山东省德州市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题-含答案

高二数学（理科）试题 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12个小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.下列运算正确的为（ ）
A ．'1C =（C 为常数）
B ．2
1
1()'x x =
C ．()'x
x
e e = D ．(sin )'cos x x =- 2.已知
21z
i i
=++，则复数z =（ ） A ．13i - B ．13i -- C ．13i -+ D ．13i +
3.已知曲线3
1y x x =-+在点P 处的切线平行于直线2y x =，那么点P 的坐标为（ ） A ．(1,0)或(1,1)- B ．(1,1)或(1,1)- C ．(1,1)- D ．(1,1)
4.随机变量2
~(2,3)X N ，且(1)0.20P X <=，则(23)P X <<=（ ） A ．0.20 B ．0.30 C ．0.70 D ．0.80 5.设*111()()122f n n N n n n
=++⋅⋅⋅+∈++，那么(1)()f n f n +-=（ ） A ．
121n + B ．122n + C ．112122n n +++ D ．112122
n n -++ 6.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A =“第一次取到的是偶数”，B =“第二次取到的是偶数”，则(|)P B A =（ ） A ．
15 B ．38 C ．25 D ．12
7.用反证法证明命题“已知函数()f x 在[,]a b 上单调，则()f x 在[,]a b 上至多有一个零点”时，要做的假设是（ ）
A ．()f x 在[,]a b 上没有零点
B ．()f x 在[,]a b 上至少有一个零点
C ．()f x 在[,]a b 上恰好有两个零点
D ．()f x 在[,]a b 上至少有两个零点 8.在(n
x
+
的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为128，则4x 的系数为（ ） A ．21 B ．63 C ．189 D ．729 9.如图是函数()y f x =的导函数'()f x 的图象，则下面判断正确的是（ ）
A ．在(3,1)-上()f x 是增函数
B ．在(1,3)上()f x 是减函数
C ．在(1,2)上()f x 是增函数
D ．在4x =时，()f x 取极大值 10.若X 是离散型随机变量，12()3P X x ==
，21()3P X x ==，又已知4()3
E X =，2
()9
D X =
，则12x x -的值为（ ） A ．
53 B ．2
3
C ．3
D ．1 11.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（ ）种 A ．19 B ．26 C ．7 D ．12
12.已知在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(5)f x +为偶函数，(10)1f =，则不等式()x
f x e <的解集为（ ）
A ．(0,)+∞
B ．(1,)+∞
C ．(5,)+∞
D ．(10,)+∞
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每小题5分，共计20分）
13.某研究性学习小组调查研究学生玩手机对学习的影响，部分统计数据如表
经计算K 的值，则有 的把握认为玩手机对学习有影响． 附：
()
()()()()
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，n a b c d =+++. 14.由曲线3
y x =与1
3
y x =围成的封闭图形的面积是 ．
15.对于三次函数3
2
()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，定义：设''()f x 是函数()y f x =的导数'()y f x =的导数，若方程''()0f x =有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”，有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.”根据此发现，若函数3231
()324
f x x x x =-
+-，计算1232018
(
)()()()2019201920192019
f f f f +++⋅⋅⋅+= ． 16.对于函数()y f x =，若存在区间[,]a b ，当[,]x ab ∈时，()f x 的值域为[,](0)ka kb k >，则称()y f x =为k 倍值函数.下列函数为2倍值函数的是 （填上所有正确的序号）．
①2
()f x x = ②3
2
()22f x x x x =++ ③()ln f x x x =+ ④()x x
f x e
=
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知2z i =+，a ，b 为实数. （Ⅰ）若2
312z z ω=+-，求ω； （Ⅱ）若
522az bz
i z
+=--，求实数a ，b 的值.
18.已知函数3211
()(1)()32f x x a x ax a R =
+-+∈. （Ⅰ）若()f x 在13
x =-处取得极值，求()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）若()f x 在区间(0,1)内有极大值和极小值，求实数a 的取值范围.
19.某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一箱矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下：
获一等奖学金500元；综合考核21～50名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金.
（Ⅰ）若售出水量箱数x 与y 成线性相关，则某天售出9箱水时，预计收入为多少元？ （Ⅱ）甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为25，获二等奖学金的概率均为1
3
，不获得奖学金的概率均为
4
15
，已知甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立，求甲乙两名学生所获得奖学金之和X 的分布列及数学期望.
附：回归直线方程y bx a =+，其中1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i
x x y y b x x ==--=
-∑∑，a y bx =-.
20.如图（1）是一个仿古的首饰盒，其左视图是由一个半径为r 分米的半圆和矩形ABCD 组成，其中AD 长为a 分米，如图（2）.为了美观，要求2r a r ≤≤.已知该首饰盒的长为4r 分米，容积为4立方分米（不计厚度），假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关，下半部分的制作费用为每平方分米2百元，上半部制作费用为每平方分米4百元，设该首饰盒的制作费用为y 百元.
（Ⅰ）写出y 关于r 的函数解析式；
（Ⅱ）当r 为何值时，该首饰盒的制作费用最低？
21.已知函数2
()1ln ()f x ax x x a R =+-+∈在点1
1(,())22
f 处的切线与直线
210x y ++=垂直.
（Ⅰ）求函数()f x 的极值；
（Ⅱ）若2
()m f x m x x
≥-
-在[1,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为1cos 2sin x t y t αα
⎧=+⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，02πα<<）
，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
22cos 30ρρθ--=.
（Ⅰ）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求AB 的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲
已知函数2
()3f x x ax =++，()1g x x x a =++-. （Ⅰ）若()1g x ≥恒成立，求a 的取值范围；
（Ⅱ）已知1a >，若(1,1)x ∃∈-使()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围.
高二数学（理科）试题参考答案
一、选择题
1-5 CABBD 6-10 BDCCD 11、12：BA 二、填空题
13. 99.5 14. 1 15. 2018 16. ①②④ 三、解答题
17.解：（Ⅰ）∵2z i =+，∴2z i =-.
∴2
312z z ω=+-2
(2)3(2)123i i i =++--=-+，
∴ω==； （Ⅱ）∵2z i =+， ∴
(2)(2)
22(2)
az bz a i b i z i +++-=--+ 2
2()()[2()()]
a b a b i i a b a b i i i
++-++-=
=-- 2()52b a a b i i =-++=-.
∴5
1b a a b -=⎧⎨+=-⎩
，
解得3
2a b =-⎧⎨
=⎩
，
∴a ，b 的值为：-3，2.
18.解：2
'()(1)f x x a x a =+-+， （Ⅰ）∵()f x 在1
3
x =-处取得极值， ∴1'()03f -=，∴11(1)093a a --+=，∴23
a =-， ∴2521'()()(2)333f x x x x x =--=+-，令'()0f x <，则1
()(2)03
x x +-<， ∴1
23
x -
<<， ∴函数()f x 的单调递减区间为1(,2)3
-. （Ⅱ）∵()f x 在(0,1)内有极大值和极小值，
∴'()0f x =在(0,1)内有两不等实根，对称轴1
2
a x -=-
， ∴01012'(0)0'(1)0
a f f ∆>⎧⎪-⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩， 即2(1)40
11
110
a a a a a a ⎧∆=-->⎪
-<<⎪⎨>⎪⎪+-+>
⎩3311
0a a a a ⎧>+<-⎪⇒-<<⎨⎪>⎩，
∴03a <<-19.解：（Ⅰ）7665665x ++++=
=，165142148125150
1465
y ++++==，
1921
202
b +=
=， 14620626a =-⨯=，
所以线性回归方程为2026y x =+， 当9x =时，y 的估计值为206元；
（Ⅱ）甲乙两名同学所获得奖学金之和X 的可能取值为0，300，500，600，800，1000；
4416
(0)1515225
P X ==
⨯=
； 148
(300)231545P X ==⨯⨯=
； 2416
(500)251575P X ==⨯⨯=
； 111
(600)339P X ==⨯=；
214
(800)25315P X ==⨯⨯=；
224
(1000)5525
P X ==⨯=
.
20.解：（Ⅰ）由题知2321
44(2)282
r r ar r ar ππ=+=+，
∴33
22
42284r r a r r
ππ--==.
又因2r a r ≤≤r ≤≤ ∴2
2
2(488)4(4)y ar ar r r r r ππ=+++⨯+
22241620ar r r π=++
3
222
22420164r r r r r
ππ-=⨯++
212(1614)r r r π=
++≤≤. （Ⅱ）令212
()(1614)f r r r
π=++， ∴2
12
'()(3228)f r r r π=-
++，
令'()0f r =则r =
，
∵
328110878(87)(8)
π
ππππ--=<++++，
r ≤≤时'()0f r >，函数()f r 为增函数.
∴r =
时，()f r 最小.
答：当r =
. 21.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1'()21f x ax x
=++， 所以函数()f x 在点1
1,()2
2f ⎛⎫
⎪⎝⎭处的切线的斜率121232k a a =⨯++=+.
∵该切线与直线210x y ++=垂直，所以32a +=，解得1a =-.
∴2
()1ln f x x x x =-+-+，1'()21f x x x
=-++221(21)(1)
x x x x x x -++-+-==，
令'()0f x =，解得1x =.
显然当(0,1)x ∈时，'()0f x >，函数()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x <，函数()f x 单调递减.
∴函数()f x 的极大值为(1)111ln11f =-+-+=-，函数()f x 无极小值. （Ⅱ）2()m f x m x x ≥--在[1,)+∞上恒成立，
等价于ln 10m
x x m x
++--≥在[1,)+∞上恒成立，
令()ln 1m
g x x x m x
=++--，则2221'()1m x x m g x x x x +-=-+=，
令2
()(1)h x x x m x =+-≥，则()h x 在[1,)+∞上为增函数，即()2h x m ≥-， ①当2m ≤时，()0h x ≥，即'()0g x ≥，则()g x 在[1,)+∞上是增函数， ∴()(1)0g x g ≥=，故当2m ≤时，ln 10m
x x m x
+
+--≥在[1,)+∞上恒成立. ②当2m >时，令2
()0h x x x m =+-=
，得x =
，
当x ⎡∈⎢⎣⎭时，'()0g x <，则()g x
在x ⎡∈⎢⎣⎭
上单调递减，()(1)0g x g <=，
因此当2m >时，ln 10m
x x m x
+
+--≥在[1,)+∞上不恒成立， 22.解：
（Ⅰ）将1cos 2sin x t y t αα
⎧=+⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，02πα<<）消去参数t ，
得直线，1tan 22y x α⎛
⎫-
=- ⎪⎝
⎭
，即2tan 2tan 0(0)2x y πααα--+=<<.
将cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨
=⎩代入22cos 30ρρθ--=，得22
230x y x +--=，
即曲线C 的直角坐标方程为2
2
(1)4x y -+=.
（Ⅱ）设直线l 的普通方程为1()22y k x -
=-，其中tan k α=，又02
πα<<， ∴0k >，则直线l 过定点1(,
)22
M ，
∵圆C 的圆心(1,0)C ，半径2r =，1CM ==， 故点M 在圆C 的内部.
当直线l 与线段CM 垂直时，AB 取得最小值，
∴min 2AB AM ===23.解：（Ⅰ）∵()11g x x x a a =++-≥+，若()1g x ≥恒成立，需11a +≥， 即11a +≥或11a +≤-， 解得0a ≥或2a ≤-.
（Ⅱ）∵1a >，∴当(1,1)x ∈-时，()1g x a =+，
∴2
31x ax a ++≤+，即(1,1)x ∃∈-，221x a x
+≥-成立，
由223(1)211x x x x +=-+---，∵012x <-<，∴3
(1)1x x -+≥-
1x =，
∴2a ≥.
又知1a >，∴a 的取值范围是2a ≥.。