寒假07-高一数学拓展版-解三角形2-课后作业教师版

1．在△ABC 中，
,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。

答案：4 【解析】
,,sin sin sin sin sin sin AC BC AB AC BC AB
B A
C B A C
+===+AC BC + 2(62)(sin sin )4(62)sin cos
22
A B A B
A B +-=-+=- max 4cos 4,()42
A B
AC BC -=≤+=
2．若2,2AB AC BC ==，则ABC S ∆的最大值 。

答案：22 3．ABC ∆中，,3,3
A BC π
=
=则ABC ∆的周长为（ ） A ．43sin()33
B π
++
B ．43sin()36
B π
++
C ．6sin()33
B π
++
D ．6sin()36
B π
+
+
答案：D
4．设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3
cos cos 5
a B
b A
c -=． （1）求tan cot A B 的值； （2）求tan()A B -的最大值． 答案：（1）tan cot 4A B =；（2）
34
【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5
a B
b A
c -= 可得3333
sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555
A B B A C A B A B A B -=
=+=+ 即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =；
（2）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>
2
tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --=
==+++≤3
4
当且仅当1
4tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立，
解三角形2
故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34
. 5．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上,行驶5km 后到达B 处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角为
8°,求此山的高度CD .
答案：在△ABC 中, ∠15A =,∠251510A =-=， 根据正弦定理,
BC AB
sinA sinC
=
， ()5157.452410ABsinA sin BC km sinC sin ==≈， ()81047CD BC tan DBC BC tan m =⋅∠≈⋅≈.
6．某县一个中学计划把一块边长为20米的等边三角形ABC 的边角地辟为植物新品种试验
基地.如图，线段DE 把基地分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上. （1）设AD x =米（10x ≥），ED y =米，试写出用x 表示y 的函数关系式；
（2）如果DE 是灌输输水管道的位置，为了节约，则希望它最短，DE 的位置应该在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的位置又应该在哪里？说明理由. 答案：（1）由1
2
ADE
ABC S S =
，
得213
602028
xAEsin ︒=⨯， 所以200
AE x
=
. 在△ADE 中，由余弦定理得
2222DE AD AE AD AE cosA =+-⋅⋅，
解得()22
4000
2001020y x x x =
+
-≤≤. （2）令[]2
100,400t x =∈，考察函数()4000
200f t t t
=+-，在[]100,400t ∈的单调性，
()f t 在[]100,200上单调递减，在[]200,400上单调递增，
因此()()min 200200f t f ==.
()()(){}()()max max 100,400100400300f t f f f f ====.
当DE 作为输水管道时，取x =，此时对应的min y =
当DE 作为参观路线时，取10x =或20x =，此时对应的max y =.
7．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D 为垂足，若CD=6cm ，AD ：DB=1：2，求AD 的值。

答案：3
cm
8．在△ABC 中，已知
=
，且cos （A ﹣B ）+cosC=1﹣cos2C ．
（1）试确定△ ABC 的形状； （2）求
的范围．
答案：（1）由
=
，可得cos2C+cosC=1﹣cos （A ﹣B ）
得cosC+cos （A ﹣B ）=1﹣cos2C ，cos （A ﹣B ）﹣cos （A+B ）=2sin 2
C ，
即sinAsinB=sin 2C ，根据正弦定理，ab=c 2
，①，
又由正弦定理及（b+a ）（sinB ﹣sinA ）=asinB 可知b 2﹣a 2=ab ，②，由①②得b 2=a 2+c 2
， 所以△ABC 是直角三角形，且B=90°； （2）由正弦定理化简=
=sinA+sinC=sinA+cosA=sin （A+45°），
∵≤sin（A+45°）≤1，A ∈（0，）即1＜
sin （A+45°）
，
则
的取值范围是（1，
]．
9．已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tanA=
（1）求角A 的大小； （2）当a=
时，求c 2
+b 2
的最大值，并判断此时△ABC 的形状．
答案：（1）锐角三角形ABC 中，tanA=
，
由余弦定理：c 2+b 2﹣a 2
=cosA•2bc 可得：，从而解得：sinA=，
由于A 为锐角，可解得：A=60°．
（2）由（1）及余弦定理可得：3=b2+c2﹣2bc×，可得：3=b2+c2﹣bc≥（当且仅当
b=c时等号成立），解得c2+b2的最大值是：6．
此时，b=c，故△ABC的形状为等腰三角形．
10．如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC．小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路AD，DC，且拐弯处的转角为120°．已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长
答案：。