2021年高考理科数学《解三角形》题型归纳与训练参照模板

2020年高考理科数学《解三角形》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一正弦定理、余弦定理的直接应用
D 例1A45C的内角A, B , C的对边分别为。

，b, c,已知sin(A + C) = 8sin?—.
2
⑴求cos 5
(2)若。

+。

= 6, A46C面积为2,求6.
【答案】(1)cosB = — (2) b = 2.
17
D
【解析】由题设及A+B+C = 4得sinbugsin?,,故sin6 = 4(1—cos8).
上式两边平方，整理得17cos2^—32cos6+15 = 0,
解得cos8 = l (舍去)，cosB =—
17
(2)由cos5二"得sinB = 9,故Suw = lacsinB = .
17 17 ”比2 17
17
又^AABC =2,则4c =彳.
由余弦定理及。

+ <? = 6得〃=/+/- 2ac cos B = (a + c)2 - 2ac(l + cos B)
= 36-2xy x(l + ^1) = 4.
所以6 = 2.
【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用
【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出
例2 AABC的内角A,5,C的对边分别为〃，瓦c,若加cosB =。

cosC+ccos A,则B =
【答案】y
【解析】2siiiBcosB = siiiAcosC + sinCcosA = siii(A4-C) = siiiB=>cosB = i=>B =—
【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。

【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。

2
i
例3在及15c中，a, b, c分别是角X, B,。

的对边，若b=1,C=严，则易必:=.
【答案】坐
【解析】因为c＞瓦所以5VC,所以由正弦定理得扁=看，即熹=这=2,即sin 5制，所以3 511a L JD 5111 1/
511a L J D N/l N
sm-
7T %.. . 7T 27c 兀ix। 1 - 1 r- 1 \/3
所以*了=7所以Ssgc sm^=-xV3x-=^.
【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围
【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。

题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状
例1在A4BC中，角A,5,C的对边分别为。

，瓦。

，且46,C成等差数列
(1)若6 = 2jJ,c = 2,求AA6C的面积
⑵若sin A,sin B,sin C成等比数列，试判断MBC的形状
【答案】(1)2石(2)等边三角形
【解析】(1)由A, B, C成等差数列，有2B=A + C(1)
因为A, B, C为的内角，所以A+B+C=兀.(2)
得8 = ] b2=a2-^-c2-2accosB(3)
所以(2扬？=a2 +4-4acosy 解得a = 4或a = -2(舍去)
所以5»配，=；acsinB = gx4x2sin?二2石
(2)由a, b, c成等比数列，有炉=阳4)
由余弦定理及(3),可得b2=a2-\-c2—laccosB=a2-\-c2-ac
再由(4),得/+/—ac=ac,即(a—c)2=0。

因此。

=c 从而A=C(5)
由(2)(3)(5),得A=B=C=g
所以为等边三角形.
【易错点】等差数列，等比数列容易混淆【思维点拨】在三角形中，三边和三角都是实数，三个数很容易联想到数列的三项，所以，三角函数与数列的结合也是较为常见的问题，解答中注意几个常见结论，此类问题就不难解答了.
例2在△ ABC中，已知2a = 6+。

，sm2A = sinBsinC,试判断^ABC的形状。

【答案】等边三角形
【解析】sin2A = sinBsin C^> a2 = be,又2a = b+c ,所以4/=(b + c> ,所以4bc = (b + c)],即(Z?-c)2 = 0,因而b = c；由2a = b+c得。

=6。

所以& = b = c, 4ABC为等边三角形。

【易错点】条件的转化运用
【思维点拨】判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：
(1) 一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；
(2)另一个方向是角，走三角变形之路,通常是运用正弦定理
题型三与三角形中有关的不等式问题
例1A43C的内角X, B, C的对边分别为。

，b, c,已知△A5C的面积为， 3 sin A
(1)求sinbsinC;
(2)若6cos 3cosc=1,。

=3,求A4BC 的周长.
【答案】(I) sm B sin C - ~ , (2) CgBc - 3+J33
【解析】
(1)由题设得—acsinB =—-——,EP—csinB = ---.
2 3 sin A 2 3 sin A
1 c A
由正弦定理得一sill C sin 6 = --------------- .
23sin A
2
/. sin C sin B .
3
(2)由题设及(1)得c os6 cosc - sin 6 sin C = - g, B|Jcos(B + C) = -l..-.B + C = y^,/. A = y.
又,/ -bcsinA =--——，艮|Jbc = 8.
2 3 sin A
由余弦定理得—+ c2 - be = 9,即(b + c)2 - 3bc = 9,
:.b+c = V33. /. C MBC = 3 + V33.
【易错点】不会利用将角的关系转化为边的关系
【思维点拨】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系：解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值“，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如〉=45出(5+。

) + 〃，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.
3
例2已知a也c分别为&ABC三个内角,4乃。

的对边,a cos C +币a sinC -b-c = 0.
(1)求*的大小；
(2)若。

=7,求△45C的周长的取值范围.
【答案】(1) y (2)(14,21]
【解析】(1)由正弦定理得：
«cosC + 5/3«siiiC-Z?-c = Oo sin AcosC-V3sin AsinC = sin B + sin C
o sin A cos C + sin A sin C = sin( A + C) + sin C
<=> y/3 sin A- cos A = 1 <=> sin(A — O A- - = — <^> A =—；
6 2 6 6 3
(2)由己知：b>0,c>0,b+c>a = 7,
3 ]
由余弦定理49 = Z?2 + c2 - 2bc cos — = (b+c)2 - 3bc >(b + c)2 ~ — (b + c)2 =—(/? + c)2
3 4 4
当且仅当b=c=l时等号成立,・•・(Z? + c)2 «4x49,又・“+c>7,.・・7Vb+缄14, 从而△A5C的周长的取值范围是(14,21].
【易错点】求周长范围的问题，应先用余弦定理列出等式，再根据基本不等式求出所求问题.
【思维点拨】周长问题也可看做是边长问题的延伸,所以在解决周长相关问题时，着眼于边长之间的关系，结合边长求最值(范围)的解决方式，通常都能找到正确的解题途径.
例3Z4BC的内角A^,C的对边分别为a也c,已知2c-a=2bcosA.
⑴求角B的大小；
⑵若b=2VX求a+c的最大值.
【答案】(1*=?(2)4遮
【解析】:⑴：Z-a=2bcosd,
•:根据正弦定理，得2sin C-sin J=2sin Bcos A. (T) * ^-i-B=7r-C, Zsin C=siii(J+B)=sin Bcos^+cos Bsin A, 代入(2M彳导2sin Bcos J=2siii 5cos J+2cos 戾由,4-$由，,化简得(285 B-l)sin ,4=0.
二4是三角形的内角，,：$山工>0,・：28$3-1=0,解得cos B=^
(2)由余弦定理〃=〃2+c2-24ccos5,得12=a2+c2-ac.
・：(a+c)2-34c=12,・：12N(a+c)2*4+c)2,当且仅当〃=c=2遍时取等号，
Aa+c<4V3
【易错点】涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解.
(1)根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简条件等式，可得(2cos3-l)sin,4=0,结合sin,4>0得到cos瓦从而解出民
(2)由余弦定理,可得出12=东+〃一 ".再利用基本不等式求最大值.
【思维点拨】(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素；
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系；
(3)涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解.
题型四解三角形的实际应用
例1在某次测量中，在d处测得同一平面方向的5点的仰角是50%且到/的距离为2, C点的俯角为70。

，且到4的距离为3,则5、C间的距离为( )
A.y/16
B.y/17
C.y/18
D.y/19
【答案】D
【解析】因/34c=120。

，X5=2, 1C=3,
/.BC2 =AB^AC cos ZBJC=4+9-2x2x3x C os 120°= 19.
：,BC=y[19.
【易错点】没有正确理解题意，不能将应用转化为可计算的三角模型
【思维点拨】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题
例2设甲、乙两楼相距20〃?，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60\从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30' ,则甲、乙两楼的高分别是（）.
A. £石〃7,弓石〃2
B. 10褥〃
C. 10（出—仞肛20⑨〃
D. 203m,与3m
【答案】D
【解析】设甲楼为。

A，乙楼为BC,如图，在
5
R/AABD, ZABD - 60 , BD - 20/??, /. AD = B£）tan60 = 20y/3m, AB = ——— = 40/H，
cos60
v ZCAB = ZABC = 30 ,/. AC = BC,ZACB = 120 ,在A4BC中，设AC = 5C = x,由余弦定理得：
AB2 = AC2 + BC2 -2AC2BCcosZACB ,即1600 = / + / + /,解得1=竺有，则甲、乙两楼的高3
分别是20/几与回?,
【易错点】没有正确理解题意，不能将应用转化为可计算的三角模型
【思维点拨】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题
【巩固训练】
题型一正弦定理、余弦定理的直接应用
L在AABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c,己知a=2, 2sinA=smC=@0时，求b及c的长4
【答案】b=6或2痛：c = 4o
a c
【解析】当a=2, 2siiiA=sinC时，由正弦定理=———，得c=4
sin A sinC
J10 J6
由sinC= ------ ,及OVCVn:得cosC=±--------
4 4
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC > 得b2± & b-12=0
解得b=灰或2灰
f/? = -s/6 - （b = 2\f6
所以〈或
c = 4 1c = 4
2.在AABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c.已知b+c=2a cos B.
（I）证明：，4=23；
,y
（ID若△回€：的面积S=（,求角［的大小. 4
【答案】（1）略（2） A二2或A二二. 2 4
【解析】（I）由正弦定理得5山8 + 51!1。

= 251117485民
故 2 sin A cos 5 = sin 5+sin （4+5 ） = sin 5+sin A cos 5+cos A sin 仇
于是sin8 = sin（A —6）,又A6£（0,/r）,故0<4 —6 所以
8 = 77"—（A-6）或6 = A-6因此A 二）（舍去）或A = 28
所以，A = 2B.
（II）由S = 上得,absinC = 土，故有 4 2 4
smBsinC = -sin2B = sinBcosB ,因为sinBwO,得sinC = cosB. 2
又B, C£（0,乃），所以C =/土B.
当B + C = 2时，A = -； 2 2
当C —B = 2时，A = -. 2 4
综上，A二一或A二一. 2 4
3.AA6C 的内角X, B, C 的对边分别为a, b, c,已知2 cosc（a cos 6+Z? cos A） = c.
(I)求c；
(H)若c=",△ABC的面积为上求八45。

的周长. 2
【答案】＜1)£； (n) 5 +不 3
【解析】(I)由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosB + siiiBcosA)= siiiC ,
2coscsin(A+B) = sinC.故2sinCcosC = sinC.
可得cosC二一，所以C = 2. 2 3
1 L厂36
(H)由已知，-ab sin C = —.
又C = 2 ,所以"=6. 3
由已知及余弦定理得，a2+b2-2abcosC = 7.
故/+〃 = 13,从而(。

+ /?)? = 25.
所以A45C的周长为5 +近
题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状
L在△,MC中，内角X, B,。

所对的边分别是m b, c,若c-ocosB=(2a—b)cosX,则及15c的形状为( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】因为C-acosB=(2。

一b)cos,4, C=7t—(d+5),
所以由正弦定理得sin C—sin Jcos B=2sin Acos A—sin B cos」,
所以sin Acos B + cos 工sin B—sin ,4cos B = 2sin Jcos A - sinBcos A,
7
所以cos J (sill B —sin A)=0,
所以cos J=0 或siiiB=sin J,
所以3=5或5=,4或5=加一W(舍去)，
所以△A5C为等腰或直角三角形.
2.在AMC中，若smJ=2cos Bsin C,则及的形状是.【答案】等腰三角形
9
U + 〃— — A-
【解析】由己知等式得〃=2・一——G 所以屏=/+3尻所以/=尻即c=b .故及15c 为等腰三角形. A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形
D,等边三角形
【答案】A
【解析】依题意,得;,:Vcos A , sill C<sill Bcos A,所以 siii(J +万)Vsin Bcos A> 即 sin 5cos A +cos Bsiii A
—siiiBcos J<0,所以 cos3sin ，4V0.又 sin,4>0,于是有 cosBVO, 3 为钝角，△,43C 是钝角三角形，选 A. 题型三与三角形有关的不等式问题
L 在中，内角月，B,。

所对的边分别为。

，b, c,己知cos25+cos3=l —cosXcosC
(l)求证： a, b, c 成等比数列； (2)若b=2,求△月3C 的面积的最大值. 【答案】⑴略⑵书.
【解析】(1)证明：在△月3C 中，cos5=-cos(X +。

.由已知，得
(1— sin 2B)—cos(J + 0=1— cos A cos C,
/. — siirB —(cos J cos C —sin A sin C)=—cos J cos C, 化简，得siiR5=sinzl sin C 由正弦定理，得於=",
:・a, b, c 成等比数列.
(2)由(1)及题设条件，得〃c=4.
当且仅当。

=c 时，等号成立. ,.,(X5〈兀，sin B =yjl —cos 2B<* 2 喟 =2
・，・S A 亚=%c sin 5 或X 4X *=4
：4BC 的面积的最大值为5.
B-C
1
2在AABC 中，内角A,5,C 的对边分别为。

，4c 己知sin? -------------- +suiBsmC=-.
2 4
(1),求角X 的大小；
(2) .若。

=", \ABC 的面积为乎，求b+c 的值. 【答案】(1). A = y (2). b + c = 3
【解析】(D ,由已知得 1一 c°s ；5 C) + sin^sinC =；,
3.AA5c 中,角d 、B 、。

所对的边分别为〃、b 、
<
若
C,
cos.4,则△/夙7为( ).
则 cos 5= /+^2—a 。

2ac-ac 1
-------- > ------ -
2ac - 2ac 2'
1-cosBcosC - sinBsinC 八〃 1
化简得 ----------------------- + sinBsinC =-,
2 4
整理得cosBcosC-sinBsinC =-,即cos(B + C)= —, 2
由于0V5+C VTI,则6 + C =—,所以4 二—. 3 3
⑵.因为邑心。

=^bcsinA = gbcx4=手，所以be = 2 .
根据余弦定理得(6)=b2 +c2 -26c• cos -^ = b2 + c2 -^-bc = (b + c)~ - be,
即7=(6+ C)2—2,所以b+c = 3
3.在△45C 中，角X、B、。

所对的边分别为。

、b、c,且满足cos2C—cosZ4 = 2sin(g+C) sing-C)
(1)求角且的大小；
(2)若。

=正，且b》，求2b—c的取值范围.
【答案】⑴或竽.(2)［小，2v5)
3 、 1
【解析】⑴由己知得2siiA4—2sii?C= 2(—COS2C sill2C), 4 4
化简得sin2^=1, :. sin A =±r^,
又(X4<n, /. sin 乂 = 乎，故乂=/或津
(2)由一^=心^=一得b=2sinB, c=2sinC,因为》>。

，所以所以d=J, suLi sinn smC 一一 3
故2b~c=4siiiB—2sinC
2
=4sinB—2sin(一万一B) =3sinB-73cosB
=2y[3sin（B - ^）.
因为b》，所以基5得,
“一兀兀兀
所以酒一工＜5， o o Z
所以2b—c的取值范围为[5，2啊.
题型四解三角形的实际应用
L一艘海轮从.4处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40。

的方向直线航行，30分钟后到达3处，在C 处有一座灯塔，海轮在d处观察灯塔，其方向是南偏东70。

，在5处观察灯塔，其方向是北偏东65。

, 那么比C两点间的距离是（）.
A. 10\「海里
B. 海里
C. 20＞「海里
D. 20\/5海里
【答案】A
【解析】如图所示，易知，在及43。

中，45=20海里，ZG15=30°, ZACB=
45°, 根据正弦定理得焉解得3c= 12（海里）.
5111 Ov olLL
2.要测量对岸48两点之间的距离，选取相距圆加的C,。

两点，并测得
ZACB = 75°, ZBCZ) = 45°, ZADC = 30°, 408 = 45°,求A,5 之间的距离.
【答案】小km
【解析】如图所示，在AACZ)中，48=120°, ZCAD=ZADC=306,
AC = CD = Wkm 在MCD 中,/BCD=45°, /80C=75°,
ZCBD=60a A BC = °，1n7? = AABC中，由余弦定理，
sin 60 2
得"；勺-2X T3X^|^XCOS750=5,所以AB = J^km.
：.A, 8之间的距离为忌〃" 3.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸6, C的俯角分别为75。

，30\此时气球的高是60c次，则
河流的宽度5c等于
A. 240(6一1)而
B. 180(72-1>
C. 120(君一 1)m
D. 30(6+1)相
【答案】C
【解析】V tan 15^ = tan(60 -45°) = 2-
, ・•・ BC = 60 tan 60 - 60 tan 15°
= 120(>/3-l)。