2011届高考数学 考前30天解答题复习预测试题5

高考预测试题·解答题5（函数及导数应用）
适用：新课标地区 1、已知函数2
1()22
f x ax x =
+，()g x lnx =. （1）如果函数()y f x =在[1,)+∞上是单调增函数，求a 的取值X 围； （2）是否存在实数0a >，使得方程
()()(21)g x f x a x '=-+在区间1
(,)e e
内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a 的取值X 围；若不存在，请说明理由． （Ⅰ）解：当0a =时，()2f x x =在[1,)+∞上是单调增函数，符合题意．………1分
当0a >时，()y f x =的对称轴方程为2
x a
=-
， 由于()y f x =在[1,)+∞上是单调增函数， 所以2
1a
-
≤，解得2a ≤-或0a >， 所以0a >． ……………………2分
当0a <时，不符合题意．
综上，a 的取值X 围是0a ≥． ……………………3分 （Ⅱ）解：把方程
()()(21)g x f x a x '=-+整理为2(21)lnx
ax a x
=+-+， 即为方程2
(12)0ax a x lnx +--=. ……………………4分
设2
()(12)H x ax a x lnx =+--(0)x >，
原方程在区间(1,e e )内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数()H x 在区间(1,e e
)内有且只有两个零点. ……………………5分
1()2(12)H x ax a x
'=+--
22(12)1(21)(1)ax a x ax x x x
+--+-==…………………6分
令()0H x '=，因为0a >，解得1x =或1
2x a
=-
（舍） …………………7分 当(0,1)x ∈时, ()0H x '<, ()H x 是减函数；
当(1,)x ∈+∞时, ()0H x '>，()H x 是增函数. …………………8分
()H x 在(1
,e e
)内有且只有两个不相等的零点, 只需
min 1
()0,()0,()0,H e H x H e ⎧>⎪⎪
<⎨⎪>⎪⎩
…………………11分 ⇒1
212-+<
<e e
e a …………………12分
2、设0a >，函数a x a x x f ++-=1)(2.
（1）若)(x f 在区间]1,0(上是增函数，求a 的取值X 围； （2）求)(x f 在区间]1,0(上的最大值. （1）解：对函数.1
1)(,)(2
+-
='x ax x f x f 得求导数……………………… 1分
要使(]1,0)(在区间x f 上是增函数，只要(]1,001
1)(2
在≥+-='x ax x f 上恒成立，
即(]1,01
1122在x
x x a +=+≤
上恒成立 ……………………………………3分 因为(]1,0112在x +
上单调递减，所以(]1,01
12
在x
+上的最小值是2， 注意到a > 0，所以a 的取值X 围是(]
.2,0……………………………………5分 （2）解：①当20≤
<a 时，由（I ）知，(]1,0)(在区间x f 上是增函数，
此时(]1,0)(在区间x f 上的最大值是.)21(1)1(a f -+=……………………7分
②当01
1)(,22
=+-='>
x ax x f a 令时，
解得).1,0(1
12
∈-=a x ……………………………………………………8分
因为0)(,11
1;
0)(,1
102
2
<'<<->'-<
<x f x a x f a x 时时， 所以)1,1
1(
,)1
1
,
0()(2
2
--a a x f 在上单调递增在上单调递减，
此时(]1,0)(在区间x f 上的最大值是.1)1
1
(
22--=-a a a f ………… 11分
综上，当20≤<a 时，(]1,0)(在区间x f 上的最大值是a )21(1-+；
当2>a 时，(]1,0)(在区间x f 上的最大值是.12--a a ……………12分
3、设关于x 的方程2
10x mx --=有两个实根α、β，且α<β.定义函数2
2().1
x m
f x x -=+ （1）求()()f f αα+ββ的值；
（2）判断()f x 在区间(,)αβ上的单调性，并加以证明； （3）若,λμ为正实数，证明不等式：|(
)()|||.f f λα+μβμα+λβ
-<α-βλ+μλ+μ
（1）解：∵,αβ是方程210x mx --=的两个实根
∴1m
αβαβ+=⎧⎨⋅=-⎩
∴22
2()21()()1m f ααβαβ
ααααβααααβ
-+--====-+- 同理1()f ββ
=
∴()()2f f ααββ+=…………3分
（2）∵2
2()1
x m f x x -=+ ∴222222
2(1)(2)22(1)
()(1)(1)x x m x x mx f x x x +--⋅--'==-++…………4分
当(,)x αβ∈时，2
1()()0x mx x x --=-α-β<
而()0f x '>
∴()f x 在(,)αβ上为增函数 …………7分 （3）∵,R λμ+∈且αβ<
∴
()()0λαμβλμαμβαλαμβ
αλμλμλμ
+-+-+-==>+++
()()0λαμβλμβλαβλαμβ
βλμλμλμ
+-+-+-==<+++
∴λαμβαβλμ
+<<+…………9分
由（Ⅱ）可知()()()f f f λαμβ
αβλμ+<<+
同理可得()()()f f f μαλβ
αβλμ+<<+…………9分
∴()()()()()()f f f f f f λαμβμαλβ
αββαλμλμ
++-<-<-++
∴()()()()f f f f λαμβμαλβαβλμλμ
++-<-++…………11分
又由（Ⅰ）知11(),(),1f f αβαβαβ
===-
∴11()()||||f f βααβαβα
β
αβ
--=-==-
所以 |()()|||.f f λα+μβμα+λβ
-<α-βλ+μλ+μ
…………12分。