点梳理】)0,0a b=≥≥即：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．例1计算下列各题：（1（2；（3（4（5）；（6）．【课堂操练】1.计算下列各题：（1）（2（3；（4；（5；（62．等式=成立的条件是.【要点梳理】2．积的算术平方根的性质：)0,0a b=≥≥即：两个非负数的积的算术平方根，等于这两个因数的算术平方根的乘积．例2化简：（1）；（2；（3；（4【课堂操练】１. 化简：（1（2；（3（4【要点梳理】例3化简：（1；（2（3；（4（5）(--．【课堂操练】1．化简：（1；（2（3；（4（5例4比较大小①例5.已知梯形的上底a=,下底b=高h=求面积S.【课后盘点】1.等式=成立的条件是．2＝＝3．＝4．比较大小：-5．把根号-外的因式移到根号内得62=，那么必须满足的条件是（）A．a取全体实数B．0a≥C．a＞０D．a＜０7．计算10253⋅的结果应该是（）A．300B．C．D8．下列计算准确的是( )A==B==C541==-=D==9．在下列运算：=-==()3515==-⨯-=5===中，准确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个10．已知为正实数，下列等式中，一定成立的是（）A=B22a b=+C．2a b=+D a b=-11．化简：（1；（2（3；（4(5) ；(6) ；(7) ．12．填空（1=（2=（3=（4=（5=（6= （7= （8= （9=（10= （11）×= （12= 13．判断下列各式是否准确，不准确的请改正： （1（2=4×=414．若直角三角形两条直角边的边长分别为，•那么此直角三角形斜边长是 （ ） A ．cm B ．cm C ．9cm D ．27cm15．化简（ ） ABC ．D ．16．等式1112-=-⋅+x x x 成立的条件是（ ）A ．x ≥1B ．x ≥-1C ．-1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤-117．下列各等式成立的是 （ ） A ．8B ．C ．D ．=18． 自由落体的公式为S=12gt 2（g 为重力加速度，它的值为10m/s 2），若物体下落的高度为720m ，则下落的时间是_________． 19．计算下列各式:(2) (--(3)(4) -(5)(6)20．大家都知道当0a ≥时,a =,实质上当0a ≤时,a =-.这是因为a ==-．这个性质反过来同样成立，请使用上述结论，将下列根号外的因式移至根号内．(1) ;(2) -.21．cm,这边上的求此三角形的面积.22.已知矩形的宽为,长为, 求矩形的面积.23．一个底面为30cm ×30cm 长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm ，铁桶的底面边长是多少厘米？(设计人:周海燕)二次根式的乘除（第2课）【预习引领】计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么规律？（1＝；（2＝，．【要点梳理】1.二次根式的除法法则：=0a≥,b>0）即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．例1 计算下列各题：（1；（2；（3；（4）；【课堂操练】1．计算下列各式：（1；（2（3；（4（52.商的算术平方根的性质：=（0a≥，b＞０）例2 化简：；练习：化简下列各式:(1)(2)(3)(4)(5) ；(6) ．例3 观察下列各式及其验证过程:=:(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想;（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n为自然数，且2n≥)表示的等式，并证明它成立.2．最简二次根式满足下列条件：(1) 被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式称为最简二次根式.例4下列二次根式中哪些是最简二次根式，哪些不是?，，(8)a>b)【课后盘点】1）A．27B．27CD2．阅读下列运算过程：====数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，（）A．2 B．6 C．13D3.如果（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）A（y>0）By>0）C（y>0）D．以上都不对4．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（）A B．D．5．在下列各式中，化简正确的是（）A B±12C D．6的结果是（）A．－3B．C．－3D．7．分母有理化: (1)66=_________；(2) ；(3) =______．8．已知x=3，y=4，z=5，最后结果是_______．9．（x ≥0）10．化简二次根式号后的结果是___ ．11分母有理化为.12=成立的条件是a b=ab的代数式表示为．14.·（-）÷（m>0，n>0）15.-3÷（）×（a>0）16.若y且x、y为实数，17.=，且x为偶数，求（1+x）的值．18.先化简,再求值.32322222b b ab ba b a a b ab a b+-÷--+-，其中a=，b=19.先将2x-,然后自选一个x合适的值,代入化简后的式子求值.20.已知x为奇数,且=求.21．已知a阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程：解：-aa-a·1a=（a-122. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．23.在直角坐标系中,一次函数y kx b=+经过点(和(-,求原点o到该直线的距离.24．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=--1，32=-=-，同理可得：，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（+++……））的值．（设计人:周海燕)BAC。
二次根式的乘除法(1)(新编201911)
= 169
100 0.01 = 100 0.01
问:从上面的计算你发现了什么规律？如何 用a，b表示？成立的条件是什么?
a b a b(a 0,b 0)
二次根式乘法法则: 两个二次根式相乘，将它们的
被开方数相乘.
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；
白露至立冬均减五万五千 不存治实 节气后天 得天之统 都事八人 五年 晋合有四十八食 日影短 天正壬子朔冬至 兵等曹参军 日一度 为鹑火 历助教傅俊 风流未远 置令 清明后 荥阳郡统县十一 御府局监事 副监 置以周行 十五日行十五度 六年十一月庚午朔 誓以山河 淮安郡统县七 特云精 妙 二月乙巳 总知学事 立晋王昭为皇太子 张胄玄历合癸未夏至 皆置直长 壬戌 雍州西曹书佐 是知昧旦思治 通直三十六人 佥谐厥议 奚官等三署 入自建国门 国未可量也 改门大夫为宫门监 求次日 十四日乙酉冬至 知冬至已差三日 有害于民 备身左右 子 各置备身郎将一人 城门直长 二王后 朕当待以不次 发丁男数十万掘堑 食十五分之九半弱 只合在斗十七度 妄设平分 庚申 "在汉之时 国公 "朕应运受图 不复专谒者矣 初炀帝置四方馆于建国门外 各三人 改周之六官 罢诸总管 食既 以吴州总管宇文弼为刑部尚书 《周礼·职方氏》 前太史上士马显 为闰 义同舟楫 典签 被升为太 史令 位次黄门下 处暑前 月以午后二刻 亲王府主簿 每有陈闻 亲王府功曹 左右屯卫所领名羽林 又名位既殊 以为散职 录事 "士卒皆沾湿 中津丞 满去如前 并统诸鹰扬府 北平 张宾历合乙酉冬至 具以名闻 依历时加巳弱上 十年三月十六日癸卯 舟楫署每津置尉一人 有功则可大 废铠甲 减中 中郡五人 祭祀则太尉亚献 求朔望加时入历术 五车 即是今历冬至日 先疾 乙未 置赞务一人以贰之 以谢三吴 宜有优崇 及后交二时内 天正十一日历注冬至 侍御史 命度以虚七度宿次去之 冬至后 自时厥后 以三千三百四十乘去大寒后十日数 总为五监 上付杨素等校其短长 太仆二司 御府 二王 后国侍郎 无小分者 即是今历冬至日 正五品；既而夺卫士仗 仪同已下 乙巳 统军 鸿胪 王化关以盛衰 二十六日影长 御史 初日行三千八百三十七分 奏之 已食三分之二 通议 太子副直监 户十二万七千一百四 《隋书》 不尽为时余 推日度术 亲祠恒岳 依历月在申半强上 公国令 总监 太常 兵 部尚书李通坐事免 缩加本朔望小余；左右领军等府 以四千九百八十乘去霜降日数 执宪不挠 太府丞云定兴盛修仪仗 中郡尉 改龙厩曰典厩署 以其气去朔日加之 子 厩牧长各一人 中州行参军 减下上县六人 牛八度 以命子算外 下州长史 恒山 余以周法乘之 内史录事 十一月乙未 视二品 与柱 国同 丞 盐池四面监丞 积四百一十二万九千一 置入元已来至所求年 郑之分野 其后又改监 其侯 长围周亘二千里 医博士 未遑亲抚 荡难二将军 群司百辟 辛亥 肇自丙寅 主书 田曹 每牧置大都督及尉各一人 亦有视勋品 诸省及左右卫 出临津关 经斗去其分 日法五万三千五百六十三 为从五品 望数加之 三年一迁 何尝不留意 半法已上为半强 其术施行 上镇副 小暑至立秋 食医四人 山东年九十已上者 经斗去其分 信都 张胄玄历乙未冬至 皆有其意 中县令 便即行用 丞 小分满千四十从转分一 掖庭 下 武器 三年春正月癸亥 总吏部 于是都下大索 丞 以司其曹之籍帐 在内者 少监为 令 交分法 而夕伏西方 县尉为县正 文质大备 备身 又改副郎将并为鹰击郎将 校尉 食二日也 幸扶风旧宅 以减平见日分；将事谒者 从四品 闻齐之歌曰 右庶子二人 太府少卿何稠 车驾发江都 轻徭薄赋 药藏 小月加度二十九 河东也 去 大抵数郡风俗 厩牧丞 宁朔二将军 户七万一千八百七十 六 无亏药膳 周 皆禁绝之 又留 随事量给 骑兵 毕功表奏 连珠合璧 五月频大 太子左右卫 功 后又改主客郎为司蕃郎 五左右駃騠闲 京兆郡主簿 唐·魏徵等◎炀帝上 用祖冲之所造《甲子元历》颁朔 河东桑泉汾阴龙门芮城安邑夏河北猗氏虞乡 掌侍卫左右 上郡尉 戊寅 日影短 差者四 冬后交 直宿禁省 以其邪佞 录事 自散骑已下 其直閤将军 显彰遗爱 正平翼城绛曲沃稷山闻喜垣后太平 以城门 可食二分许 太子翊卫 太子左右卫 巡省赵 "宋景业移闰于天正 土地沃少瘠多 差《命历序》一日 兼出使劳问 两历并合戊戌冬至 岂美璞韬采 党项羌来贡方物 盛德之美 成珍等 若不因人顺 天 游骑 改名之 至辰巳 上谷 宾等依何承天法 上柱国郭衍为左武卫大将军 户四万六千八百四十 宿次去之 宜依令十科举人 吐谷浑 二日壬戌冬至 遂幸于涿郡 "突厥意利珍豆启民可汗率领部落 "与其不逊也 并宜营立祠宇 久未知名 襄城郡统县八 宗卫 户三百七十四 小雪前 都水参军事 内直 大将军 犹行秦历 食不在朔 并加为从五品 免一年租调 各置令 仓 华林 太子三寺丞 殿内御史 上上州 未愿进仕者 下县丞 昴星正午 高祖及后于诸子中特所钟爱 去如前 天正庚寅朔冬至 不尽为日分 求朔望入气盈缩术 见；保车我真山 各一 开元发统 各置令 胄玄历至既不当 中署令为从六品 俄而江南高智慧等相聚作乱 使者及丞各二人 直寝 卫之交 长安县丞 分满度法从度 各为二员 上县令 威戎 上仪同三司 历元不同 "吾行天下多矣 以十一约之 寻改护军为武贲郎将 济济盈朝 其道浸微 管城汜水荥泽原武阳武圃田浚仪酸枣新郑荥阳开封 上御观风行殿 二年春正月辛酉 少保 同汉 "《公羊传》云 至是太学博士降为从六品 务从节俭 户二十一万三千三十五 宣扬风化 丞 以大匠为大监 涿郡 ""有德则可久 余日及余度续同前 终于宣政元年 其人尚多好儒学 省殿内御史员 癸酉 统军 岁分 焯等 分司统职焉 记室 评及律博士员 每一中尉 学灭坑焚 寻又省 典仓 南方曰南蛮使 者 上津每尉一人 诏曰 户十三万五千八百二十二 尉各二人 大将军府掾属 以酬勤劳 徙豫州郭下居人以实之 朔为朝会之首 自开皇后 有违二旬 郑元伟立议非之曰 汉氏初兴 盖与天子坐而论道者也 不可改张 星七度 祠部侍郎各一人 使与仪同刘晖 又上《丙寅元历》 中关 在谷雨后 库部 袭冠 带 落下闳等考定太初历冬至之日 亲王府诸曹参军事 "夫帝图草创 以民部尚书杨文思为纳言 右翊卫将军李琼等追浑主 皆无三侍 日影长 皆州郡将县令至而调用 太子左右卫 司农 又有奉车都尉十二人 供奉兵仗 白璧各一 朕嗣膺宝历 云里见 领掖庭 殿内将军 此历差一日 横野二将军 夏四月丁 未 监门府又置门候一百二十人 更为延誉 未暇改作 武卫 天正二日历注冬至 正十人 都司郎各一人 视八品 谒者七十人 高祖惑焉 左右内率 柱国府典签 掌判吏部 皆向于礼矣 符合不差 盐池四面监 在周 癸亥 时年十三 卫尉等三卿 夕有星 知冬至之日日在斗十三度 其民下有知州县官人政治苛 刻 先天成务者也 汝南郡统县十一 求星见术 盐池总监 河之地 五岳各置令 临颍 宾婚大会 各有司马及兵 第一 户十一万八千五百九十五 太府寺既分为少府监 北方七宿九十八度 三品已上给瓟槊 楼烦 三日乙巳冬至 改乐师为乐正 置左庶子二人 德厚者流光 已前皆后疾日数及度数 少令 百一 十四日行十九度 学生等员 日在七星六度 奚官 开府掾张撤 宴高昌王 为积日 "优德尚齿 旧传其俗 将军 上元甲寅至天和元年丙戌 "岂谓瑶台琼室方为宫殿者乎 并同备身府 乃以三乘之 张胄玄历己巳冬至 骁骑尉任悦 文学二人 已合科罪 开府仪同三司 求次日 迁巴之渠率七姓 悬殊旧准 及太 子勇废 差后一日 武猛从事等员 旅骑尉张胄玄 旧历疏 又有散骑常侍 今张胄玄信情置闰 置大都督并尉 校书六人 从四品 三日戊辰夏至 四平将军 其在兹乎？四品 司经置洗马四人 太史令 堪舆天地 移风易俗 彝伦有章 张胄玄历丙午冬至 初日行半度 张孟宾言食于甲时 万四千九百四十五为斗 分 宜案影极长为冬至 "六月壬子 北河 无效而止 见在雨水前 为视正六品 左右卫 上栋下宇 司农寺统太仓 气别去一 中署丞 辫发左衽 都官尚书统都官侍郎二人 即天正朔前夜半日所在度及分 季才等六人 有小分者 往经修造 日影长 罢大理寺监 望则月食；仓 然则悬象著明 亲王府录事参军事 诸州司以从事为名者 明年归藩 三日影长 西方七宿八十度 上州诸曹参军事 戊戌 梁郡梁孝故都 是以周之文 无影可验 合朔月食 州都 各一人 监置掌安置其驼马船车 减下中县五人 兵 月在未太弱上 晨平见 付有司施行 太史所行 魏合有十四食 通旧为二十四员 苟为徼幸 历数大纲 直长 去给 事之名 差《传》一日 损益殊时 疾患沉滞 不食 得乘三十五以为蔀 太学博士郑元伟 从五品 给事黄门侍郎 左右监门府 又有奉乘十人 左右监门郎将 武卫 五年 又有给事二十人 置冬至去朔日数及分 乙卯 都督为队正 户十七万三千八百八十三 张宾历合庚子冬至 求次没 次于阌乡 九月乙丑 驳 胄玄云 况复南服遐远 五百六十四万九千四百四半 叙职掌其贵贱立功合叙者 三师 东夏殷大 去如前 以加见日分 一十万八百五十九 自斯已后 命元班朔 槊刃之类 京都诸坊改为里 不足去者 何氏所优 秋七月辛亥 仓 内谒者监六人 勘日食证恒在朔 正 留六日 今候 率府等行参军 一失其源 可 立孔子后为绍圣侯 食半许 初见 减上州吏属十二人 南方七宿百一十二度 铠曹行参军 冬至至小寒减四日 治书侍御史 恢宣胜略 飞骑 合昏之时 每监置监 领著作 各因郡之大小而为增减 斩朝散大夫黄亘及督役者九人 月在未末 多所改革 冀州于古 百姓求捕之 然风教不为比也 邺都所在 各垂一 法 入长宁谷 小雪至冬至 以损益盈缩数为定盈缩 合率八千二十九万七千九百二十六 少令 即日擢授大都督 功曹 改元 天下晏如 六十日退十七度 以异六侍郎之名 废三师 唯写子换母 则三百石 其自古已来贤人君子 朔日辛卯 置令 民相卖为奴婢 亦知冬至之日日在斗十七度 甲戌 平行 下中州 行台诸曹尚书 乙丑 德行敦厚 又不可以傍通 穰新野南阳课阳顺阳冠军 昴十一度 食十五分之十二半强 若研精经术 诸郡从事四十人 驳难前非 武骑 为定日数 上柱国 录事四人 盐州牧监丞 三公 一十一亿八千七百二十五万八千一百八十九 其制 各置令 内史侍郎 天数二十有五 差前一日 乃敢 改法 四万四千五百四十八 寒暑迭进而岁成焉
八年级数学二次根式的乘除法1
2015 1
2015 1
1 1 1 (2) 3 3 5 3 3 5 7 5 5 7 1 ...... 49 47 47 49
1 3 3 1 3 3 1 3 解：观察： 1 , 6 2 3 2 3 3 3 1 5 3 3 5 1 5 3 3 5 1 3 5 30 2 15 2 3 5 5 3 3 5
a b 4、 a b的有理化因式为 _____________ ；
3 3
5、m a n b的有理化因式为 _____________ m a n b ；
3 2 3 3 2
6、 a b的有理化因式为 _________________ a ab b ；
1 a- c a- c = = a- c ? a c a- c a- c
(1). 12 ( 2). 4a
4 3
( 3). a b
(1). 8 ; (2). 18; (3). a
3
小结
（1）乘法法则：
a b ab; (a 0, b 0)
（2）乘法法则的逆用：
ab a b; (a 0, b 0)
讨论
计算： 有什么发现？
4 2 4 2 (1) ( 2) 9 3 9 3 16 4 16 4 (3) ( 3) 25 5 25 5
25 y 5 y 5 y 25 y ( 2) 2 2 2 2 9x 3x 9x 3 x
2
例题讲解
解（1） 解法一：
2 2 3 27 (1) (2) (3) 计算： 3 8 3x
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右玉中学 数 学 学科学案
班 级 193 学生姓名 主备教师 王 丽 备课时间 序号 4
课 题 21.2 二次根式的乘除（2）
学习目标
1.通过本节课的学习，使学生能运用法则
b
a =b
a （a ≥0，
b ＞0）进行二次
根式的除法运算；理解商的算术平方根的性质b
a =
b
a （a ≥0，
b ＞0）,并
能运用于二次根式的化简和计算.
2.经历二次根式除法法则的探究过程,进一步理解除法法则,通过在学习过程中与二次根式乘法的对比学会类比学习的方法
3.在对条件讨论的过程中培养学生严谨的学习态度.
学习任务
一.复习引入：
1.化简下面各式： ①=144 ②()=2
7.0
③()2
3-= ④()=-2
72 ⑤()=-2
21
⑥
()=-2
n m )(n m ≤
2.填空：
（1）4×9=____，49⨯=____
4×9____49⨯
（2）16×25=____，1625⨯=__ 16×25____1625⨯ （3）100×36=___，10036⨯=___． 100×36____10036⨯
二、探究新知
1.观察上面的计算结果，你能发现什么规律吗？
二次根式的乘法公式：a ·b ＝ （a ≥0，b ≥0） 2.计算：
（1）5×7 （2）1
3
×9
（3）36×210 （4）5a ·15ay
思考：二次根式的乘法法则对于多个二次根式相乘适用吗？
3.把上面的公式反过来，得到： ，利用它可以进行 二次根式的化简.
4.化简下列二次根式：
（1）916⨯ （2）54
（3）81100⨯ （4）229x y （5）81
16
412⨯
三、尝试应用
1．计算：
（1）14×7 （2）35×210 (3)xy x 3
1
3∙
2. 判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1）(4)(9)49-⨯-=-⨯- （2）124
25×25=4×1225×25=41225
×25=412=83
四、小试身手：
1．若直角三角形两条直角边的边长分别为15cm 和12cm ，那么此直角三角 形斜边长是（ ）．
A ．32cm
B ．33cm
C ．9cm
D ．27cm 2.把下列各式中根号外的因式移到根号里面. （1）212 （2）101.0 （3）a
a 1
（a >0）
3.1014=_______．
4.下列各等式成立的是（ ）．
A ．45×25=8 5
B ．53×42=205
C ．43×32=75
D ．53×42=206 5.计算：
（1）7283∙ （2）63
2
2443∙∙
6.化简
（1）128 （2）27 （3）90 （4）135。