北京市丰台区2016届高三上学期期末联考理数试题解析(解析版)

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.复数(1i)(1i)a ++是实数，则实数a 等于（ ） A.2 B.1 C.0 D.-1
【答案】D. 【解析】
试题分析：(1)(1)(1)(1)i ai a a i ++=-++，若是实数，则10a +=，∴1a =-. 考点：复数乘除和乘方．
2.“20x >”是“0x >”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 【答案】B. 【解析】
试题分析：因为由20x >解得：0x >或0x <，∴“0x >或0x <”是“0x >”的必要而不充分条件. 考点：充分必要条件． 3.已知数列{}n a 中，111
1,1n n
a a a +==+，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是（ ）
A.2014≤n
B.2016n ≤
C.2015≤n
D.2017n ≤ A.2014≤n B.2016n ≤ C.2015≤n D.）2017n ≤
【答案】C. 【解析】
试题分析：该数列的第2016项，即2015n =，是，20162015
1
11a a =++，2016n =，否，∴判断框内的条
件是2015n ≤.
考点：算法与程序框图．
4.若点P 为曲线1cos 1sin x y θ
θ=+⎧⎨=+⎩
（θ为参数）上一点，则点P 与坐标原点的最短距离为（ ）
1
D.2 【答案】A. 【解析】
试题分析：222||(1cos )(1sin )32(sin cos )3)4
OP π
θθθθθ=+++=++=++，
所以 2
||OP
的最小值为：3-，即||OP
1=-.
考点：曲线参数方程． 5.
函数()=sin 22f x x x 在区间[0,]π上的零点之和是（ ）
A.
23π B.712π C.76π D.43
π
【答案】C. 【解析】
试题分析：()sin 222sin(2)3
f x x x x π
==+
，[0,]x π∈，
令
()0
f x =，得：
23
x π
π
+
=或
223
x π
π
+
=，即
3x π=
或
56x π=，所以零点之和是57
366
πππ+=.
考点：三角函数的图象和性质． 6.若2
1
2x a dx =
⎰
，2
1
b xdx =⎰，2
21
log c xdx =⎰，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A.c b a <<
B.b c a <<
C.c a b << D/a b c << 【答案】A. 【解析】 试题分析：2
211
222|2ln 2ln 2x x
a dx =
==>⎰
，222
1113|22
b xdx x ===⎰，∴b a <，排除C ，D ，
由图象可知：2
21
log c xdx =
⎰
表示的面积最小，故c b a <<.
考点：定积分的性质．
7.若F （c,0）为椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点，椭圆C 与直线1x y
a b
+=交于A,B 两点，线段
AB 的中点在直线x c =上，则椭圆的离心率为（ ）
B.12
【答案】B. 【解析】
试题分析：∵直线1x y
a b
+=在x,y 轴上的截距分别为（a,0）,(0,b),所以A （a ，0）
，B （0,b ） 又线段AB 的中点在直线x c =上，所以2a c =即1
2
c e a ==
考点：椭圆的标准方程． 8.在下列命题中：
①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等； ②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等； ③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等； ④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等. 其中真命题的个数为（ ）
A.1
B.2 C3 D.4 【答案】D. 【解析】
试题分析：①②都对，平面为：正方体三个相邻平面的面对角线构成的平面； ③④都对，直线为：正方体的体对角线. 考点：立体几何综合．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分.把答案填在题中的横线上．） 9.在71)x -（2的展开式中，2x 的系数等于_____.（用数字作答） 【答案】84-. 【解析】
试题分析：7
(21)x -的通项公式为717(2)(1)r r r r T C x -+=-，令725r r -=⇒=， 所以522267284T C x x =-⨯=-，故2x 的系数等于-84.
考点：二项式定理.
10.若,x y 的满足30,
30,1.x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≥⎩
则2z x y =-的最小值为 .
【答案】2-. 【解析】
试题分析：作可行域：
A(1，4),B(1，2).当目标函数线过点A 时，目标函数值最小，为2142z =⨯-=- 考点：线性规划.
11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7=42S ,则237a a a ++= . 【答案】18. 【解析】
试题分析：等差数列{}n a 中，17
77422
a a S +=⨯=，∴1712a a +=，∴46a =， ∴2374318a a a a ++== 考点：等差数列.
12.在ABC ∆中，3,1==BC AC ,点,M N 是线段AB 上的动点，则CM CN ⋅的最大值为_______.
【答案】3. 【解析】
试题分析：cos CM CN CM CN MCN ⋅=⋅⋅∠，所以当M,N 重合时，cos 1MCN ∠=，
CM CN ⋅最大，为2CM ， 又设()(1)CM CA AM CA AB CA CB CA CA CB λλλλ=+=+=+-=-+
所以222(1)32(1)CM CB CA λλλλ=-++-⋅，显然当1λ=时，2CM 最大为3，故CM CN ⋅的最大值为3.
考点：数量积的应用.
13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .
俯视图
侧视图
主视图
【答案】
163
. 【解析】
试题分析：该几何体是正方体削去两个三棱锥得到的组合体， 所以
31116
22222323
V =-⨯⨯⨯⨯⨯=
考点：空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图.
14.设函数(1),
()ln()(1).
x a x f x x a x ⎧-<=⎨+≥⎩e 其中1a >-.
①当0a =时，若()0f x =，则x =__________；
②若()f x 在），（∞+∞-上是单调递增函数，则a 的取值范围________.
【答案】1，[1,)e -+∞.
考点：导数的综合运用.
三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题13分）
如图，在ABC ∆中，=12AB ，AC ，BC ，点D 在边BC 上，且60ADC ∠=. （1）求cos C ； （2）求线段AD 的长.
【答案】（1）1
3
；（2）8AD =. 【解析】
试题分析：（1）利用余弦定理的变式；（2）在ACD ∆中利用正弦定理即可求解.
试题解析：（1）根据余弦定理：222cos 2AC BC AB C AC BC +-=⋅13==；
（2）因为0C π<<，
所以sin 0C >，sin C ===
，根据正弦定理得：sin sin AD AC
C ADC =
∠，
sin sin AC C
AD ADC
⋅=
∠8=．
考点：正余弦定理解三角形． 16.（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，E 是AB 的中点，AB=AD=PA=PB=2，BC=1，
（1）求证：CF ∥平面PAB ； （2）求证：PE ⊥平面ABCD ； (3)求二面角B-PA-C 的余弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3
. 1212cos |
|||||n n n n θ⋅==⋅二面角B PA C --
余弦值为：1212cos ||||||n n n n θ⋅==
⋅
考点：平面法向量的求法空间的角垂直平行．
17.（本小题14分）
随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者.某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者.
（1）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概率
1
P；
（2）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为
3
10
，那么在该创业园区随机
调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率
2
P；
（3）该创业园区的A团队有100位员工，其中有30人是志愿者. 若在A团队随机调查4人，
则其中恰好有1人是志愿者的概率为
3
P. 试根据（1）、（2）中的
1
P和
2
P的值，写出
1
P，
2
P，
3
P的大小关系（只写结果，不用说明理由）.
【答案】（1）
1
2
；（2）0.4116；（3）
132
P P P
>>.
【解析】
试题分析：（1）利用古典概型分析所有基本事件的种数以及符合条件的基本事件的种数，即可求解；（2）利用古典概型分析所有基本事件的种数以及符合条件的基本事件的种数，即可求解；（3）根据所有基本事
件的种数大小即可知
132
P P P
>>.
试题解析：（1）
13
37
14
10
1
2
C C
P
C
⋅
==，所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为
1
2
；（2）
113
24
37
()()0.4116
1010
P C
=⋅=，所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为0.4116；（3）
132
P P P
>>．
考点：古典概型．
18.（本小题13分）
已知函数32
1
()(0)
3
f x ax x a
=+>.
（1）求函数()
y f x
=的极值；
（2）若存在实数0(1,0)
x ∈-，
且012x ≠-
，使得01
()()2
f x f =-，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）函数()y f x =的极大值为224()3f a
a -=； 极小值为(0)0f =；（2）18(,4)(4,6)7
a ∈. 【解析】
试题分析：（1）求导列表，分析导函数的取值情况即可求解；（2）分析函数()f x 图象的大致图形，根据图象列出关于a 的不等式组，即可求解.
试题解析：（1）/2()2f x ax x =+，令/()0f x =得20x =，32
x a
=-
. ∴函数()y f x =的极大值为
32221224
()()()33f a a a a a
-=⋅-+-=；
极小值为(0)0f =；（2）若存在
011(1,)(,0)
22
x ∈---，使得
01()()2f x f =-，则由（1）可知，需要2
122
1,
1(1)()2a a
f f ⎧-<-⎪⎪
⎪->-⎨⎪⎪
-<-⎪⎩
（如图1）或3
122a a -<-<-（如图2）.
（图1） （图2） 于是可得18
(
,4)(4,6)7
a ∈. 考点：导数的运用． 19.（本小题13分）
已知定点(1,0)M 和直线1x =-上的动点(1,)N t -，线段MN 的垂直平分线交直线y t = 于点R ，设点R 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；
（2）直线(0)y kx b k =+≠交x 轴于点C ，交曲线E 于不同的两点,A B ，点B 关于x 轴的对称点为点P.
点C 关于y 轴的对称点为Q ，求证：A ，P ，Q 三点共线.
【答案】（1）；（2）详见解析. 【解析】
试题分析：（1）根据抛物线的定义首先可知动点R 的轨迹为抛物线，再根据条件中数据即可求得其轨迹方程；（2）联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理说明AP AQ k k =.
试题解析：（1）由题意可知：RN RM =，即点R 到直线1x =-和点M 的距离相等.
根据抛物线的定义可知：R 的轨迹为抛物线，其中M 为焦点，设R 的轨迹方程为：2
2y px =，12
p
=，2p =，所以R 的轨迹方程为：24y x =. ；（2）由条件可知(,0)b C k -，则(,0)b Q k
. 联立2
4y kx b y x
=+⎧⎨
=⎩,消去y 得222(24)0k x bk x b +-+=，222(24)416(1)0bk b k bk ∆=--=->.
设112212(,),(,)()A x y B x y x x <，则22(,)P x y -
，12242bk x x k -+=，
1x =，2
x
. 因为 1212AP y y k x x +=
==-
，11110()AQ y k kx b k b kx b x k -+====--
所以 AP AQ k k =,,,A P Q 三点共线 . 考点：抛物线的标准方程及其运用． 20.（本小题13分）
已知数列{}n a 的各项均为正数，满足11a =，1k k i a a a +-=.,1,2,i k k ≤=（3,,1)n -
（1）求证：111,2,3,
,1)k k a a k n +-≥=-（；
（2）若{}n a 是等比数列，求数列{}n a 的通项公式； （3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：
12)1(2
1
-≤≤+n n S n n . 【答案】（1）详见解析；（2）12n n a -=；（3）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据{}n a 递增数列，再根据条件中的不等式递推即可得证；（2）根据数列{}n a 是等比数列
以及1,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=≤=-（即可得证；（3）证明12n n n a -≤≤，累加即可得证
. 试题解析：（1）因为1,1,2,3,
,1)k k i a a a i k k n +-=>≤=-0（，所以数列{}n a 是递增数列，即 231n a a a <<<<，又因为11,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=≥≤=-（，所以 111,2,3,,1)k k a a k n +-≥=-（；（2）因为211a a a -=，所以212a a =；因为{}n a 是等比数列，所以
数列{}n a 的公比为2，因为1,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=≤=-（，所以当=i k 时有1=2k k a a +，这说
明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以12n n a -=；（3）因为11=1a =，22=2a =， 2332a ≤≤，3
442a ≤≤， (1)
2n n n a -≤≤，由上面n 个式子相加，得到：
0121123+2+3+
+2+2+2++2n n n a a a a -≤++++≤1， 化简得 1231))(21)2n n n n a a a a +<++++<-（（，所以12)1(21-≤≤+n n S n n ． 考点：数列的综合运用．
：。