人教版高中数学必修五课时作业2：2.1 数列的概念与简单表示法(二)

2．1 数列的概念与简单表示法(二)
一、基础达标
1．在递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值范围是
( )
A ．R
B ．(0，＋∞)
C ．(－∞，0)
D ．(－∞，0]
答案 C
解析 ∵{a n }是递减数列， ∴a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k <0.
2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋1
2n ，则此数列的第4项是
( )
A ．1 B.12 C.34 D.5
8 答案 B
3．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于
( )
A.259
B.2516
C.6116
D.3115 答案 C
解析 a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22， a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，
则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝61
16.
4．由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n
＝ab n －1，则b 6的值是
( )
A ．9
B ．17
C ．33
D ．65
答案 C
解析 ∵b n ＝ab n －1，∴b 2＝ab 1＝a 2＝3， b 3＝ab 2＝a 3＝5，b 4＝ab 3＝a 5＝9， b 5＝ab 4＝a 9＝17，b 6＝ab 5＝a 17＝33.
5．数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－6n ，则它最小项的值是________． 答案 －9
解析 a n ＝n 2－6n ＝(n －3)2－9，∴当n ＝3时，a n 取得最小值－9.
6．已知数列{a n }，a n ＝a n ＋m (a <0，n ∈N *)，满足a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝________. 答案 2
解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝a ＋m ，4＝a 2＋m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
m ＝3.
∴a n ＝(－1)n ＋3，∴a 3＝(－1)3＋3＝2.
7．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有多少个点．
解 图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点，故第n 个图中点的个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1.
8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n 2＋29n ＋3，求数列{a n }的最大项． 解 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫n －2942＋10818，
由于n ∈N *，故当n 取距离29
4最近的正整数7时，a n 取得最大值108. ∴数列{a n }中的最大值为a 7＝108. 二、能力提升
9．若a 1＝1，a n ＋1＝a n
3a n ＋1
，则给出的数列{a n }的第4项是
( )
A.116
B.117
C.110
D.125 答案 C
解析 a 2＝a 13a 1＋1＝13＋1＝1
4，
a 3＝a 23a 2＋1＝14
34＋1
＝17，
a 4＝a 33a 3＋1＝1
737
＋1
＝110.
10．已知数列{a n }满足要求a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则a 5＝
( )
A ．15
B ．16
C ．31
D ．32 答案 C
解析 ∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，
∴a 2＝2×1＋1＝3，a 3＝2×3＋1＝7，a 4＝2×7＋1＝15，a 5＝2×15＋1＝31.故选C.
11．已知数列{a n }满足a n ＋
1＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2a n ⎝ ⎛
⎭⎪⎫0≤a n <12，2a n －1 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12≤a n <1.
若a 1＝6
7，则a 2 012的值为________．
答案 5
7
解析 计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝6
7，故数列{a n }是以3为周期的周期数列，又知2 012除以3余2，所以a 2 012＝a 2＝5
7.
12．根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)； (2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a n
n ＋1
；
(3)a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ∈N *)． 解 (1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9.猜想a n ＝(n －1)2. (2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝42，a 4＝5
2.猜想a n ＝n ＋12. (3)a 1＝2，a 2＝3，a 3＝5，a 4＝9.猜想a n ＝2n －1＋1. 三、探究与创新
13．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋1
n a n ，求{a n }的通项公式．
解 ∵a n ＋1＝n ＋1n a n ，∴a n ＋1a n ＝n ＋1n .∴a 2a 1＝2，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…，a n a n －1＝n
n －1.
把上述等式相乘，得a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a n a n －1＝2×32×43×…×n n －1，即
a n
a 1＝n ，而a 1＝2，∴a n ＝2n .。