泗洪县高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学

泗洪县高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．一个算法的程序框图如图所示，若运行该程序后输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（）
A．i≤5？B．i≤4？C．i≥4？D．i≥5？
2
．如图，已知平面=，．是直线上的两点，是平面内的两点，且
，，，．是平面上的一动点，且有，则四棱锥
体积的最大值是（）
A． B． C． D．
3．抛物线y2=2x的焦点到直线x﹣y=0的距离是（）
A．B．C．D．
4．已知集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，则集合B可能是（）
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{﹣1，0，1} D．R
5．设集合（）
A．B． C．
D．
6．已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）
A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）
7． 在等比数列{a n }中，已知a 1=3，公比q=2，则a 2和a 8的等比中项为（ ） A ．48
B ．±48
C ．96
D ．±96
8． 已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，
Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若2PQ QF =，则直线PF 的方程为（ ）
A ．20x y --=
B ．20x y +-=
C ．20x y -+=
D ．20x y ++=
9． 设,,a b c 分别是ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ++=与
sin sin 0bx B y C -+=的位置关系是（ ）
A ．平行
B ． 重合
C ． 垂直
D ．相交但不垂直 10．函数f （x ）=1﹣xlnx 的零点所在区间是（ ）
A ．（0，）
B ．（，1）
C ．（1，2）
D ．（2，3）
11．已知f （x ）在R 上是奇函数，且f （x+4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （7）=（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．﹣98 D ．98
12．以过椭圆+
=1（a ＞b ＞0）的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系是（ ）
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不能确定
二、填空题
13．已知变量x ，y ，满足，则z=log 4（2x+y+4）的最大值为
．
14．已知数列1，a 1，a 2，9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，则的值为 ．
15．已知tan()3αβ+=，tan()24
π
α+
=，那么tan β= .
16．（本小题满分12分）点M （2pt ，2pt 2）（t 为常数，且t ≠0）是拋物线C ：x 2＝2py （p ＞0）上一点，过M 作倾斜角互补的两直线l 1与l 2与C 的另外交点分别为P 、Q .
（1）求证：直线PQ 的斜率为－2t ；
（2）记拋物线的准线与y 轴的交点为T ，若拋物线在M 处的切线过点T ，求t 的值． 17．在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，且，则____． 18．函数y=1﹣（x ∈R ）的最大值与最小值的和为 2 ．
三、解答题
19．如图，已知边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点
（Ⅰ）试在棱AD上找一点N，使得CN∥平面AMP，并证明你的结论．
（Ⅱ）证明：AM⊥PM．
20．如图，平面ABB1A1为圆柱OO1的轴截面，点C为底面圆周上异于A，B的任意一点．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面A1AC；
（Ⅱ）若D为AC的中点，求证：A1D∥平面O1BC．
21．一个圆柱形圆木的底面半径为1m ，长为10m ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分，现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD （如图所示，其中O 为圆心，C ，D 在半圆
上），设∠BOC=θ，直四棱柱木梁的体积为V （单位：m 3），侧面积为S （单位：m 2
）．
（Ⅰ）分别求V 与S 关于θ的函数表达式； （Ⅱ）求侧面积S 的最大值； （Ⅲ）求θ的值，使体积V 最大．
22．（本小题满分10分）
已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=，将曲线1cos :sin x C y θ
θ=⎧⎨=⎩，（α为参数），经过伸缩变
换32x x
y y '=⎧⎨'=⎩
后得到曲线2C ．
（1）求曲线2C 的参数方程；
（2）若点M 的在曲线2C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．
23．（1）已知f（x）的定义域为[﹣2，1]，求函数f（3x﹣1）的定义域；（2）已知f（2x+5）的定义域为[﹣1，4]，求函数f（x）的定义域．
24．已知函数f（x）=x3+x．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）求证：f（x）是R上的增函数；
（3）若f（m+1）+f（2m﹣3）＜0，求m的取值范围．
（参考公式：a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2））
泗洪县高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
i=1，sum=0，s=0
满足条件，i=2，sum=1，s=
满足条件，i=3，sum=2，s=+
满足条件，i=4，sum=3，s=++
满足条件，i=5，sum=4，s=+++=1﹣+﹣+﹣+﹣=．
由题意，此时不满足条件，退出循环，输出s的，则判断框中应填入的条件是i≤4．
故选：B．
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
2．【答案】A
【解析】【知识点】空间几何体的表面积与体积
【试题解析】由题知：是直角三角形，又，所以。

因为，所以PB=2PA。

作于M，则。

令AM=t，则
所以即为四棱锥的高，
又底面为直角梯形，
所以
故答案为：A
3．【答案】C
【解析】解：抛物线y2=2x的焦点F（，0），
由点到直线的距离公式可知：
F 到直线x ﹣y=0的距离d==，
故答案选：C ．
4． 【答案】A
【解析】解：由A={x|x ≥0}，且A ∩B=B ，所以B ⊆A ． A 、{x|x ≥0}={x|x ≥0}=A ，故本选项正确；
B 、{x|x ≤1，x ∈R}=（﹣∞，1]⊊[0，+∞），故本选项错误；
C 、若B={﹣1，0，1}，则A ∩B={0，1}≠B ，故本选项错误；
D 、给出的集合是R ，不合题意，故本选项错误．
故选：A ．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了基本初等函数值域的求法，是基础题．
5． 【答案】B
【解析】解：集合A 中的不等式，当x ＞0时，解得：x ＞；当x ＜0时，解得：x ＜，
集合B 中的解集为x ＞，
则A ∩B=（，+∞）． 故选B
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
6． 【答案】A
【解析】解：由已知点A （0，1），B （3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），
则向量
=
=（﹣7，﹣4）；
故答案为：A ．
【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．
7． 【答案】B 【解析】解：∵在等比数列{a n }中，a 1=3，公比q=2，
∴a 2=3×2=6，
=384，
∴a
2和a 8的等比中项为=±48．
故选：B ．
8． 【答案】B 【
解析】
考点：抛物线的定义及性质．
【易错点睛】抛物线问题的三个注意事项：（1）求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断是哪一种标准方程．（2）注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．（3）直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行（或重合）时，直线与抛物线也只有一个交点． 9． 【答案】C 【解析】
试题分析：由直线sin 0A x ay c ++=与sin sin 0bx B y C -+=，
则sin (sin )2sin sin 2sin sin 0A b a B R A B R A B ⋅+⋅-=-=，所以两直线是垂直的，故选C. 1 考点：两条直线的位置关系. 10．【答案】C
【解析】解：∵f （1）=1＞0，f （2）=1﹣2ln2=ln ＜0， ∴函数f （x ）=1﹣xlnx 的零点所在区间是（1，2）． 故选：C ．
【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．
11．【答案】A
【解析】解：因为f（x+4）=f（x），故函数的周期是4
所以f（7）=f（3）=f（﹣1），
又f（x）在R上是奇函数，
所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2×12=﹣2，
故选A．
【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性．
12．【答案】C
【解析】解：设过右焦点F的弦为AB，右准线为l，A、B在l上的射影分别为C、D
连接AC、BD，设AB的中点为M，作MN⊥l于N
根据圆锥曲线的统一定义，可得
==e，可得
∴|AF|+|BF|＜|AC|+|BD|，即|AB|＜|AC|+|BD|，
∵以AB为直径的圆半径为r=|AB|，|MN|=（|AC|+|BD|）
∴圆M到l的距离|MN|＞r，可得直线l与以AB为直径的圆相离
故选：C
【点评】本题给出椭圆的右焦点F，求以经过F的弦AB为直径的圆与右准线的位置关系，着重考查了椭圆的简单几何性质、圆锥曲线的统一定义和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】
【解析】解：作
的可行域如图：
易知可行域为一个三角形， 验证知在点A （1，2）时， z 1=2x+y+4取得最大值8，
∴z=log 4（2x+y+4）最大是， 故答案为：．
【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
14．【答案】
．
【解析】解：已知数列1，a 1，a 2，9是等差数列，∴a 1+a 2 =1+9=10．
数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，∴ =1×9，再由题意可得b 2=1×q 2＞0 （q 为等比数列的公比），
∴b 2=3，则=
，
故答案为
．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质应用，属于中档题．
15．【答案】43
【解析】
试题分析：由1tan tan()24
1tan π
ααα++
=
=-得1tan 3α=， tan tan[()]βαβα=+-tan()tan 1tan()tan αβα
αβα
+-=++
1
34313133-
==+⨯． 考点：两角和与差的正切公式．
16．【答案】
【解析】解：（1）证明：l 1的斜率显然存在，设为k ，其方程为y －2pt 2＝k （x －2pt ）．①
将①与拋物线x 2＝2py 联立得，
x 2－2pkx ＋4p 2t （k －t ）＝0，
解得x 1＝2pt ，x 2＝2p （k －t ），将x 2＝2p （k －t ）代入x 2＝2py 得y 2＝2p （k －t ）2，∴P 点的坐标为（2p （k －t ），2p （k －t ）2）．
由于l 1与l 2的倾斜角互补，∴点Q 的坐标为（2p （－k －t ），2p （－k －t ）2），
∴k PQ ＝2p （－k －t ）2－2p （k －t ）2
2p （－k －t ）－2p （k －t ）＝－2t ，
即直线PQ 的斜率为－2t .
（2）由y ＝x 22p 得y ′＝x p
， ∴拋物线C 在M （2pt ，2pt 2）处的切线斜率为k ＝2pt p
＝2t . 其切线方程为y －2pt 2＝2t （x －2pt ），
又C 的准线与y 轴的交点T 的坐标为（0，
－p 2
）． ∴－p 2
－2pt 2＝2t （－2pt ）． 解得t ＝±12，即t 的值为±12
. 17．【答案】-2
【解析】【知识点】复数乘除和乘方 【试题解析】由题知：
所以
故答案为：-2
18．【答案】2
【解析】解：设f （x ）=﹣，则f （x ）为奇函数，所以函数f （x ）的最大值与最小值互为相反数，即f （x ）的最大值与最小值之和为0．
将函数f（x）向上平移一个单位得到函数y=1﹣的图象，所以此时函数y=1﹣（x∈R）
的最大值与最小值的和为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了函数奇偶性的应用以及函数图象之间的关系，奇函数的最大值和最小值互为相反数是解决本题的关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：在棱AD上找中点N，连接CN，则CN∥平面AMP；
证明：因为M为BC的中点，四边形ABCD是矩形，
所以CM平行且相等于DN，
所以四边形MCNA为矩形，
所以CN∥AM，又CN⊄平面AMP，AM⊂平面AMP，
所以CN∥平面AMP．
（Ⅱ）证明：过P作PE⊥CD，连接AE，ME，
因为边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点
所以PE⊥平面ABCD，CM=，
所以PE⊥AM，
在△AME中，AE==3，ME==，AM==，
所以AE2=AM2+ME2，
所以AM⊥ME，
所以AM⊥平面PME
所以AM⊥PM．
【点评】本题考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理的运用；正确利用已知条件得到线线关系是关键，体现了转化的思想．
20．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）因为AB为圆O的直径，点C为圆O上的任意一点
∴BC⊥AC …
又圆柱OO1中，AA1⊥底面圆O，
∴AA1⊥BC，即BC⊥AA1…
而AA1∩AC=A
∴BC⊥平面A1AC …
（Ⅱ）取BC中点E，连结DE、O1E，
∵D为AC的中点
∴△ABC中，DE∥AB，且DE=AB …
又圆柱OO1中，A1O1∥AB，且
∴DE∥A1O1，DE=A1O1
∴A1DEO1为平行四边形…
∴A1D∥EO1…
而A1D⊄平面O1BC，EO1⊂平面O1BC
∴A1D∥平面O1BC …
【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；考查学生的空间想象能力及推理论证能力．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD）
=10（2+4sin+2cosθ）=20（cosθ+2sin+1），θ∈（0，），
梯形ABCD的面积S ABCD=﹣sinθ=sinθcosθ+sinθ，θ∈（0，），
体积V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，）；
（Ⅱ）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD）=10（
2+4sin+2cosθ）
=20（cos+1），θ∈（0
，），
设g（θ）=cos+1，g（θ）=﹣2sin
2
+2sin+2，
∴当
sin
=，θ∈（0
，），
即θ
=时，木梁的侧面积s最大．
所以θ
=时，木梁的侧面积s最大为40m2．
（Ⅲ）V′（θ）=10（2cos2θ+cosθ﹣1）=10（2cosθ﹣1）（cosθ+1）
令V′（θ）=0，得cosθ
=，或cosθ=﹣1（舍）∵θ∈（0
，），∴θ
=．
当θ∈（0
，
）时，＜cosθ＜1，V′（θ）＞0，V（θ）为增函数；
当θ
∈（
，）时，0＜cosθ＜，V′（θ）＞0，V（θ）为减函数．
∴当θ
=时，体积V最大．
22．【答案】（1）
3cos
2sin
x
y
θ
θ
=
⎧
⎨
=
⎩
（为参数）；（2
【解析】
试题解析：
（1）将曲线
1
cos :
sin x
C
y
α
α=
⎧
⎨
=
⎩
（α为参数），化为
221
x y
+=，由伸缩变换
3
2
x x
y y
'=
⎧
⎨'
=
⎩
化为
1
3
1
2
x x
y y
⎧'
=
⎪⎪
⎨
⎪'
=
⎪⎩
，
代入圆的方程
2
11
1
32
x y
⎛⎫⎛⎫
''
+=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，得到
()()
22
2
:1
94
x y
C
''
+=，
可得参数方程为
3cos
2sin
x
y
α
α
=
⎧
⎨
=
⎩
；
考点：坐标系与参数方程．
23．【答案】
【解析】解：（1）∵函数y=f（x）的定义域为[﹣2，1]，
由﹣2≤3x﹣1≤1得：x∈[﹣，]，
故函数y=f（3x﹣1）的定义域为[﹣，]；’
（2）∵函数f（2x+5）的定义域为[﹣1，4]，
∴x∈[﹣1，4]，
∴2x+5∈[3，13]，
故函数f（x）的定义域为：[3，13]．
24．【答案】
【解析】解：（1）f（x）是R上的奇函数
证明：∵f（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣（x3+x）=﹣f（x），
∴f（x）是R上的奇函数
（2）设R上任意实数x1、x2满足x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，
f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）+[（x1）3﹣（x2）3]=（x1﹣x2）[（x1）2+（x2）2+x1x2+1]=（x1﹣x2）[（x1+x2）
2+x
2
2+1]＜0恒成立，
因此得到函数f（x）是R上的增函数．
（3）f（m+1）+f（2m﹣3）＜0，可化为f（m+1）＜﹣f（2m﹣3），∵f（x）是R上的奇函数，∴﹣f（2m﹣3）=f（3﹣2m），
∴不等式进一步可化为f（m+1）＜f（3﹣2m），
∵函数f（x）是R上的增函数，
∴m+1＜3﹣2m，
∴。