推荐-山东省高密市2018届三月份高三教学质量检测数学(

高密市三月份高三教学质量检测
数学试题
（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生了概率是P ，那么它在n 次独立重复试验中恰
好发生k 次的概率k n k
k n n P P C k P --=)1()(.
球的表面积公式24R S π=，其中R 表示球的半径.
球的体积公式33
4
R V π=球，其中R 表示球的半径.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．若函数)(x f y =的图象如右图所示，则
函数)1(x f y -=的图象大致为（ ）
A B C D
2.
=+-2
)3(31i i
（ ）
A ．
i 4
341+ B ．i 4
341--
C ．
i 2
321+ D ．i 2
321--
3. 函数x
x y cos sin 21
++=
的最大值是（ ）
A.
122
- B. 122+ C. 221-
D. 2
2
1-- 4. 设m 、n 是异面直线，则
(1)一定存在平面α，使α⊂m 且n ∥α (2)一定存在平面α，使α⊂m 且α⊥n
(3)一定存在平面γ，使m ，n 到γ的距离相等
(4)一定存在平面α、β，使α⊂m ，β⊂n ，且βα⊥
上述4个命题中正确的个数为 （ ）
A ．1 B. 2 C. 3 D. 4 5．已知等差数列==16
884,31
,}{S S S S S n a n n 那么且项和为的前 （ ）
A ．
8
1
B ．
31 C ．
9
1 D ．
10
3 6．双曲线122
22=-b
y a x 的右准线与两条渐近线交于A ，B 两点，右焦点为F ，且FA ⊥FB ，
则双曲线的离心率为（ ）
A ．
3
32 B ．2 C ．3
D ．2
7.设n a 是n x )1(+的展开式中2
x 的系数)2(≥n ，则)1
11(
lim 32n
n a a a +++∞
→ 等于（ ） A. 2 B. 1 C.
2
1 D. 31
8. 直线03=+y x 绕原点按顺时针方向旋转︒30所得直线与圆3)2(2
2
=+-y x 的位置关系是 （ ）
A. 直线与圆相切
B. 直线与圆相交但不过圆心
C. 直线与圆相离
D. 直线过圆心
9．定义在R 上的偶函数0)(log ,0)2
1(,),0[)(4
1<=+∞=x f f x f y 则满足且上递减在的x 的
集合为
（ ）
A ．),2()2
1,(+∞⋃-∞ B ．)2,1()1,2
1(⋃ C ．),2()1,2
1(+∞⋃
D ．),2()2
1,0(+∞⋃
10. 某校有6间电脑室，每天晚上至少开放2间、则不同安排方案的种数为，①2
6C ；②665646362C C C C +++；③726-；④2
6P ，则正确的结论是 （ ）
A. 仅有①
B. 仅有②
C. 有②和③
D. 仅有④ 11．由1，3，5，…，2n －1，…构成数列{}n a ，数列{}n b 满足1,2,21-=≥=n b n a b n b 时当，则b 5等于（ ）
A ．63
B ．33
C ．17
D ．15
12. 如下图，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长为2的等边三角形，设直线
)20(:≤≤=t t x l 截这个三角形所得位于直线左侧的图形（阴影部分）的面积为f )(t ，则
函数)(t f s =的图像只可能是（ ）
高密市三月份高三教学质量检测
数学试题
（理工类）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
13．若A （6，m ）是抛物线px y 22=上的点，F 是抛物线的焦点，且|AF|=10，则此抛物
线的焦点到准线的距离为 .
14．若实数x,y 满足22(x 1)(y 2)5
y 2x
⎧-+-≤⎨≥⎩，则x+y 的最大值为 。

15．将二次函数y =x 2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y =2x －5的图象只有一
个公共点(3，1)，则向量a = _________. 16．给出下列四个命题：① 函数c bx x x x f ++=)(为奇函数的充要条件是c =0； ②函数)0(2>=-x y x
的反函数是)10(log 2<<-=x x y ；
③若函数)lg()(2
a ax x x f -+=的值域是R ，则4-≤a 或0≥a ；
④ 若函数)1(-=x f y 是偶函数，则函数)(x f y =的图象关于直线0=x 对称。

其中所有正确命题的序号是 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分） 已知函数.3
cos 33cos 3sin
)(2x
x x x f += （Ⅰ）将f(x)写成)sin(φω+x A 的形式，并求其图象对称中心的横坐标；
（Ⅱ）如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2
=ac ，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及此时
函数f(x)的值域.
18.（本小题满分12分）
有A，B两个口袋，A袋中有6张卡片，其中1张写有0，2张写有1，3张写有2；B袋中有7张卡片，其中4张写有0，1张写有1，2张写有2.从A袋中取1张卡片，B袋中取2张卡片，共3张卡片.求：
（Ⅰ）取出的3张卡片都写0的概率；
（Ⅱ）取出的3张卡片数字之积是4的概率.
（Ⅲ）取出的3张卡片数字之积x的概率分布及其数学期望.
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方
形，PD=DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点. （Ⅰ）求证：EF ⊥CD ；
（Ⅱ）在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论； （Ⅲ）求DB 与平面DEF 所成角的大小.
20. (本小题满分12分)
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1,211++=⋅=+n n S a n a n n ， （1）求数列{}n a 的通项公式; （2）令n
n
n S T 2=
，①当n 为何正整数值时，1+>n n T T ：②若对一切正整数n ，总有m T n ≤，求m 的取值范围。

21. (本小题满分12分)
已知椭圆的一个焦点)22,0(1-F ，对应的准线方程为249
-
=y ，且离心率e 满足3
2，e ，3
4
成等比数列. (1)求椭圆的方程；
(2)试问是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线2
1-=x 平分？若存在，求出l 的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由.
22．（本小题满分14分）
已知函数14)(234-+-=ax x x x f 在区间[0，1]单调递增，在区间)2,1[单调递减， （1）求a 的值；
（2）若点)())(,(00x f x f x A 在函数的图象上，求证点A 关于直线1=x 的对称点B 也在函
数)(x f 的图象上；
（3）是否存在实数b ，使得函数1)(2-=bx x g 的图象与函数)(x f 的图象恰有3个交点，
若存在，请求出实数b 的值；若不存在，试说明理由.
高三数学试题参考答案
一、选择题：
1A 2B 3B 4C 5D 6B 7A 8A 9D 10C 11C 12C
二、填空题：
13．8； 14． 6 ； 15． (2,0) ； 16．①②③
17．(本小题满分12分)
（I ）解： 2
3)332sin(2332cos 2332sin 21)32cos 1(2332sin 21)(++=++=++=πx x x x x x f
由)332sin(
π+x =0即z k k x z k k x ∈-=∈=+πππ2
13)(332得
即对称中心的横坐标为z k k ∈-π2
1
3…………6分 （Ⅱ）由已知b 2
=ac
，2222221
cos 2222
125cos 10923333952||||sin sin()13292333
2sin()133a c b a c ac ac ac x ac ac ac x x x x x πππππππππππ+-+--==≥=
∴≤<<≤<+≤->-∴<+≤<++≤ 分
即)(x f 的值域为]2
31,3(+
综上所述，]3
,
0(π
∈x ; )(x f 值域为]2
3
1,3(+
…………12分 18. (本小题满分12分)
解：(Ⅰ)21
1
2
7162
411=⋅⋅=C C C C P ……………………………………………3分 (Ⅱ)634
2
7
161211132212=⋅⋅⋅+⋅=C C C C C C C P …………………………………………………6分 (Ⅲ)记ξ为取出的3张卡片的数字之积则ξ的分布为：
………………………10分 63
3242186344622242370=⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE ………………………………………12分 19． 解法一：
（Ⅰ）（证法一）
分
三垂线定理三垂线定理又分为正方形4.),(),(2,,.//,, CD EF CD PA CD PD DC AD ABCD AP EF FB PF EB AE ⊥∴⊥∴⊥⊥∴∴∴==
（证法二）取BD 的中点O ，连结FO 、OE.
分
三垂线定理底面底面分又4).(,,2.//,.,.//, CD EF ABCD FO ABCD PD PD FO FB FP CD OE CD AD AD OE EB AE ⊥∴⊥∴⊥∴∴=⊥∴⊥=
（Ⅱ）答：G 是AD 的中点.…………5分
（方法一）取PC 的中点H ，连结DH.
分
平面为平行四边形四边形连结中点取平面平面又8.,
//,
,//21
//.
,,.,,.
, PCB GF GF DH DGFH DG BC HF FH GF G DA PCB DH DH BC PDC BC PC DH DC PD ⊥∴∴∴⊥∴⊥∴⊥⊥
∴==
=
（方法二）取AD 中点G ，连结PG 、GB 、GF.
PGD ∆ ≌.BGA ∆ 分
平面底面连结中点为又8.,,,,..
,.
PBC FG BC FG AD FG AD OG ABCD FO GO PB GF PB F GB PG ⊥∴⊥∴⊥∴⊥⊥⊥=∴
（Ⅲ）设B 到平面DEF 的距离为d.
分
所成角为与平面则所成角为与平面设分
则设底面边长为分12.6
3
arcsin ,6
3
sin ,.
61
214186,861090,45
4342.
2
54,32121,
2
221,41,
2
1
,9.3
1
31,
22222222222
2 DEF DB DB d DEF DB a d a a d a a S DFE DE a a a DF EF a a a DE a PB DF a
AP EF a S a FO a FO S d S V V DEF DEB DEB DEF DEB F DEF B ∴==
=⇒⋅=⋅∴=∴=∠∴==+=+=+=======⋅=⋅∴=∆∆∆∆--θθ
解法二：
以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图），设AD=a ，则
D （0，0，0）、A （a ,0,0）、B(a ,a ,0)、C(0,a ,0)
)0,2,(a a E 、)2
,2,2(a
a a F 、).,0,0(a P ……2分
（Ⅰ）,0)0,,0()2
,0,2(=⋅-=⋅a a
a
.DC EF ⊥∴……4分
（Ⅱ）.),,0,(PAD G z x G 平面则设∈
分
的中点点为即点坐标为8.),0,0,2
(.
0,0)2(2),,0()2,2,2(;
2
,0)2()0,0,()2,2,2(),
2
,2,2(2
AD G a
G z a
z a a a a a z a a x CP FG a
x a x a a a z a a x a
z a a x ∴==-+=-⋅---=⋅==-=⋅---=⋅---=
（Ⅲ）设平面DEF 的法向量为).,,(z y x n =
分
即所成角大小为与平面分则取即得由12).6
3
arcsin (63arccos 2,6
3
6
2,cos 10).1,2,1(,
1,2,1.02,0)(2,
0)0,2,(),,(,0)2,2,2(),,(0,0 -∴=⋅=
>=
<-=∴=-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⋅=⋅⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅πDEF DB a a n BD z y x y a ax z y x a
a a z y x a a a z y x
20．解：（1）令1=n ，21112⋅+=⋅a a ，即212=-a a 由
()
()()⎩
⎨
⎧-+=⋅-++=⋅-+11111n n S a n n n S a n n n n n ()()222111≥=-⇒+=--⋅⇒++n a a n a a n a n n n n n n ∵212=-a a ，∴()
*12N n a a n n ∈=-+，即数列{}n a 是以2为首项、2为公差的等差数列， ∴n a n 2= （2）①()()()112
21212++++=>+==
n n n n n n n n T n n S T ，即
()
*2N n n ∈> ②∵2
3
,123211====
T T S T ，又∵2>n 时，1+>n n T T ∴各项中数值最大为
2
3
，∵对一切正整数n ，总有m T n ≤恒成立，因此3m 2≥
21．解：（1）∵34,,32e 成等比数列 ∴34322
⨯=e 23
2=
e ……………3分 设),(y x p 是椭圆上任意一点，依椭圆的定义得
99,32
22
49)22(2222=+=+++y x y y x 化简得………………………5分
即19
2
2
=+y x 为所求的椭圆方程.……………………………………………………6分 （2）假设l 存在，因l 与直线2
1
-
=x 相交，不可能垂直x 轴 因此可设l 的方程为：m kx y +=由………………………………………………7分
整理得得消去9)(9,9
92
22
2=++⎩⎨⎧=++=m kx x y y x m kx y 0)9(2)9(222=-+++m kmx x k ①…………………………………………8分
方程①有两个不等的实数根
∴090)9)(9(44222222<-->-+-=∆k m m k m k 即 ② 设两个交点M 、N 的坐标分别为),)(,(2211y x y x ∴9
2221+-=+k km
x x
∵线段MN 恰被直线21
-
=x 平分 ∴19
2221221
-=+-+=-k km x x 即………10分 ∵0≠k ∴k k m 292+= ③ 把③代入②得 0)9()29(22
2<+-+k k k ∵092
>+k ∴22
9104k k
+-< ∴32
>k 解得3>k 或3-<k ∴直线l 的倾斜角范围为)3
2,2()2,3(
π
ππ
π ……………………………………12分 22．解：（I ）由函数)1,0[14)(2
3
4
在区间-+-=ax x x x f 单调递增，在区间)2,1[单调递减，
0)1(,
,1='∴=∴f x 取得极大值时………………………………………………2分
ax x x x f 2124)(23+-='
402124=⇒=+-∴a a ……………………………………………………………4分
（II ）点))(,2(1))(,(0000x f x B x x f x A -=的坐标为的对称点关于直线……6分
)
(141]2)2[()2(1)2(4)2(4)2()2(020
30
4
20202030400x f ax x x x x x x x x f =-+-=----=--+---=-
∴A 关于直线x =1的对称点B 也在函数f （x ）的图象上………………………9分 （III ）函数1)(2-=bx x g 的图象与函数f （x ）的图象恰有3个交点，等价于方程
311442234恰有-=-+-bx x x x 个不等实根…………………………………10分 0)4(411442342234=-+-⇒-=-+-x b x x bx x x x
0=x 是其中一个根
0)4(4234=-+-∴x b x x 方程有两个非零不等实根…………………………12分
40040
)4(416≠>⇒⎩
⎨
⎧≠->--=∆b b b b 且………………………………………14分
……………………………………………………8分。