甘肃省高台县高三上学期第三次检测数学(文)试题 Word版含答案

数学（文）试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项 是符合题目要求的.
1.已知全集为R ，集合{1,0,1,5}M =-，2
{|20}N x x x =--≥，则R M C N =（ ）
A ．{0,1}
B ．{1,0,1}-
C ．{0,1,5}
D ．{1,1}- 2.复数32i
z i
-+=
+的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i - C ．1i -+ D ．1i -- 3.已知等差数列{}n a 中，246a a +=，则其前5项和5S 为（ ） A ．5 B ． 6 C ．15 D ． 30 4.下列说法正确的是（ ）
A ．“a b >”是“22a b >”的充分不必要条件
B ．命题“0x R ∃∈，2010x +<”的否定是“x R ∀∈，210x +>” C.关于x 的方程2
(1)20x a x a +++-=的两实根异号的充要条件是1a < D ．命题“在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >”的逆命题为真命题
5.在ABC ∆中，sin :sin :sin 2:3:A B C =，则cos C =（ ）
A B 13 D ．1
4
6.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）
A ．10
B ．20 C. 40 D ．60 7.执行如图所示的程序框图，则输出i 的值为（ ）
A ．5
B ．6 C. 7 D ．8
8.定义在R 的函数()y f x =在(0,2)上是增函数，函数(2)y f x =+是偶函数，则（ ） A ．(2.5)(1)(3.5)f f f << B ．(2.5)(1)(3.5)f f f >> C. (3.5)(2.5)(1)f f f >> D ．(1)(3.5)(2.5)f f f >> 9.已知函数()cos(2)cos 23
f x x x π
=+
-，其中x R ∈，给出四个结论：
①函数()f x 是最小正周期为π的奇函数； ②函数()f x 的图象的一条对称轴是23
x π=； ③函数()f x 图象的一个对称中心是5(
,0)12π
； ④函数()f x 的递增区间为2[,]()63
k k x Z ππ
ππ++∈.则正确结论的个数为（ ）
A ．4个
B ． 3个 C. 2个 D ．1个
10.已知直线60(0,0)ax by a b +-=>>被圆2
2
240x y x y +--=截得的弦长为
则ab 的最大值为（ ） A ．
92 B ．9 C. 5
2
D ．4 11.
三棱锥的棱长均为，顶点在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．36π B ．72π C. 144π D ．288π
12.设函数20
()(1)
x x f x f x x ⎧≤=⎨
->⎩，则函数()()g x f x x =-的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C.3 D ．4
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量a 是单位向量，向量(2,23)b =，若(2)a a b ⊥+，则a b ，的夹角为___________.
14.已知变量x y ，满足202300x y x y x -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为__________.
15.已知函数()4ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为___________.
16.设抛物线2
2y x =的焦点为F ，过F 的直线交该抛物线与A B 、，则||4||AF BF +的最小值为___________.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
已知函数()cos cos 2f x x x x =-，x R ∈. （1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，若()2f A =，4
C π
=
，
2c =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值.
18. （本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的公差2d =，等比数列{}n b 满足11b a =，24b a =，313b a =. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和n S . 19. （本小题满分12分）
某城市要建成宜商、宜居的国际化新城，该城市的东城区、西城区分别引进8个厂家，现对两个区域的16个厂家进行评估，综合得分情况如茎叶图所示.
（1）根据茎叶图判断哪个区域厂家的平均分较高；
（2）规定85分以上（含85分）为优秀厂家，若从该两个区域各选一个优秀厂家，求得分差距不超过5分的概率. 20. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为正方形，AE ⊥平面CDE ，已知
2AE DE ==，F 为线段DE 的中点.
（1）求证：//BE 平面ACF ； （2）求四棱锥E ABCD -的体积. 21. （本小题满分12分） 已知函数21
()2ln ()a f x x a x a R x
-=-
-∈. （1）若函数()f x 在2x =时取得极值，求实数a 的值；
（2）若()0f x ≥对任意[1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已知AB 是圆O 的直径，点D 是圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线，交AB 的延长线与点C ，过点C 作AC 的垂线，交AD 的延长线与点E
.
（1）求证：CDE ∆为等腰三角形； （2）若2AD =，
1
2
BC CE =，求圆O 的面积. 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合，若曲线C 的
极坐标方程为6cos 2sin ρθθ=+，直线l
的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.
（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；
（2）设点(1,2)Q ，直线l 与曲线C 交于A B 、两点，求||||QA QB 的值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21||2|f x x x =--+. （1）求不等式()0f x >的解集；
（2）若存在0x R ∈，使得20()24f x a a +<，求实数a 的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:ADCDD 6-10:BCBBA 11、12：CB 二、填空题
13.
23π 14. 4 15.340x y +-= 16.92
三、解答题
17.解：（1
）∵()cos cos 2f x x x x =-，x R ∈， ∴()2sin(2)6
f x x π
=-，
由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
，k Z ∈，解得6
3
k x k π
π
ππ-
≤≤+
，k Z ∈.
∴函数()f x 的单调递增区间是[]63
k k π
π
ππ-
+，，k Z ∈.
（1）∵在ABC ∆中，()2f A =，4
C π
=，2c =，
∴2sin(2)26
A π
-
=，解得3
A k π
π=+
，k Z ∈.
又0A π<<， ∴3
A π
=
.
依据正弦定理，有
sin
sin
3
4
a c π
π
=
，解得a =.
∴5
12
B A
C ππ=--=
，
得3(1)221n a n n =+-⨯=+.2 （2）设等比数列{}n b 的公比为q ，则24
11
3b a q b a =
==，所以3n n b =. 于是3(13)3(31)132
n n
n S ⨯-=
=--. 19.解：（1）东城区的平均分较高. （2）从两个区域各选一个优秀厂家， 则所有的基本事件共15种，
满足得分差距不超过5的事件：
（88,85），（88,85），（89,85），（89,84），（89,84），（93,94），（93,94），（94,94），（94,94）共9种.
所以满足条件的概率为
3
5
. 20.解：（1）连结BD 和AC 交于O ，连结OF ，
∵ABCD 为正方形，∴O 为BD 中点，∵F 为DE 中点， ∴//OF BE .
∵BE ⊄平面ACF ，OF ⊂平面ACF ， ∴//BE 平面ACF .
（2）作EG AD ⊥于G .
∵AE ⊥平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，∴AE CD ⊥， ∵ABCD 为正方形，∴CD AD ⊥，∵AE AD A =，AD AE ⊂，平面DAE ，
∴CD ⊥平面DAE ， ∴CD EG ⊥，∵AD
CD D =，∴EG ⊥平面ABCD ，
∵AE ⊥平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，∴AE DE ⊥，
∵2AE DE ==，∴AD =EG =.
∴四棱锥E ABCD -的体积2
1
133ABCD
V S EG =⨯=⨯=21.解：（1）2
212'()1a a f x x x -=+-，依题意有：'(2)0f =，即21
104
a a -+-=， 解得：3
2
a =
. 检验：当3
2
a =时，2222
2332(1)(2)'()1x x x x f x x x x x -+--=+-==. 此时，函数()f x 在(1,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，满足在2x =时取得极值.
综上32
a =
. （2）依题意：()0f x ≥对任意[1,)x ∈+∞恒成立等价转化为min ()0f x ≥在[1,)x ∈+∞恒成立.
因为2222
2122(21)((21))(1)
'()1a a x ax a x a x f x x x x x
--+----=+-==， 令'()0f x =得：121x a =-，21x =.
①当211a -≤即1a ≤时，函数'()0f x ≥在[1,)+∞恒成立，则()f x 在[1,)+∞单调递增， 于是min ()(1)220f x f a ==-≥，解得1a ≤，此时1a ≤；
②当211a ->即1a >时，函数()f x 在[1,21]a -单调递减，在[21,)a -+∞单调递增， 于是min ()(21)(1)220f x f a f a =-<=-<，不合题意，此时a ∈Φ. 综上所述，实数a 的取值范围是1a ≤. 22.解：（1）连接线段DB ，因为DC 为O 的切线，所以DAB BDC ∠=∠.
又因为AB 为
O 的直径，BD AE ⊥，
所以90CDE CDB DAB AEC ∠+∠=∠+∠=， 所以CDE AEC ∠=∠， 从而CDE ∆为等腰三角形.
（2）由（1）知CD CE =，因为DC 为O 的切线，所以2CD CB CA =.
所以2CE CB CA =，即
1
2
CB CE CE CA ==. 又Rt ABD Rt AEC ∆∆∽，故1
2
CE BD CA AD ==.
因为2AD =，所以1BD =，AB =254
S π
π==
， 所以
O 的面积为
54
π
. 23.解：（1）由6cos 2sin ρθθ=+，得2
6cos 2sin ρρθρθ=+．∴2
2
62x y x y +=+. 即曲线C 的直角坐标方程为2
2
620x y x y +--=.
由12x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去参数t ，得直线l 的普通方程30x y +-=. （2）由（1）知直线l
的参数方程为穿化为12x y ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
，代入曲线C 的直角坐标方程为22620x y x y +--=，
得2
50t +-=.
由韦达定理，得125t t =-，则12||||||5QA QB t t ==.
24.解：（1）函数3,21()|21||2|31,2213,2
x x f x x x x x x x ⎧
⎪-+<-⎪
⎪
=--+=---≤≤⎨⎪
⎪
->⎪⎩，令()0f x =，求得13x =-，
或3x =.
故不等式()0f x >的解集为1
{|3
x x <
或3}x >. （2）若存在0x R ∈，使得20()24f x a a +<，即20()42f x a a <-有解. 由（1）可得()f x 的最小值为115()31222f =--=-，故25
422
a a -<-， 求得15
22
a -<<-.。