山东省部分名校2023-2024学年高三下学期2月大联考试题 数学含答案

2024届高三年级2月份大联考
数学试题（答案在最后）
本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合{}21,0,1,e ,{ln 2}
A B x x =-=<∣，则
()R A B ⋂=
ð（）
A .
{1,0,1}
- B.
{}
20,1,e C.{1}
D.
{}
2
1,0,e -2.已知2i
i 2i
z +=+-，则z 的虚部为（）
A.95
-
B.9i
5
- C.
95
D.
9i 5
3.若6
a x ⎫⎪⎭的展开式中常数项的系数是15，则=a （）
A.2
B.1
C.1
± D.
2
±4.已知在ABC 中，5
2,1,cos 6
AB AC A ===，则BC =（）
A.1
B.
2
C.
3 D.
3
5.椭圆2
2
113
y C x :+=与双曲线2222:1(0)y C x a a -=>的离心率分别为12,e e ，若121e e =，则双曲线2C 的
渐近线方程为（）
A.2
2y x =±
B.33
y x =±
C.y =
D.y =
6.数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n
n S a b =+，设甲：数列{}n a 为等比数列；乙：0a b +=，则甲是乙的
（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
7.圆2
2
1:8290C x y x y ++-+=和圆2
2
2:64110C x y x y ++-+=的公切线方程是（）
A.1y x =-+
B.1y x =-+或5y x =+
C.5
y x =-+ D.1y x =+或25
y x =+8.若2
tan 3tan ,sin()3
θαθα=+=，则cos 2()θα-=（）
A.
29
B.19-
C.
79
D.
19
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知一组样本数据(1,2,3,,30)i x i = 满足123300x x x x <≤≤≤≤ ，下列说法正确的是（）
A.样本数据的第80百分位数为24
x B.样本数据的方差302
2
1
11630i i s x ==-∑，则这组样本数据的总和等于120C.若样本平均数恰是该组数据中的一个数，去掉这个数，则样本数据的方差不变
D.若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数10.函数()f x 满足：对任意实数x,y 都有()()()2+=+-f x y f x f y ，且当0x >时，()2f x >，则（）
A.()02
f = B.()f x 关于()0,2对称C.()()202420244
f f -+= D.()f x 为减函数
11.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为平面ABCD 所在平面内一动点，则（
）
A.若M 在线段AB 上，则1D M MC +
的最小值为B.过M 点在平面ABCD 内一定可以作无数条直线与1D M 垂直
C.若平面1D M α⊥，则平面α截正方体的截面的形状可能是正六边形
D.若1C M 与AB 所成的角为
π
4
，则点M 的轨迹为双曲线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知函数()sin 4cos 4f x x a x =+的图象关于直线π
16
x =
对称，则实数=a ____________．13.已知函数2
()12ln 2
x f x x x =--与3()y x a a =+∈R 相切，则=a ____________．
14.抛物线2
2(0)x py p =>与椭圆22
1(0)4
x y m m +=>有相同的焦点，12,F F 分别是椭圆的上、下焦点，P
是椭圆上的任一点，I 是12PF F △的内心，PI 交y 轴于M ，且2PI IM =
，点()(
)*
,n n x y n ∈N
是抛物线上
在第一象限的点，且在该点处的切线与x 轴的交点为()1,0n x +，若28x =，则2024x =____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X 表示，且()~45,225X N ．（1）请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）；
（2）奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%，摸到二等奖的概率为60%，每个人摸奖相互独立，设恰好有()020n n ≤≤个人摸到一等奖的概率为()P n ，求当()P n 取得最大值时n 的值．附：若(
)2
~,X N μσ
，则{||}0.6827,{||2}0.9545P X P X μσμσ-<=-<=．
16.如图，在圆锥SO 中，若轴截面SAB 是正三角形，C 为底面圆周上一点，F 为线段OA 上一点，D （不与S 重合）为母线上一点，过D 作DE 垂直底面于E ，连接,,,,OE EF DF CF CD ，且COF EFO ∠=∠．
（1）求证：平面//SCO 平面DEF ；
（2）若EFO △为正三角形，且F 为AO 的中点，求平面CDF 与平面DEF 夹角的余弦值．17.已知2
1()ln (R)2
f x x x ax a =+
-∈．
（1）若211()22f x x x
≤
-在[1,)+∞恒成立，求a 的范围；（2）若()f x 有两个极值点s ，t ，求()()f t f s +的取值范围．
18.已知圆221:140C x y ++-=，与x 轴不重合的直线l 过点2C ，且与圆1C 交于C 、D 两点，过点2C 作1CC 的平行线交线段1C D 于点M ．
（1）判断12MC MC +与圆1C 的半径的大小关系，求点M 的轨迹E 的方程；
（2）已知点1)P Q -，直线m 过点(0,1)F -，与曲线E 交于两点N 、R （点N 、R 位于直线PQ 异侧），求四边形PRQN 的面积的取值范围．
19.在无穷数列{}n a 中，令12n n T a a a =L ，若n *∀∈N ，{}n n T a ∈，则称{}n a 对前n 项之积是封闭的．（1）试判断：任意一个无穷等差数列{}n a 对前n 项之积是否是封闭的？
（2）设{}n a 是无穷等比数列，其首项12a =，公比为q ．若{}n a 对前n 项之积是封闭的，求出q 的两个值；（3）证明：对任意的无穷等比数列{}n a ，总存在两个无穷数列{}n b 和{}n c ，使得(
)*
n n n a b c n =⋅∈N ，
其中{}n b 和{}n c 对前n 项之积都是封闭的．
2024届高三年级2月份大联考
数学试题
本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合{}21,0,1,e ,{ln 2}
A B x x =-=<∣，则
()R A B ⋂=
ð（）
A.{1,0,1}-
B.
{}
20,1,e C.{1}
D.
{}
2
1,0,e -【答案】D 【解析】
【分析】根据对数的单调性化简集合，即可由集合的交并补运算求解.
【详解】由题可得{
}{2
R
0e ,0B x
x B x
x =<<=≤∣∣ð或}2
e x ≥因此(
){
}2
R 1,0,e A B ⋂=-ð．
故选：D ．2.已知2i
i 2i
z +=+-，则z 的虚部为（）
A.95
-
B.9i
5
- C.
95
D.
9i 5
【答案】A 【解析】
【分析】先化简复数，再求出共轭复数，最后求出虚部.【详解】由2(2i)(2i)39i i i 2(2i)(2i)55i z i +++=
+=+=+--+，所以39
i 55z =-，即虚部为95
-．
故选：A ．
3.若6
a x ⎫⎪⎭的展开式中常数项的系数是15，则=a （）
A.2
B.1
C.1
± D.
2
±【答案】C 【解析】
【分析】利用二项展开式的通项化简整理再赋值即可得到关于a 的方程，解出即可.
【详解】二项展开式通项为363216
6C
C ()k
k
k k
k k
k a T a x x --+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭
则2k =时常数项为2
2
6C ()15,1a a -=∴=±．故选：C ．
4.已知在ABC 中，5
2,1,cos 6
AB AC A ===，则BC =（）
A.1
B.
2
C.
53 D.
3
【答案】D 【解析】
【分析】根据余弦定理运算求解.
【详解】由余弦定理得2
2
2
552122163
BC =+-⨯⨯⨯=，
所以3
BC =．故选：D ．
5.椭圆2
2
113
y C x :+=与双曲线2222:1(0)y C x a a -=>的离心率分别为12,e e ，若121e e =，则双曲线2C 的
渐近线方程为（）
A.2
2y x =± B.33
y x =±
C.y =
D.y =【答案】C 【解析】
【分析】根据给定条件，借助离心率的求法求出a ，再求出渐近线方程即得.
【详解】依题意，22222
1
2122
21,,13a e e e e a
+===
，解得a =所以双曲线2C
的渐近线方程为y =．故选：C
6.数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n
n S a b =+，设甲：数列{}n a 为等比数列；乙：0a b +=，则甲是乙的
（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
【答案】A 【解析】
【分析】先根据11,1,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得到2n ≥时，1
2n n a b -=，12a a b =+，可以推出充分性成立，再
举例得到必要性不成立.
【详解】当2n ≥时，(
)
1
11222n
n n n n n a S S a b a b b ---=-=+-+=，
当1n =时，112a S a b ==+，因为数列{}n a 为等比数列，所以32
21
a a a a =，即
4222b b b a b
=+，解得2b a b =+且0b ≠，即0a b +=且0b ≠．因此充分性成立；
若0a b +=，当0a =且0b =时，10a =，甲不成立，故必要性不成立．故选：A ．
7.圆2
2
1:8290C x y x y ++-+=和圆2
2
2:64110C x y x y ++-+=的公切线方程是（）
A.1y x =-+
B.1y x =-+或5y x =+
C.5y x =-+
D.1y x =+或25
y x =+【答案】A 【解析】
【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程.
【详解】解：22
1:(4)(1)8C x y ++-=，圆心1(4,1)C -
，半径1r =222:(3)(2)2C x y ++-=，圆心2(3,2)C -
，半径2r =
因为1212C C r r =
=-，
所以两圆相内切，公共切线只有一条，因为圆心连线与切线相互垂直，121C C k =，所以切线斜率为1-，
由方程组2222
829064110
x y x y x y x y ⎧++-+=⎨++-+=⎩解得23x y =-⎧⎨=⎩，故圆1C 与圆2C 的切点坐标为(2,3)-，
故公切线方程为3(2)y x -=-+，即1y x =-+．故选：A.
8.若2
tan 3tan ,sin()3
θαθα=+=，则cos 2()θα-=（）
A.
2
9
B.19-
C.
79
D.
19
【答案】C 【解析】
【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角差的正弦公式、二倍角的余弦公式进行求解即可.
【详解】由sin 3sin tan 3tan sin cos 3sin cos cos cos θα
θαθααθθα
=⇒=⇒=，由2sin()3θα+=211
sin cos sin cos sin cos ,sin cos 362
θααθαθθα⇒+=⇒==，
217
sin()sin cos sin cos ,cos 2()12sin ()39
θαθααθθαθα∴-=-=∴-=--=．
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知一组样本数据(1,2,3,,30)i x i = 满足123300x x x x <≤≤≤≤ ，下列说法正确的是（）
A.样本数据的第80百分位数为24
x B.样本数据的方差302
2
1
11630i i s x ==-∑，则这组样本数据的总和等于120
C.若样本平均数恰是该组数据中的一个数，去掉这个数，则样本数据的方差不变
D.若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数【答案】BD 【解析】
【分析】根据题意，结合百分位数、数据方差，以及平均数与方差的性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，由3080%24⨯=，可得第80百分位数为
2425
2
x x +，所以A 错误；对于B 中，由()303022
21111163030i i i i s x x x ===-=-∑∑，则3030
2
2211
48030i i i i x x x ==-=-∑∑，所以4x =,故这组样本数据的总和等于30120x =，所以B 正确；对于C 中，去掉等平均数的数据，n 变为1n -，平方和不变，分母变小，所以方差变大，所以C 错误；
对于D 中，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如图所示，
由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时平均数大于中位数，同理，向“左拖”时最高峰偏右，那么平均数小于中位数，所以D 正确．故选：BD
．
10.函数()f x 满足：对任意实数x,y 都有()()()2+=+-f x y f x f y ，且当0x >时，()2f x >，则（）
A.()02f =
B.()f x 关于()0,2对称
C.()()202420244
f f -+= D.()f x 为减函
数
【答案】ABC 【解析】
【分析】利用赋值法，结合函数单调性的定义、对称性的性质逐一判断即可.【详解】由对于任意实数,,()()()2x y f x y f x f y +=+-，令0x y ==，则(0)(0)(0)2f f f =+-，即(0)2f =,故A 正确；
令y x =-，则(0)()()2f f x f x =+--，即()()4f x f x +-=，故B 正确；
令2024x =，2024y =-，则(0)(2024)(2024)2f f f =+--，即(2024)(2024)4f f +-=，故C 正确；
对于任意,0y x ∈>R ，则设z x y y =+>，当0x >时，()2f x >，则()()()20f z f y f x -=->，即()()f z f y >，所以()f x 单调递增，故D 错误．故选：ABC
11.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为平面ABCD 所在平面内一动点，则（
）
A.若M 在线段AB 上，则1D M MC +的最小值为
B.过M 点在平面ABCD 内一定可以作无数条直线与1D M 垂直
C.若平面1D M α⊥，则平面α截正方体的截面的形状可能是正六边形
D.若1C M 与AB 所成的角为π
4
，则点M 的轨迹为双曲线【答案】ACD 【解析】
【分析】对A ，将平面11ABC D 展开到与ABCD 同一平面，由两点间线段最短得解；对B ，当M 点在A 处时，过M 点只能作一条直线1AB D M ⊥，可判断；对C ，当M 与B 重合时，1D M ⊥平面11AC D ，分别取
111111,,,,,B C A B A A AD DC C C 的中点E ，F ，G ，H ，P ，Q ，可得到正六边形符合题意；对D ，建立空间直
角坐标系，设出点M 坐标，根据条件求出点M 坐标满足的方程，依此判断.
【详解】选项A ：将平面11ABC D 展开到与ABCD 同一平面如图所示，连接1D C 交AB 于M ,此时
1D M MC +为最小值，计算可得1D M MC +=，故A 正确；
选项B ：当M 点在D 处时，因为1D D ⊥平面ABCD ，所以过M 点可作无数条直线与1D M 垂直，当M 点在A 处时，过M 点只能作一条直线1AB D M ⊥,故B 不正确；
选项C ：当M 与B 重合时，1D M ⊥平面11AC D ，分别取111111,,,,,B C A B A A AD DC C C 的中点E ，F ，G ，H ，P ，Q ，
则六边形EFGHPQ 是正六边形，且此正六边形EFGHPQ 所在平面与平面11A DC 平行，所以当平面α为平面EFGHPQ 时满足题意，故C
正确；
选项D ：以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则
1(0,0,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,1,0),(,,0)D C A B M x y ,得1(,1,1),(0,1,0)C M x y AB =-=
，
1221πcos 4||(1)1
C M AB C M AB x y ⋅∴==⋅+-+ 整理得22(1)1y x --=为双曲线方程，故
D 正确．故选：ACD ．
【点睛】思路点睛：A 选项，沿AB 将平面11ABC D 展开到与ABCD 同一平面，转化为平面上问题求解；B 选项，举反例，当M 点在A 处时，过M 点只能作一条直线1AB D M ⊥；C 选项，当M 与B 重合时，易证1D M ⊥平面11AC D ，分别取111111,,,,,B C A B A A AD DC C C 的中点E ，F ，G ，H ，P ，Q ，则六边形EFGHPQ 是正六边形，即为所求的；D 选项，以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，设出点M 坐标，依据条件求出点M 的轨迹方程，由此判断.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知函数()sin 4cos 4f x x a x =+的图象关于直线π
16
x =对称，则实数=a ____________．【答案】1【解析】
【分析】由于函数()f x 的图象关于直线π16x =
对称，由特殊值π(0)8f f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，即可求值.【详解】由于函数()sin 4cos 4f x x a x =+的图象关于直线π
16
x =
对称，且
π
0π8216
+
=，得：π(0)8f f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
其中(0)sin 0cos 0f a a =+=，πππsin cos 1822f a ⎛⎫
=+= ⎪
⎝⎭
，得：1a =．故答案为：1．
13.已知函数2
()12ln 2
x f x x x =--与3()y x a a =+∈R 相切，则=a ____________．
【答案】612ln 6--【解析】
【分析】根据导数的几何意义进行求解即可.【详解】显然该函数的定义域为全体正实数，设切点为()()
00,x f x ，则12()1f x x x
'=--
，由题知()03f x '=，解得06x =，020x =-<舍去，所以切点为(6,1212ln 6)-，
代入直线方程得1212ln 636a -=⨯+⇒612ln 6a =--．故答案为：612ln 6--．
14.抛物线2
2(0)x py p =>与椭圆22
1(0)4
x y m m +=>有相同的焦点，12,F F 分别是椭圆的上、下焦点，P
是椭圆上的任一点，I 是12PF F △的内心，PI 交y 轴于M ，且2PI IM = ，点()()*
,n n x y n ∈N 是抛物线上
在第一象限的点，且在该点处的切线与x 轴的交点为()1,0n x +，若28x =，则2024x =____________．
【答案】2019
12⎛⎫ ⎪
⎝⎭
【解析】
【分析】作出辅助线，由正弦定理得到
1212
2PI PF PF IM
F M
MF =
=
=，根据椭圆定义得到24a c =，从而求出
焦点坐标为()0,1±，得到抛物线方程，根据导数几何意义得到24x y =在点(),n n x y 的切线为：
22n n x x y y =+，求出12
n n x x +=
，结合28x =，得到{}n x 是首项16，公比1
2的等比数列，利用等比数列的通项公式求出答案.
【详解】2
2(0)x py p =>焦点在y 轴上，故椭圆221(0)4
x y
m m +=>的焦点在y 轴上，
故4m >，
I 是12PF F △的内心，连接2F I ，则2F I 平分12F F P ∠，在2PF I △中，由正弦定理得
222sin sin PI PF PF I PIF =
∠∠①，
在2MF I ，由正弦定理得
2
22
sin sin MI
MF MF I MIF =
∠∠②，
其中22πMIF PIF ∠+∠=，故22sin sin MIF PIF ∠=∠，
又22sin sin PF I MF I ∠=∠，式子①与②相除得
22
PI PF MI
MF =
，故
22
2PF MF =
，
同理可得
112PI PF IM
F M
=
=，
121222PF PF F M F M ∴+=+，
由椭圆定义可知1224PF PF a +==，122F M F M c +=，
24,1a c c ∴=∴=，即焦点坐标为()0,1±，
所以抛物线方程为24x y =，
1
2
y x '=
，故24x y =在(),n n x y 处的切线方程为()12n n n y y x x x -=-，
即21122n n n y y x x x -=
-，又214n n y x =，故1
2
n n y x x y =-，所以24x y =在点(),n n x y 的切线为：22n n x x y y =+，
令2
12240,2
n n n n n n x y x y x x x +⨯====，又1
282x x ==，即116x =，所以{}n x 是首项16，公比1
2的等比数列，
2023
2019
2024
111622x ⎛⎫
⎛⎫∴=⨯= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
．
故答案为：2019
12⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
【点睛】当已知切点坐标为()00,x y 时，根据导函数的几何意义可得到切线的斜率，再利用
()()()000y f x f x x x '-=-求出切线方程；
当不知道切点坐标时，要设出切点坐标，结合切点既在函数图象上，又在切线方程上，列出等式，进行求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X 表示，且()~45,225X N ．（1）请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）；
（2）奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%，摸到二等奖的概率为60%，每个人摸奖相互独立，设恰好有()020n n ≤≤个人摸到一等奖的概率为()P n ，求当()P n 取得最大值时n 的值．附：若(
)2
~,X N μσ，则{||}0.6827,{||2}0.9545P X P X μσμσ-<=-<=．
【答案】（1）159（2）()P n 取得最大值时n 的值为8
【解析】
【分析】（1）利用正态分布的对称性可求(60)P X ≥，故可估算年龄不低于60岁的人数.
（2）利用不等式组()(1)
()(1)
P n P n P n P n ≥+⎧⎨≥-⎩可求()P n 取得最大值时n 的值.
【小问1详解】
因为~(45,225)X N ，所以15σ=，则10.6827
(60)()0.158652
P X P X μσ-≥=≥+=
=，所以现场年龄不低于60岁的人数大约为10000.15865159⨯≈(人)．【小问2详解】
依题意可得，2020()C 0.40.6n
n
n
P n -=⨯，
设()(1)
()(1)
P n P n P n P n ≥+⎧⎨
≥-⎩，
所以2011
19202020112120
20C 0.40.6C 0.40.6C 0.40.6C 0.40.6n n n n n n n n n n n n -++-----⎧⨯≥⨯⎨⨯≥⨯⎩，
所以200.4
1,10.6
210.41,0.6n n n n
-⎧⋅≤⎪⎪+⎨
-⎪⋅≥⎪⎩所以
374255
n ≤≤，因n 为整数，所以8n =，所以当()P n 取得最大值时n 的值为8．
16.如图，在圆锥SO 中，若轴截面SAB 是正三角形，C 为底面圆周上一点，F 为线段OA 上一点，D （不与S 重合）为母线上一点，过D 作DE 垂直底面于E ，连接,,,,OE EF DF CF CD ，且COF EFO ∠=∠
．
（1）求证：平面//SCO 平面DEF ；
（2）若EFO △为正三角形，且F 为AO 的中点，求平面CDF 与平面DEF 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2
）
13
【解析】
【分析】（1）根据面面平行的判定方法，证明面面平行.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求二面角的余弦.【小问1详解】
因为COF EFO ∠∠＝，所以EF CO ∥，因为EF ⊄平面SCO ，CO ⊂平面SCO ，所以//EF 平面SCO ，
因为DE 垂直底面于,E SO 垂直底面于O ，所以DE SO ∥，同理//DE 平面SCO ，
因为DE EF E ⋂＝，且//EF 平面SCO ，//DE 平面SCO ，所以平面//SCO 平面DEF ．【小问2详解】
不妨设圆锥的底面半径为2，
因为轴截面SAB
是正三角形，所以SO =如图，设平面SDEO 与底面圆周交于G ，因为EFO △为正三角形，且F 为AO 的中点，所以1OF FE EO ===，所以E 为OG 的中点，所以DE 为SOG △
的中位线，所以1
2
DE SO =
=，如图，在底面圆周上取一点H ，使得OH OB ⊥，以直线,,OH OB OS 为x ，y ，z
轴建立空间坐标系，
由已知得，31(1,0),,22C D ⎛-- ⎝，31,,0,(0,1,0)22E F ⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭，设EF 的中点为M ，则平面DEF
的法向量为13,,044n OM ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭
，
所以)
CF =
，1,22CD ⎛= ⎝ 设平面CDF 的一个法向量为()2,,n x y z =
，
所以22n CF n CD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒22·0
·0
n CF n CD ⎧=⎪⎨=⎪⎩
⇒0,
1
02
2x y =⎨++=⎪
⎩，0x =，令2y =
，则3
z =-
，
则20,2,3n ⎛
⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，
所以平面CDF 与平面DEF
夹角的余弦值为12
12
3313
2
·13
2n n n n ⋅=
=
．
17.已知2
1()ln (R)2f x x x ax a =+
-∈．（1）若211
()22f x x x
≤-在[1,)+∞恒成立，求a 的范围；
（2）若()f x 有两个极值点s ，t ，求()()f t f s +的取值范围．【答案】（1）1[,)2
+∞（2）(,3)-∞-【解析】
【分析】（1）根据题意转化为2ln 1
2x a x x ≥
+恒成立，令2ln 1()2x h x x x =+，求得3ln 1()x x x h x x
--'=，再令()ln 1t x x x x =--，利用导数求得()(1)0t x t ≤=，得到()h x 在[1,)+∞单调递减，即可求解；（2）根据题意，转化为,s t 是()0f x '=的两不等正根，即,s t 是210x ax -+=的两不等正根，结合二次函数的性质，求得2a >，进而求得()()f t f s +的取值范围．【小问1详解】
解：由函数21()ln 2f x x x ax =+-，因为21
()22x f x x ≤-
在[1,)∞上恒成立，即2ln 1
2x a x x ≥
+在[1,)+∞恒成立，令2ln 1()2x h x x x =+，可得3
ln 1
()x x x h x x --'=，令()ln 1t x x x x =--，可得()ln 0t x x '=-≤，所以()t x 在[1,)+∞单调递减，所以()(1)0t x t ≤=，
所以()0h x '≤恒成立，所以()h x 在[1,)+∞单调递减，所以max 1
()(1)2
h x h ==，所以1
2a ≥
，所以实数a 的取值范围为1[,)2
+∞.【小问2详解】
解：因为()f x 有两个极值点,s t ，
可得,s t 是2
11
()0x ax f x x a x x
-+'=+-==的两不等正根，
即,s t 是210x ax -+=的两不等正根，则满足2Δ40
01a s t a st ⎧=->⎪
+=>⎨⎪=⎩
，解得2a >，
则222111
()()ln ln ()ln()()()222
f t f s t s t s a t s st t s ts a t s +=++
+-+=++--+222111
ln()()()1213222
st t s ts a t s a =++--+=--<-⨯-=-，
所以()()f t f s +的取值范围为(,3)-∞-．
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
18.已知圆221:140C x y ++-=，与x 轴不重合的直线l 过点2C ，且与圆1C 交于C 、D 两点，过点2C 作1CC 的平行线交线段1C D 于点M ．
（1）判断12MC MC +与圆1C 的半径的大小关系，求点M 的轨迹E 的方程；
（2）已知点1)P Q -，直线m 过点(0,1)F -，与曲线E 交于两点N 、R （点N 、R 位于直线PQ 异侧），求四边形PRQN 的面积的取值范围．
【答案】（1）121MC MC C D +=，22
1(0)
42
x y
y +=≠
（2）
62
5
S <<，且83S ≠【解析】
【分析】（1）根据平面几何可得121MC MC C D +=，故点M 的轨迹为椭圆，根据椭圆定义即可求出轨迹E 的方程；
（2）设直线RN ：:1RN y kx =-，()()1122,,,R x y N x y ，直线与曲线联立方程组，根据k 的范围得
125
x x <-<且1283x x -≠，再根据四边形PRQN 的面积为12S x x =-，代入即可求解.
【小问1详解】
圆2211:(16,(C x y C ++=∴，
21122//,C M C C C CC MC D ∴∠=∠ ，11121,C C C D C CC C DC =∴∠=∠ ，12C DC MC D ∴∠=∠，2DM C M ∴=
，
1121124MC MD MC MC C D C C ∴+=+==>=，
∴点M 的轨迹是以12,C C 为焦点的椭圆，其方程为22
1(0)42
x y y +=≠．
【小问2详解】
设直线:1RN y kx =-
，由题意知0k <<且12
k ≠
，设()()1122,,,R x y N x y
，
12121
2
S PQ x x x x ∴=
-=-，由()
22222
112420,Δ328014
2y kx k x kx k x y =-⎧⎪
⇒+--==+>⎨+=⎪⎩，则121222
42
,1212k x x x x k k
-+=
=++，所以()(
)(
)
()
(
)
2
22
2
1212122
2
2
2
2
2
1612328
84121212k k x x x x x x k k k ++--=+-=
=
+
+++()
2
22
8
16
1212k k -=
+
++，
令
2
1
12t k
=+1(15t <<且2)3t ≠，
()
2
2212828(1)8x x t t t ∴-=-+=--+，
当1t =时，2
128x x -=；
当15
t =
，2
1297282525x x -=⨯=；当23t =时，2
12649x x -=；
125
x x ∴
<-<，且1283x x -≠，
62
5
S ∴<<83S ≠．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.
19.在无穷数列{}n a 中，令12n n T a a a =L ，若n *∀∈N ，{}n n T a ∈，则称{}n a 对前n 项之积是封闭的．（1）试判断：任意一个无穷等差数列{}n a 对前n 项之积是否是封闭的？
（2）设{}n a 是无穷等比数列，其首项12a =，公比为q ．若{}n a 对前n 项之积是封闭的，求出q 的两个值；（3）证明：对任意的无穷等比数列{}n a ，总存在两个无穷数列{}n b 和{}n c ，使得(
)*
n n n a b c n =⋅∈N ，
其中{}n b 和{}n c 对前n 项之积都是封闭的．【答案】（1）不是（2）2q =或1
2
（3）证明见解析【解析】
【分析】（1）取数列13,1,,2,22⎧⎫
-
---⎨⎬⎩⎭
，结合题中定义验证可得出结论；
（2）由()1
112n n n a a q
q n --*=⋅=∈N ，得()12
2n n
n n
T q
-=，进而()()
1112
2
n n m n
q
--
--=，讨论①当()12
n n
m +=
时和②当()()122
n n m n -=
+
-，分别求得q ；
（3）设1
1111n n n n q a a q a a --⎛⎫
==⋅ ⎪
⎝⎭，令1n
n b a =，1
1n n q c a -⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，得(
)n n n a b c n *
=⋅∈N
，
再利用定义证明{}n
b 、{}n
c 对前n 项之积都是封闭的．
【小问1详解】
解：不是的，理由如下：如等差数列13,1,,2,22⎧⎫-
---⎨⎬⎩⎭ ，212113,1,,2,222T a a ⎧⎫
==∉----⎨⎬
⎩⎭
所以不是任意一个无穷等差数列对前n 项之积是封闭的．【小问2详解】
解：{}n a 是等比数列，其首项12a =，公比q ，所以()1
1*12n n n a a q
q n --=⋅=∈N ，
所以()
()11212
1222n n n n
n
n n
T a a a q
q
-+++-=== ，
由已知得，对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n m T a =成立，即对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得(1)12
22n n
n
m q
q --=成立，
即对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得()()
1112
2n n m n q --
--=成立，
①当()112
n n m +=
≥时，得()()1112
n n m n --
-=-，所以2q =
；
②当()()2134
212
2n n
n n m n --+=+-=≥时，得()()()11102n n m n -⎡⎤--+-=⎢
⎥⎣⎦
，且1
2
q =
，综上，2q =或1
2.【小问3详解】
解：对任意的无穷等比数列{}n a ，1
1111n n n n q a a q a a --⎛⎫
==⋅ ⎪
⎝⎭
，
令1n
n b a =，1
1n n q c a -⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，则(
)*
n n n a b c n =⋅∈N
，
下面证明：{}n b 是对前n 项之积是封闭的．因为1n
n b a
=，所以
()1122
11
n n n n T a a ++++== ，
取正整数()12
n n m +=
得，n m T b =，
所以{}n b 对前n 项之积是封闭的，
同理证明：{}n c 也对前n 项之积是封闭的，
所以对任意的无穷等比数列{}n a ，总存在两个无穷数列{}n b 和{}n c ，使得(
)*
n n n a b c n =⋅∈N
，其中{}n
b 和{}n
c 对前n 项之积都是封闭的．
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。