2021学年江苏省扬州市某校高一(上)10月月考数学试卷(有答案)

2021学年江苏省扬州市某校高一（上）10月月考数学试卷
一、选择题
1. 下列说法中，正确的是（ ）
A.很小的实数可以构成集合
B.自然数集N 中最小的数是1
C.空集的元素个数为零
D.任何一个集合必有两个或两个以上的子集
2. 函数y =f(x)的图象与直线x =2的交点有几个（ ）
A.1
B.0
C.0或1
D.1或2
3. 下列所给函数是分段函数的是（ ）
①f(x)={x 2+1,1<x ≤5,2x,x ≤1;
②f(x)={x +1,x ∈R ,x 2,x ≥2;
③f(x)={2x +3,1≤x ≤5,x 2,x ≤1;
④f(x)={x 2+3,x <0,x −1,x ≥5.
A.①②
B.①④
C.②④
D.③④
4. 下列各组函数中，为同一函数的是（ ）
A.f(x)=|x|，g(x)=√x 2
B.f(x)=2x ，g(x)=2(x +1)
C.f(x)=√(−x)2，g(x)=(√−x)2
D.f(x)=x 2+x x+1，g(x)=x
5. 已知函数y =f(x +2)的定义域是[−2,5)，则y =f(3x −1)的定义域为（ ）
A.[−7,14)
B.(−7,14]
C.(13,83]
D.[13,83)
6. 函数y =√1−x +√x 的定义域为（ ）
A.{x|x ≤1}
B.{x|x ≥0}
C.{x|x ≥1或x ≤0}
D.{x|0≤x ≤1}
7. 已知函数f(x)=2x+1x−1，其定义域是[−8, −4)，则下列说法正确的是（ ）
A.f(x)有最大值53，无最小值
B.f(x)有最大值53，最小值75
C.f(x)有最大值75，无最小值
D.f(x)有最大值2，最小值75
8. 如果f(x)是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是( )
A.y =x +f(x)
B.y =xf(x)
C.y =x 2+f(x)
D.y =x 2f(x)
9. 定义当一个n 位数的所有数位上数字的n 次方和等于这个数本身，这个数就叫自恋数.已知集合A 表示一位正整数的自恋数，B ={x ∈Z |−3<x <4}，则A ∩B 的真子集个数为( )
A.3
B.4
C.7
D.8
10. 设f(x)为奇函数，且当x ≥0时，f(x)=e x −1，则当x <0时，f(x)=( )
A.e −x −1
B.e −x +1
C.−e −x −1
D.−e −x +1
11. 已知函数f(x)=x 2+ax 是偶函数，则当x ∈[−1, 2]时，f(x)的值域是( )
A.[1, 4]
B.[0, 4]
C.[−4, 4]
D.[0, 2]
12. 若函数y =|x|(1−x)在区间A 上是增函数，那么区间A 最大为（ ）
A.(−∞, 0)
B.[0,12]
C.[0, +∞)
D.(12，+∞) 二、填空题
已知f(x)为定义在R 上的奇函数，并且在(0,+∞)内是增函数，f(−3)=0，则(x −
1)f(x)<0的解集为________.
三、解答题
已知函数f(x)是一次函数，且f[f(x)]=9x −8，求函数f(x)的解析式．
已知二次函数f(x)=x 2+bx +c ，x ∈R 的图象经过点(0,5).
(1)若函数f(x)的对称轴是x =1，求出f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)是偶函数，求出f(x)的递减区间.
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=x2+2x.
(1)求出函数f(x)的解析式；
(2)写出函数f(x)的单调区间.
，且此函数图象过点(1, 10)．
已知函数f(x)=x+m
x
(1)证明函数f(x)是奇函数；
(2)证明函数f(x)在[3, +∞)上的单调递增．
已知二次函数f(x)满足f(x+1)−f(x)=2x，且f(0)=1．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若对于任意的x∈R，f(x)>x+m恒成立，求实数m的取值范围.
是奇函数.
已知定义域为R的函数f(x)=b−2x
2x+a
(1)求出f(x)的解析式，并判断f(x)在R上的单调性（不证明）；
(2)若对于任意的t∈[−1,2]，不等式f(t2−2t)+f(2t2−k)≥0恒成立，求实数k的取值范围.
参考答案与试题解析
2021学年江苏省扬州市某校高一（上）10月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
元素与集合关系的判断
集合的含义与表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对于A，很小的实数不确定，不能构成集合，故A不正确；
对于B，自然数集N中最小的数是0，故B不正确；
对于C，空集不含有任何元素，故C正确；
对于D，空集只有1个子集，故D不正确．
故选C．
2.
【答案】
C
【考点】
函数的概念
【解析】
利用函数的定义，直接得到选项．
【解答】
解：由函数的定义，可知函数y=f(x)的图象与直线x=2的交点，当x=2在函数的定义域时，有1个交点；
当x=2不在函数的定义域时有0个交点．
故选C．
3.
【答案】
B
【考点】
函数的概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对于②，取x=2，得f(2)=3或4，
对于③，取x=1，f(1)=5或1，
所以②③都不合题意．
故选B.
4.
【答案】
A
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A 中两函数定义域相同(都为R )，对应关系相同，是同一函数；
B 中对应关系不同，不是同一函数；
C 中定义域不同，f(x)定义域为R ，g(x)定义域为(−∞,0]，不是同一函数；
D 中定义域不同，f(x)定义域为{x|x ≠−1}，g(x)定义域为R ，不是同一函数． 故选A .
5.
【答案】
D
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为函数y =f(x +2)的定义域是[−2,5)，
所以−2≤x <5，
所以0≤x +2<7，
所以函数f(x)的定义域为[0,7)．
对于函数y =f(3x −1)，0≤3x −1<7，
解得13≤x <83，
故y =f(3x −1)的定义域是[13,83
)． 故选D ．
6.
【答案】
D
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
保证两个根式都有意义的自变量x 的集合为函数的定义域．
【解答】
解：要使原函数有意义，则需{1−x ≥0，x ≥0，
解得0≤x ≤1，
∴ 原函数定义域为[0, 1].
故选D .
7.
【答案】
A
【考点】
函数单调性的性质与判断
函数的最值及其几何意义
【解析】
将f(x)化为2+3
x−1
，判断在[−8, −4)的单调性，即可得到最值．【解答】
解：函数f(x)=2x+1
x−1=2+3
x−1
，
即有f(x)在[−8, −4)单调递减，
则x=−8处取得最大值，且为5
3
，
由x=−4取不到，即最小值取不到.
故选A.
8.
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的判断
【解析】
逐个计算g(−x)，观察与g(x)的关系得出答案．
【解答】
解：∵f(x)是奇函数，∴f(−x)=−f(x)．
对于A，g(−x)=−x+f(−x)=−x−f(x)=−g(x)，
∴y=x+f(x)是奇函数．
对于B，g(−x)=−xf(−x)=xf(x)=g(x)，
∴y=xf(x)是偶函数．
对于C，g(−x)=(−x)2+f(−x)=x2−f(x)，
∴y=x2+f(x)为非奇非偶函数，
对于D，g(−x)=(−x)2f(−x)=−x2f(x)=−g(x)，
∴y=x2f(x)是奇函数．
故选B.
9.
【答案】
C
【考点】
子集与真子集的个数问题
集合的含义与表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：依题意，A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
B={−2，−1，0，1，2，3}，
故A∩B={1，2，3}，故A∩B的真子集个数为23−1=7个 . 故选C.
10.
【答案】
D
【考点】
函数奇偶性的性质
奇函数
【解析】
利用函数为奇函数，将x<0转化为−x>0，再利用当x>0时，f(x)=e x−1，即可求得答案．
【解答】
解：设x<0，则−x>0，
∵当x≥0时，f(x)=e x−1，
∴f(−x)=e−x−1，
又∵函数f(x)是奇函数，
∴f(−x)=−f(x)，
∴f(x)=−f(−x)=−e−x+1，
∴当x<0时，f(x)=−e−x+1．
故选D.
11.
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的值域及其求法
【解析】
首先根据函数是偶函数，求出a的值，得到函数f(x)的解析式，借助于图象可求得f(x)的值域．
【解答】
解：如图：
因为函数f(x)=x2+ax是偶函数，
所以有f(−x)=f(x)，即(−x)2+a(−x)=x2+ax，
所以2ax=0对任意实数恒成立，所以a=0，
则f(x)=x2，当x∈[−1, 2]时，f(x)的值域是[0, 4]．
故选B．
12.
【答案】
B
【考点】
函数的单调性及单调区间
【解析】
先分类讨论去掉绝对值，再结合二次函数的图象求出函数y=|x|(1−x)的单调递增区间即可．
【解答】
解：y=|x|(1−x)={x2−x，x<0，
x−x2，x≥0，
如图所示，
结合二次函数图象可知
函数y=|x|(1−x)的单调递增区间是：[0,1
2
]．
故选B.
二、填空题
【答案】
(−3,0)∪(1,3)
【考点】
其他不等式的解法
奇偶性与单调性的综合
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵f(x)是R上的奇函数，且在(0,+∞)内是增函数，∴在(−∞,0)内f(x)也是增函数.
又∵f(−3)=0，
∴f(3)=0，
∴当x∈(−∞,−3)∪(0,3)时，f(x)<0；
当x∈(−3,0)∪(3,+∞)时，f(x)>0，
∵(x−1)⋅f(x)<0，
∴{x−1<0，
f(x)>0，或{
x−1>0，
f(x)<0，
解得−3<x<0或1<x<3，
∴不等式的解集是(−3,0)∪(1,3).
故答案为：(−3,0)∪(1,3).
三、解答题
【答案】
解：设f(x)=ax+b(a≠0)，
则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b
=a2x+ab+b=9x−8，
∴a2=9且ab+b=−8，
解得，a=3，b=−2或a=−3，b=4，
∴一次函数的解析式为：f(x)=3x−2或f(x)=−3x+4．
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
设f(x)=ax+b(a≠0)，由f[f(x)]=9x+8．比较对应项系数可得方程组，解出即得a，b．从而得到函数解析式．
【解答】
解：设f(x)=ax+b(a≠0)，
则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b
=a2x+ab+b=9x−8，
∴a2=9且ab+b=−8，
解得，a=3，b=−2或a=−3，b=4，
∴一次函数的解析式为：f(x)=3x−2或f(x)=−3x+4．
【答案】
解：(1)由已知条件，得c=5.
又因为函数f(x)的对称轴是x=1，
=1，
所以−b
2
解得b=−2，
则f(x)的解析式为f(x)=x2−2x+5.
(2)由条件可得c=5.
又因为函数f(x)是偶函数，
所以f(−x)=f(x)，
即(−x)2+b(−x)+5=x2+bx+5，
得2bx=0，
由于x∈R，
所以b=0，
则f(x)=x2+5，
所以函数f(x)的递减区间为(−∞,0).
【考点】
奇偶性与单调性的综合
函数奇偶性的性质
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由已知条件，得c=5.
又因为函数f(x)的对称轴是x=1，
所以−b
2
=1，
解得b=−2，
则f(x)的解析式为f(x)=x2−2x+5.
(2)由条件可得c=5.
又因为函数f(x)是偶函数，
所以f(−x)=f(x)，
即(−x)2+b(−x)+5=x2+bx+5，得2bx=0，
由于x∈R，
所以b=0，
则f(x)=x2+5，
所以函数f(x)的递减区间为(−∞,0). 【答案】
解：(1)设x>0，则−x<0，
∴f(−x)=x2−2x.
∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(−x)=−f(x)，
即f(x)=−x2+2x.
∴f(x)={x2+2x, x<0，
0, x=0,
−x2+2x, x>0.
(2)根据题意画出函数图形，如图所示，
∴f(x)的单调减区间为(−∞,−1),(1,+∞)，单调增区间为(−1,1).
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的单调性及单调区间
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设x>0，则−x<0，∴f(−x)=x2−2x.
∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(−x)=−f(x)，
即f(x)=−x2+2x.
∴f(x)={x2+2x, x<0，
0, x=0,
−x2+2x, x>0.
(2)根据题意画出函数图形，如图所示，
∴f(x)的单调减区间为(−∞,−1),(1,+∞)，单调增区间为(−1,1).
【答案】
证明：(1)∵函数图象过点(1, 10),
∴1+m=10,
∴m=9，
∴f(x)=x+9
x
，
∵f(−x)=−x−9
x =−(x+9
x
)=−f(x)，
∴f(x)为奇函数；
(2)∵f(x)=x+9
x
，
任取x1，x2∈[3，+∞)且x1<x2，
f(x1)−f(x2)=x1+9
x1−x2−9
x2
，
=x1−x2+9(x2−x1)
x1x2
=x1−x2−9(x1−x2)
x1x2
=(x1−x2)(1−
9 x1x2
)
∵3<x1<x2，
∴x1−x2<0，x1x2>9，
∴1−9
x1x2
>0，
∴f(x1)−f(x2)<0，
∴f(x1)<f(x2)<0，
∴f(x)在[3，+∞)上单调递增.
【考点】
函数奇偶性的判断
函数单调性的判断与证明
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
（2）先看定义域关于原点对称，再看f(−x)与f(x)的关系判断．（3）用导数法或定义判断即可．
【解答】
证明：(1)∵函数图象过点(1, 10),
∴1+m=10,
∴m=9，
∴f(x)=x+9
x
，
∵f(−x)=−x−9
x =−(x+9
x
)=−f(x)，
∴f(x)为奇函数；
(2)∵f(x)=x+9
x
，
任取x1，x2∈[3，+∞)且x1<x2，
f(x1)−f(x2)=x1+9
x1−x2−9
x2
，
=x1−x2+9(x2−x1)
x1x2
=x1−x2−9(x1−x2)
x1x2
=(x1−x2)(1−
9 x1x2
)
∵3<x1<x2，
∴x1−x2<0，x1x2>9，
∴1−9
x1x2
>0，
∴f(x1)−f(x2)<0，
∴f(x1)<f(x2)<0，
∴f(x)在[3，+∞)上单调递增.
【答案】
解：(1)设f(x)=ax 2+bx +c ，
∴ f(x +1)−f(x)=2ax +a +b =2x ，
则有{2a =2，a +b =0，
解得{
a =1，
b =−1， 由f(0)=1，得
c =1，
∴ f(x)=x 2−x +1.
(2)依题意，f(x)>x +m 对于x ∈R 恒成立，
即f(x)−x >m 对于x ∈R 恒成立，
由(1)得f(x)=x 2−x +1，
∴ x 2−2x +1>m 对于x ∈R 恒成立，
即(x −1)2>m 对于x ∈R 恒成立，
∵ (x −1)2在x ∈R 的最小值为0，
∴ m <0，
即m 的取值范围是(−∞,0).
【考点】
函数恒成立问题
二次函数在闭区间上的最值
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
（1）设出f(x)=ax 2+bx +c ，f(x +1)=a(x +1)2+b(x +1)+c ，根据已知条件即可求出a =1，b =−1，c =1，从而得到f(x)=x 2−x +1；
（2）求出ℎ(x)=−x 2+x +t −1，容易得到x =12时ℎ(x)取到最大值t −34=14，从而得到t =1．
【解答】
解：(1)设f(x)=ax 2+bx +c ，
∴ f(x +1)−f(x)=2ax +a +b =2x ，
则有{2a =2，a +b =0，
解得{a =1，b =−1，
由f(0)=1，得c =1，
∴ f(x)=x 2−x +1.
(2)依题意，f(x)>x +m 对于x ∈R 恒成立，
即f(x)−x >m 对于x ∈R 恒成立，
由(1)得f(x)=x 2−x +1，
∴ x 2−2x +1>m 对于x ∈R 恒成立， 即(x −1)2>m 对于x ∈R 恒成立，
∵ (x −1)2在x ∈R 的最小值为0，
∴ m <0，
即m 的取值范围是(−∞,0).
【答案】
解：(1)f(−x)=
b−2−x 2−x +a =2x (b−2−x )2x (2−x +a) =b⋅2x −1
a⋅2x +1=−f(x)=2x −b
2x +a ，
∴ a =1,b =1，
∴ f(x)=1−2x
2x +1，
∴ f(x)在R 上单调递减.
(2)∵ t ∈[−1,2]，f(t 2−2t)+f(2t 2−k)≥0， ∴ f(2t −t 2)≤f(2t 2−k)，
∴ 2t −t 2≥2t 2−k ，
∴ k ≥3t 2−2t =3(t −13)2−13， ∴ 当t =2时，3(t −13)2−13取最大值8， ∴ k ≥8，
即k 的取值范围为[8,+∞).
【考点】
函数单调性的性质与判断
函数的最值及其几何意义
函数单调性的判断与证明
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)f(−x)=
b−2−x 2−x +a =2x (b−2−x )2x (2−x +a) =b⋅2x −1a⋅2x +1=−f(x)=2x −b
2x +a ，
∴ a =1,b =1，
∴ f(x)=1−2x 2x +1，
∴ f(x)在R 上单调递减.
(2)∵ t ∈[−1,2]，f(t 2−2t)+f(2t 2−k)≥0， ∴ f(2t −t 2)≤f(2t 2−k)，
∴ 2t −t 2≥2t 2−k ，
∴ k ≥3t 2−2t =3(t −13)2−13，
∴ 当t =2时，3(t −13)2−13
取最大值8， ∴ k ≥8，
即k 的取值范围为[8,+∞).。