2024-2025年北师大版数学必修第二册2.6.1.1余弦定理(带答案)

§6 平面向量的应用 6．1 余弦定理与正弦定理
第1课时 余弦定理
必备知识基础练
知识点一 已知两边和一角解三角形 1．在△ABC 中，
(1)已知a ＝23 ，c ＝6 ＋2 ，B ＝45°，求b 及A ； (2)已知b ＝3，c ＝33 ，B ＝30°，求边a .
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝120°，a ＝7，b ＋c ＝8，求b ，c .
知识点二 已知三边解三角形
3．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝7 ，c ＝2，则B ＝( ) A ．π3 B ．π4 C ．π6 D ．2π3
4．已知a ，b ，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a ＋b －c )·(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C 的余弦值为( )
A ．23
B ．12
C ．－23
D ．－12
5．如图，在△ABC 中，D 为AB 的一个三等分点，且AB ＝3AD ，AC ＝AD ，CB ＝3CD ，求cos
B .
知识点三 利用余弦定理判断三角形的形状
6．在△ABC 中，A ＝60°，a 2
＝bc ，则△ABC 一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形
7．已知在△ABC 中，c b ＝cos C
cos B
，则△ABC 为( )
A ．直角三角形
B ．等腰直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰或直角三角形
关键能力综合练
一、选择题
1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝5，c ＝7，则C ＝( ) A ．150° B ．120° C．60° D ．30°
2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝33 ，c ＝2，A ＋C ＝5π
6
，则
b ＝( )
A ．13
B ．6
C ．7
D ．8
3．在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝5，c ＝19 ，则最大角与最小角的和为( ) A ．90° B ．120° C．135° D ．150°
4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1＋cos A 2 ＝b ＋c
2c
，则△ABC 是
( )
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
5．在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝13 ，AC ＝4，则边AC 上的高为( ) A ．322 B ．332 C ．32 D ．33
二、填空题
6．在△ABC 中，若BC ＝5，AB ＝3，B ＝120°，则△ABC 的周长为________．
7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2－（b －c ）2
bc
＝1，则A ＝________．
8．(易错题)在钝角三角形ABC 中，a ＝1，b ＝2.边c 的取值范围是________．
三、解答题
9．(探究题)已知a ，b ，c 是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，a ＝43 ，b ＝6，cos A ＝－13
.
(1)求c 的值； (2)求sin B ．
学科素养升级练
1.(多选题)在△ABC 中，已知c ＝6 ，A ＝π
4
，a ＝2，则b ＝( )
A ．3 ＋1
B ．3＋1
2
C ．
3－1
2
D ．3 －1 2．(学科素养——数学运算)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a ＝2，a cos B ＝(2c －b )cos A .
(1)求角A 的大小；
(2)求△ABC 周长的最大值．
第1课时 余弦定理 必备知识基础练
1．解析：(1)由余弦定理，得b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ＝(23 )2
＋(6 ＋2 )2
－2×(6 ＋2 )×23 ×cos 45°＝8，所以b ＝22 .
由cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc
，
得cos A ＝（22）2＋（6＋2）2－（23）2
2×22×（6＋2）
＝1
2 .
因为0°<A <180°，所以A ＝60°.
(2)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2
－2ac cos B ，
得32＝a 2＋(33 )2
－2×33 a ×cos 30°，
即a 2
－9a ＋18＝0，所以a ＝6或a ＝3.
2．解析：由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2
－2bc (1＋cos A )，
所以49＝64－2bc (1－1
2
)，即bc ＝15，
由⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝8，bc ＝15， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝5， 或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝5，c ＝3. 3．答案：A
解析：由已知得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12 ，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π
3
.故选A.
4．答案：D
解析：∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝ab ，即a 2＋b 2－c 2
＝－ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12
.故选D.
5．解析：设AD ＝m ，CD ＝n ，
则AB ＝3m ，AC ＝m ，CB ＝3n ，BD ＝2m .
在△BCD 中，cos ∠BDC ＝4m 2＋n 2－9n
22×2m ×n ，
在△ACD 中，cos ∠ADC ＝m 2＋n 2－m 2
2mn
，
由cos ∠BDC ＝－cos ∠ADC ，得m 2
＝32 n 2，即m ＝62 n .所以在△BDC 中，cos B ＝
4m 2
＋9n 2
－n 2
2×2m ×3n ＝76
18
.
6．答案：D
解析：在△ABC 中，∵A ＝60°，a 2
＝bc ，
∴由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2
－bc ，
∴bc ＝b 2＋c 2
－bc ，
即(b －c )2
＝0.
∴b ＝c ，结合A ＝60°，得△ABC 一定是等边三角形．故选D. 7．答案：C
解析：由c b ＝cos C cos B 及余弦定理知c
b ＝a 2＋b 2－
c 2
2ab a 2＋c 2－b
22ac
，化简得b ＝c .∴△ABC 是等腰三角
形．无法判断其是不是直角三角形．故选C.
关键能力综合练
1．答案：B
解析：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9＋25－492×3×5 ＝－1
2
，所以C ＝120°.故选B.
2．答案：A
解析：∵A ＋C ＝5π6 ，∴B ＝π－(A ＋C )＝π
6 .
∵a ＝33 ，c ＝2，
∴由余弦定理可得b ＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ＝
（33）2＋22
－2×33×2×
3
2
＝13 .故选A. 3．答案：B
解析：在△ABC 中，∵a ＝3，b ＝5，c ＝19 ， ∴最大角为B ，最小角为A ，
∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9＋25－192×3×5 ＝1
2
，
∴C ＝60°，∴A ＋B ＝120°，
∴△ABC 中最大角与最小角的和为120°.故选B. 4．答案：A
解析：在△ABC 中，∵1＋cos A 2 ＝b 2c ＋12 ，∴cos A ＝b c .由余弦定理，知b 2＋c 2－a 2
2bc
＝
b
c
，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 是直角三角形．故选A. 5．答案：B 解析：
如图，在△ABC 中，BD 为AC 边上的高，且AB ＝3，BC ＝13 ，AC ＝4.
∵cos A ＝32＋42－（13）22×3×4 ＝12 ，A ∈(0，π)，∴sin A ＝3
2 .
∴BD ＝AB ·sin A ＝3×
32 ＝33
2
.故选B. 6．答案：15
解析：由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2
－2AB ·BC cos B ＝49，所以AC ＝7.所以△ABC 的周长为3＋5＋7＝15.
7．答案：π
3
解析：由a 2－（b －c ）2bc ＝1得b 2＋c 2－a 2bc ＝1.∴cos A ＝12 .∵0＜A ＜π，∴A ＝π
3
.
8．答案：(1，3 )∪(5 ，3)
解析：因为a ＝1，b ＝2，所以1<c <3.若角B 是钝角，则cos B <0，即12
＋c 2
－2
2
2×1·c
<0，解
得1<c <3 ；若角C 是钝角，则cos C <0，即12＋22－c
22×1×2 <0，解得5 <c <3.综上，边c 的取
值范围是(1，3 )∪(5 ，3).
9．解析：(1)因为a ＝43 ，b ＝6，cos A ＝－1
3
，
所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝36＋c 2－482×6×c ＝－1
3
，
整理得c 2
＋4c －12＝0，即(c ＋6)(c －2)＝0，
解得c ＝2或c ＝－6(舍去)，所以c ＝2.
(2)因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝48＋4－362×43×2 ＝3
3 ，
所以sin B ＝
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. 学科素养升级练
1．答案：AD
解析：由a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ，得4＝b 2
＋6－26 b ×
2
2
，即b 2－23 b ＋2＝0，解得b ＝3 ＋1或b ＝3 －1.又6 －2<b <6 ＋2，∴b ＝3 ±1.故选AD.
2．解析：(1)∵a cos B ＝(2c －b )cos A ，
∴a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝(2c －b )·b 2＋c 2－a 2
2bc ，
化简得c ＝b 2＋c 2－a 2
b
，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，
∴cos A ＝12 ，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3 .
(2)由(1)得b 2＋c 2
－4＝bc ，
即4＝b 2
＋c 2
－bc ＝(b ＋c )2
－3bc ≥(b ＋c )2
－3（b ＋c ）2
4 ＝（b ＋c ）
2
4
，
∴(b ＋c )2
≤16，即b ＋c ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时等号成立， ∴△ABC 周长的最大值为6.。