学校高一(下)周末数学(一外实验班)培训资料(学生卷)

专题一：等比数列
（一）等比数列及性质
2
{a n }等比⇔{a n }n n (A≠0，q≠0)
3 “2A=a+b”是“a 、A ”的充要条件；“G 2=ab”是“a 、G 、b 成等比数列”的必要非充分条
⑴101a q >⎧⎨
>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩⇔{a n }单增；⑵1001a q >⎧⎨<<⎩或10
1
a q <⎧⎨>⎩⇔{a n }
单减；
n }是摆动数列。

⑴与首尾等距的两项的积彼此相等； a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2
=…=a k a n-k+1=…
n 成的新数列成等比数列。

（部分项） ⑷{a n }等比(公比q)，则11{
}()n a q
公比、{}()n a q 公比、{ka n (k≠0)}(公比q)、{}(*)k
n
a k N ∈ ()k q 公比成等比；
1°.s m ,s 2m -s m , s 3m -s 2m , s 4m -s 3m ,…成等比（公比q m ）；（注意：此性质只有每一项非零才成立） 2°.a 1+a 4+a 7,a 2+a 5+a 8,a 3+a 6+a 9,a 4+a 7+a 10,…成等比（公比q ）； ……………
⑹“等长片断之积”成等比：
1°.a i a i+1a i+2…a i+m-1，a i+m a i+m+1…a i+2m-1，a i+2m a i+2m+1…a i+3m ，…成等比数列（公比2
m q ）； 2°.a 1a 2a 3，a 2a 3a 4，a 3a 4a 5，a 4a 5a 6，…成等比数列（公比q 3）；
3°.a 1a 4a 7，a 2a 5a 8，a 3a 6a 9，a 4a 7a 10，…成等比数列（公比q 3
）；… 一、等比数列的判定与证明
例1．已知数列{a n }，S n 它的前n 项和，且*
1142(),1n n S a n N a +=+∈=。

1231,,,,,n n a a a a a -
（1）设*
12()n n n b a a n N +=-∈，求证：数列{b n }是等比数列；
（2）设2n
n n
a C =，求证：数列{}n C 是等差数列。

变式练习：设,R x ∈记不超过x 的最大整数为[x ],令{x }=x -[x ]，则{215+}，[2
1
5+], 2
1
5+是（ ） A.等差数列但不是等比数列 B.等比数列但不是等差数列
C.既是等差数列又是等比数列
D.既不是等差数列也不是等比数列
二、等比数列的性质的应用（基本运算与简便运算）
例2．⑴等比数列{a n }中，a 2a 3a 4+a 6a 7a 8+32
5a (a 3+a 7)+8=0，求a 3+a 7；
变式练习：1){a n }等比，a n >0，a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25，求a 3+a 5值；
2）等比数列{a n }中，各项均为正数，且610354841,4a a a a a a ⋅+⋅=⋅=，求48a a +。

⑵{a n }等比，a 4a 7=-512，a 3+a 8=124，且公比为整数，求a 10；
⑶各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为n S ，若32,14n n S S ==，则4n S 等于（ ） A.80 B.30 C.26 D.16
⑷{a n }等比，公比q=2，且a 1a 2…a 30=230，求a 3a 6a 9…a 30值；
⑸设{}{},n n a b 均为正项等比数列，将它们的前n 项之积分别记为,n n A B ，若22n n
n n
A B -=，
则
5
5
a b 的值为（ ） .32A .64B .256C .512D
⑹在等比数列{a n }中，前n 项和为2，紧接着后面的2n 项和为12，再紧接着后面的3n 项和S 是多少？
⑺设{a n }是公比为q 的等比数列，其前n 项的积为n T ，并且满足条件
991991001001
1,10,
01
a a a a a ->-><-。

给出下列结论：①01q <<;②1981T <;③991011a a <;④使
1n T <成立的最小自然数n 等于199。

其中正确结论的全部序号是_______________________________。

三、设数技巧
三个数成等比，且积一定时，设
q
a
，a ，aq ； 四个数成等比，且积一定时，公比大于0，设
)(,,,2
33
q aq aq a a 公比；…
例3．7个实数排成一行，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且奇数项的和与偶数面的积的差为42，首尾两项及中间项的和是27，求中间项。

练习：有4个数，前3个数成等差数列，后三个数成等比数列，第1个数与第4个数之和为16，第2个数与第3个数之和为12，求这4个数。

四、可化为等比数列的递推数列 例4．已知数列{}n a 满足11
,2
a =且*131()n n a a n N +=+∈，求n a 。

变式练习：（09重庆卷理）设12a =，121n n a a +=+，21
n n n a b a +=-，*
n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b =。

（二）等比数列的前n 项和公式及应用
知识梳理
1．等比数列的前n 项和公式
等比数列{a n }，首项a 1，公比q ，第n 项a n ，前n 项和s n 。

前n
（怎么推导？）
说明：1°．s n =111(1)11n na q a a q q q =⎧⎪
⎨-⎪--⎩
2°．公式的选择：1111,,,;,,,.2,,,,""
,1 1.n n n n n a q n s a a q s a a n q s q q q =≠⎧⎪
⎨⎪⎩
（）已知求用公式一已知求用公式二（）中知三求二（由公式一、公式二及通项公式）（3）公比为参数时求和问题注意讨论与 3°．s n 公式一应用还常计算q
a
-11与q n 等整体，实施整体代换，简化计算！
2．等比数列的前n 项和性质
（1）{a n }等比，s
n =a 1+a 2+a 3+a 4+…+a n （n 为偶数时）
（大题要证）
（2）{a n }等比，公比为q
（大题要证）
能力巩固
一、等比数列前n 项和公式求和：（注意公比q 含参时讨论“q=1与q≠1”）
例1．⑴设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列，求数列{a n }的公比。

变式练习：设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，求q 值。

二、等比数列前n 项和的整体运算技巧及简便运算：（常把q
a -11
及q n 整体代换简化计算（作商）） 例2．⑴等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项中，数值最大的一项是54，若该数列前n 项之和为n S ，且280,6560n n S S ==，求a 和q ；
⑵等比数列{a n }的项数为偶数，且a n >0，它的所有项之和等于它的偶数项之和的4倍，第二项与第四项之积是第三项与第四项之和的9倍。

①求a 1与q ；②问{lga n }的前几项和最大？
⑶设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和，证明：
0.50.52
0.51log log log 2
n n n S S S +++>。

变式练习：设数列{a n }的前n 项和S n =3n -C ，则C=1是{a n }成等比的（ ） A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件
（4）已知{}n a 是首项为2，公比为1
2
的等比数列，n S 为它的前n 项和。

是否存在自然数c 和k ，使得
12k k S c
S c
+->-成立。

三、等差等比数列的混合与综合问题
例3．⑴已知数列-1，a 1，a 2，-4成等差数列，-1，b 1，b 2，b 3，-4成等比数列，求2
1
2b a a -的值。

⑵a 、b 为不相等的正实数，且a ，x ，y ，b 成等差数列，a ，m ，n ，b 成等比数列，比较x+y 与m+n 的大小。

⑶设x ，a 1，a 2，y 成等差，x ，b 1，b 2，y 成等比，求2
12
21)(b b a a +的取值范围。

⑷已知a ，x ，b 和b ，y ，c 分别成等差数列，而a ，b ，c 成等比数列，xy≠0，求y
c
x a +的值。

例4．设数列{}n a 的首项112
a =-
，前n 项和为n S ，且对任意的*
,n m N ∈都有(35)(35)n m S n n S m m -=-，
数列{}n a 中部分项{}
*
()k b a k N ∈成等比数列，且122,4b b ==。

求数列{}n a 与{}n b 的通项公式。

例5．n 2个正数排成如下表示的n 行n 列：
a 11，a 12，a 13，a 14，…，a 1n ， a 21，a 22，a 23，a 24，…，a 2n ， …………………………………… a n1，a n2，a n3，a n4，…，a nn
其中每一行成等差数列，每一列成等比数列，且各列公比相等，若a 24=1，a 42=81，a 43=16
3，求数列a 11，a 22，a 33，…，a nn 的通项公式a kk （1≤k≤n ，k ∈N*）。