福建省2022年高二下学期数学(理)期末试卷(含答案)

福建省高二下学期数学（理）期末试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1. 若复数z 满足i 45i z =- (其中i 为虚数单位)，则复数z 为 （ ）
A ．54i -
B ．54i -+
C ．54i +
D ．54i --
2．观察下列关于两个变量x 和y 的三个散点图，它们从左到右的对应关系依次为（ ）
A ．正相关、负相关、不相关
B ．负相关、不相关、正相关
C ．负相关、正相关、不相关
D ．正相关、不相关、负相关 3．在二项式1()n
x
x
的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是（ ） A ．－56 B ．－35
C ． 35
D ．56
4. 计算
120
(11)x dx +-⎰
的结果为（ ）
A ．1
B ．
4
π C ．14
π
+
D ．12
π+
6.若
cos 2cos t
t xdx =-⎰,其中(0,)t π∈,则t =( )
A.
6π B.2
π
C.56π
D.π
7．．函数()3
2
f x x x x =--的单调递增区间是( )
A.1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
B.()1,+∞
C.()1,,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝
⎭ D.1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭
8. 设随机变量ζ服从正态分布)4,3(N ,若)2()32(+>=-<a P a P ζζ,则=a ( )
A ．3
B ．
35 C ．5 D ．3
7
9．记集合312
12323
{1,2,3,4,5,6},{|,,,}101010a a a A M m m a a a A ===++∈，将M 中的元素按从小到大排列，则第70个是（ ）
A ．0.264
B ．0.265
C ．0.431
D ．0.432
10.已知函数f (x )=x 3+bx 2+cx+d (b 、c 、d 为常数),当x ∈(0,1)时取得极大值,当x ∈(1,2)时取极小值,则
22)3()2
1
(-++c b 的取值范围是( ).
A.(
)5,237 B.)5,5( C.)25,4
37
( D.(5,25) 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置。

11．在平面中，△ABC 的角C 的内角平分线CE 分△ABC 面积所成的比
AEC BEC
S AC
S
BC
=
.将这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 交于E ，则类比的结论为
A CDE
B CDE
V V --＝________．
12. 1234
212,21334,2135456,213575678,⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯…依此类推，第n 个等
式为 .
13.5名同学排成一列,某个同学不排排头的排法种数为 14．由曲线1,1,===y x e y x
所围成的图形面积是
15.已知()f x 为定义在(0,+∞)上的可导函数,且()'()f x xf x >恒成立,则不等式0)()1
(2
>-x f x
f x 的解集为______ _____．
三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本题满分13分)已知(23
x ＋3x 2)n
的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求： (1)展开式中二项式系数最大的项； (2)展开式中系数最大的项．
17. (本题满分13分)
交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T ．其范围为[]100，
，
分别有五个级别：[)2,0∈T 畅通;[)4,2∈T 基本畅通;[)6,4∈T 轻度拥堵;[)8,6∈T 中度拥堵；[)10,8∈T 严重拥堵．在晚高峰时段(2≥T )，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．
(1)在这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？
(2)从这20个路段中随机抽出3个路段，用X 表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X 的分布列及期望． 18．（本小题满分13分）
从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同。

（1）若抽取后又放回，抽3次，①分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率；②求抽到红球次数η的数学期望。

（2）若抽取后不放回，抽完红球所需次数为ξξ求,的分布列及期望。

19．(本题满分13分)如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求M 在AB 的延长线上，N 在AD 的延长线上，且对角线MN 过C 点.已知3AB =米，2AD =米。

（1）设AN x =（单位：米），要使花坛AMPN 的面积大于32平方米，求x 的取值范围； （2）若[3,4]x ∈（单位：米），则当AM ，AN 的长度分别是多少时，花坛AMPN 的面积最大？并求出最大面积. 20．（本小题满分14分）
已知函数()ln 1,.f x x ax a R =++∈
（Ⅰ）求()1f x x =在处的切线方程；
（Ⅱ）若不等式()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；
（Ⅲ）数列11{},2,21n n n a a a a +==+中，数列{}n b 满足ln ,{}n n n b n a b =记的前n 项和为n T ，求证：
1
2
4.2
n n n T -+<-
21．本题有（1）、（2）、（2）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分。

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知,a b R ∈，若矩阵13a A b -⎛⎫
=
⎪⎝⎭
所对应的变换A T 把直线:23l x y -=变换为它自身。

（Ⅰ）求矩阵A ；
（Ⅱ）求矩阵A 的逆矩阵。

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为
2
()42sn πρθ+=，曲线2C 的参数方程为1cos 1sin x y θθ
=-+⎧⎨
=-+⎩，（θ为参数，0θπ≤≤）。

（Ⅰ）求C 1的直角坐标方程；
（Ⅱ）当C 1与C 2有两个公共点时，求实数a 的取值范围。

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知函数2()log (|1||5|).f x x x a =-+--
（Ⅰ）当5a =时，求函数()f x 的定义域；
（Ⅱ）当函数()f x 的定义域为R 时，求实数a 的取值范围。

答题卷
（考试时间：120分钟 总分：150分）
A
B
C
D M
N
P
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分
11、12、13、14、15、
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
18、
16、（本小题满分13分）
18、（本小题满分13分）
参考解答及评分标准
20、（本小题满分14分）
三、解答题：
16【解析】解：令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n
＝22n
.
又展开式中二项式系数和为2n
， ∴22n －2n
＝992，n ＝5……………………………..4分
(1)∵n ＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项，∴T 3＝2
5C (2
3
x )3(3x 2)2＝90x 6
，T 4＝
35
C (23
x )2(3x 2)3
＝270223
x ………………………………..8分
(2)设展开式中第r ＋1项系数最大， 则T r ＋1＝5
r C (23
x )
5－r
(3x 2)r ＝3r
5
r C 1043
r x
+，
∴115511
553333r r r r r r r r C C C C ⎧≥⎪⎨≥⎪⎩－－++，，
72≤r ≤92，∴r ＝4， 即展开式中第5项系数最大，T 5＝4
5
C (23
x )(3x 2)4
＝405363
x ……………………….13分
17.解：(1)由直方图得：轻度拥堵的路段个数是()个62012.01.0=⨯⨯+，.。

3分 中度拥堵的路段个数是()0.250.21209+⨯⨯=个．。

6分 (2)X 的可能取值为3210，，，．
()3011932011076C C P X C ⋅=== ，()21
1193
2033
176C C P X C ⋅===， ()1211932033295C C P X C ⋅=== ，()031193
207
395
C C P X C ⋅===， ∴X 的分布列为
X
0 1 2
3
P
1176
3376 3395 795
∴1133337513012376769595380
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯=. 。

13分 18．解：（1）抽1次得到红球的概率为52，得白球的概率为,52得黑球的概率为.5
1
① 所以恰2次为红色球的概率为125
36
53)
5
2
(2
231=
=C P …………2分 抽全三种颜色的概率125
24)515252(3
32=
⋅⨯⨯=A P …………4分 ② η～B(3,
25),26
355
E η=⨯= …………6分 （2）ξ的可能取值为2，3，4，5 2
2251
(2)10A p A ξ===,211223223
51(3)5
C C A A p A ξ===,…………8分
22132323453
(4)10C C A A p A ξ===，2314
23245
52(5)5
C C A A p A ξ=== ……10分 即分布列为：
ξ
2 3 4 5
P
101
51 103 5
2 …………11分
4=∴ξE …………13分
19解析：由于
DN DC AN AM =即23x x AM -=，则32x
AM x =
-
故2
32
AMPN
x S AN AM x =⋅=- …………………… 4分
（1）由32AMPN
S > 得 2
3322
x x >- ，
因为2x >，所以2332640x x -+>，即(38)(8)0x x --> 从而8
23
x <<
或8x >
即AN 长的取值范围是8(2,)
(8,)3
+∞ ………………………. 8分
此时3AN =米，
9AM =米 ………………………… 13分
20解：（Ⅰ） 1
0,'()x f x a x
>=+，'(1)1f a ∴=+，切点是(1,1)a +，
所以切线方程为(1)(1)(1)y a a x -+=+-，即(1)y a x =+． --------------3分 （Ⅱ）（法一）
10,'()ax
x f x x
+>=
， ○
1当0a ≥时， (0,)x ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增， 显然当1x >时，()0f x >，()0f x ≤不恒成立． -------------------4分 ○
2当0a <时， 1(0,)x a
∈-，'()0f x >，()f x 单调递增， 1
(,)x a
∈-+∞，'()0f x <，()f x 单调递减， ---------------------6分
max 11
()()()ln()0f x f x f a a
∴==-=-≤极大值，1a ∴≤-，
所以不等式()0f x ≤恒成立时，a 的取值范围(,1]-∞- --------------------8分 （法二）0,x >所以不等式()0f x ≤恒成立，等价于ln 1
ln 1,x ax x a x
--≤--≤
即， 令ln 1()x h x x --=
，则2
221ln 1ln '()x x
h x x x x
-=-+=， 当(0,1)x ∈时，'()0h x <，()h x 单调递减，
当(1,)x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调递增． ---------------------------------6分
min ()()(1)1h x h x h ∴===-极小值，1a ∴≤-．
所以不等式()0f x ≤恒成立时，a 的取值范围(,1]-∞-． ---------------8分 （Ⅲ）
121n n a a +=+，11
1(1)2
n n a a +∴-=-，
11111
2,1(),()122
n n n n a a a --=∴-=∴=+，
1
1ln[1]2n n b n -⎛⎫
∴=⋅+ ⎪
⎝⎭
， ---------------------10分
由（2）知，当1a =-时，ln 10x x -+≤恒成立，即ln 1x x ≤-，当且仅当1x =取等号．
11111111ln 111122b --⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=⨯+<⨯+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，21212112ln 121122b --⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=⨯+<⨯+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，
……1111ln 11122n n n b n n --⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=⨯+<⨯+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ---------------------12分
1121111111121111222n n T n ---⎡⎤⎡⎤
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴<⨯+-+⨯+-+
+⨯+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
11
21
1
11112...222n n ---⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯++⨯ ⎪
⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
，
令0
1
1
11112...222n n S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
则1
2
1
1111112...(1)22222n n
n S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
，
1
1
11()11111112...()2(2)()1222222212
n
n n
n n n S n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++-⨯=
-⋅=-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，
114(2)()2n n S n -∴=-+⋅，12
42
n n n T -+∴<-． ---------------------------14分
21．
解： （Ⅰ） 法一：设),(y x P 为直线32=-y x 上任意一点其在A 的作用下变为),(y x ''
则133a x x ay x b y bx y y '-⎛⎛-+⎛⎛⎫⎫⎫⎫== ⎪⎪⎪⎪'+⎝⎭⎭⎭⎭⎝⎝⎝3x x ay
y bx y '=-+⎧⇒⎨'
=+⎩
--------------------3 分 代入23x y ''-=得：
3)32()2(=-++-y a x b 其与32=-y x 完全一样得⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨
⎧-=-=--14
13222a b a b 则矩阵1143A -⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
---------------------------------5分
法二：在直线32=-y x 上任取两点（2、1）和（3、3）， ---------------1分
则1223123a a b b -⎛⎛-+⎛⎫⎫⎫
=
⎪⎪⎪+⎝⎭⎭⎭
⎝⎝,即得点)32,2(+-b a , 13333339a a b b -⎛⎛-+⎛⎫⎫⎫= ⎪⎪⎪+⎝⎭⎭⎭
⎝⎝, 即得点)93,33(+-b a , ------------------------------------------------3 分
将)32,2(+-b a 和)93,33(+-b a 分别代入32=-y x 得
2(2)(23)312(33)(39)34a b a a b b -+-+==⎧⎧⇒⎨⎨-+-+==-⎩⎩ 则矩阵1143A -⎛⎫
= ⎪-⎝⎭．---------5 分
（Ⅱ）因为11143-=-，所以矩阵M 的逆矩阵为13141A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭
． -------------7分
（2）．
解：（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为222(sin cos )222
a ρθθ+=,
∴曲线1C 的直角坐标方程为
0x y a +-=． ---------------------------------------------------3分
（Ⅱ）曲线2C 的直角坐标方程为2
2
(1)(1)1(10)x y y +++=-≤≤,为半圆弧， 如下图所示，曲线1C 为一族平行于直线0x y +=的直线， ------------4分 当直线1C 过点P 时，利用
1112
a
---=得22a =-±，
舍去22a =--，则22a =-+，
当直线1C 过点A 、B 两点时，1a =-， ------------6分 ∴由图可知，当122a -≤<-+时，
曲线1C 与曲线2C 有两个公共点． -----------------------7分
（3）
解：（Ⅰ）当2a =时，要使函数)(x f 有意义，
有不等式1550x x -+-->成立，------------------① -----------------------1分
当1x ≤时，不等式①等价于210x -+>，即12x <，∴1
2
x <；-------------------2分 当15x <≤时，不等式①等价于10->，即x ∈∅，∴x ∈∅； ---------------3分
当5x >时，不等式①等价于2110x ->，即112x >，∴11
2
x >； --------------4分
综上函数)(x f 的定义域为
111
(,)(,)22
-∞⋃+∞． ---------------------------------------5分。