浙江专版2022年中考数学专题5规律探索型问题精讲本课件
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则 p 的值为( B )
A．100 B．121 C．144 D．169
2．(2021·嘉兴)观察下列等式： 1＝12－02， 3＝22－12， 5＝32－22， … 按此规律，则第 n 个等式为 2n－1＝______n_2－__(_n_－__1_)_2_____________________．
【思路方法】数字规律常见类型及解题方法： (1)若所给的一组数是整数： ①观察这组数字属于以下哪种类型： A．自然数数列规律：0，1，2，3，…，n(n≥0)； B．正整数数列规律：1，2，3，…，n－1，n(n≥1)； C．奇数数列规律：1，3，5，7，…，2n－1(n≥1)； D．偶数数列规律：2，4，6，8，…，2n(n≥1)； ②看这组数式的符号，判断数字符号的正负是否为交替出现， 如果是交替出现的用(－1)n 或(－1)n＋1 表示所带符号； ③把数字规律和符号规律结合起来得到数式规律；
精讲释疑
类型一 数式规律型
数式规律型：数式规律问题证，然后得出一般性的结论， 以数或式为主要内容，有的规律具有循环性，只要找到 “循环节”，便可解决问题．
例 1.(2021·十堰)将从 1 开始的连续奇数按如图所示的规律排 列，例如，位于第 4 行第 3 列的数为 27，则位于第 32 行第 13 列的数是( B ) A．2 025 B．2 023 C．2 021 D．2 019
专题五
规律探索型问题
专题解读
规律探索型问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、 式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一 具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含 的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．主要思想方法 是从特殊到一般的归纳猜想法．常见类型有“数式规 律”“图形规律”等题型． 解题策略：从问题的简单情形或特殊情形入手，通过对简 单情形或特殊情形的猜想和验证发现一般规律，从而找到 解决问题的途径或方法．
证明：∵左边＝2nn＋－21 ×n＋n 2 ＝2nn－1 ＝2－n1 ＝右边，∴等式 成立．
【思路方法】数式规律题的解题方法： 第一步：给已知等式标序数； 第二步：观察等式的每一项与序数(1，2，3，…，n)之间的关 系(平方、乘积)； 第三步：将等式拆分，每一项用含序数的式子表示出来．
1．(2021·随州)根据图中数字的规律，若第 n 个图中的 q＝143，
OA2A4B4，连结 A2A4，得到△A2A3A4……设△AA1A2，△A1A2A3，
△A2A3A4……的面积分别为 S1，S2，S3……如此下去，则 S2
020 的值为( B )
A．221020
B．22 018
C．22 018＋12
D．1 010
【解析】∴S1＝12 ×1×1＝12 ，∴S2＝12 ×2×1＝1，同 理可求：S3＝12 ×2×2＝2，S4＝4…，∴Sn＝2n－2，∴S2020 ＝22018.
4．(2021·扬州)将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：
图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，…，将其中 所有能被 3 整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组 新数据，则新数据中的第 33 个数为___1_2_7_5_____．
【解析】第 n 个图形中的黑色圆点的个数为n（n2＋1） ， 则这列数为 1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66， 78，91，…，其中每 3 个数中，都有 2 个能被 3 整除，33 ÷2＝16…1，16×3＋2＝50，则第 33 个被 3 整除的数为 原数列中第 50 个数，即50×2 51 ＝1 275.
按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第 6 个等式：__________________________； (2)写出你猜想的第 n 个等式：__________________(用含 n 的 等式表示)，并证明．
解：(1)第 6 个等式：181 ×(1＋26 )＝2－16 ； (2)猜想的第 n 个等式：2nn＋－21 ×(1＋n2 )＝2－n1 .
【解析】由题知，图形每旋转一周，圆心的路径循环一次，
且路径长度刚好为以 2 为半径的圆的周长，即 4π，2021
π÷4π＝50514 (圈)，即当圆心经过的路径长为 2021π时，
图形旋转了
1 5054
圈，∵图形每旋转一圈横坐标增加
2π
＋4，∴当图形旋转 505 圈时的横坐标为(2π＋4)×505＝1
例 2.观察以下等式： 第 1 个等式：13 ×(1＋21 )＝2－11 ， 第 2 个等式：34 ×(1＋22 )＝2－12 ， 第 3 个等式：55 ×(1＋23 )＝2－13 ， 第 4 个等式：76 ×(1＋24 )＝2－14 . 第 5 个等式：97 ×(1＋25 )＝2－15 . ……
(2)若所给的一组数部分含有分数： ①将这组数据的所有整数写成分数的形式； ②根据整数的数字规律(具体方法同(1))，从而分别得出分子 和分母的变化规律； ③归纳总结得到该组数据第 n 项的规律；
(3)若所给的一组数变形后呈现循环规律： ①先进行前 3～4 项运算，得到这组数的规律； ②再经过几次变换后又得到已知的这组数，找出循环周期 n； ③用 N(设问中给出的第 N 次变化)除以 n，当商 b 余 m(0≤m ＜n)时，第 N 次变化对应的数即为一个循环变化中第 m 次变 化后所对应的数； ④找出第 m 次变化后对应的数即可得解．
5．如图，四边形 OAA1B1 是边长为 1 的正方形，以对角线
OA1 为边作第二个正方形 OA1A2B2，连结 AA2，得到△AA1A2；
再以对角线 OA2 为边作第三个正方形 OA2A3B3，连结 A1A3，
得 到 △A1A2A3 ， 再 以 对 角 线 OA3 为 边 作 第 四 个 正 方 形
010π＋2 020，再转14 圈横坐标增加14 ×4π＝π，∴当 圆心经过的路径长为 2 021π时，圆心的横坐标是 1 010
π＋2 020＋π＝1 011π＋2 020.
3．(2021·烟台)由 12 个有公共顶点 O 的直角三角形拼成的 图形如图所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°.若 OA＝16，则 OG 的长为( A ) A．247 B．14 C．9 2 3 D．278 3
类型二 图形规律型
图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆 等过程中的特点，分析其联系和区别，再将图形的变化规 律以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对 应关系，解题时要注意对应思想和数形结合．
例 3.(2021·阜新)如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在 (0，2).将弓形沿 x 轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长 为 2 021π时，圆心的横坐标是( D ) A．2 020π B．1 010π＋2 020 C．2 021π D．1 011π＋2 020
A．100 B．121 C．144 D．169
2．(2021·嘉兴)观察下列等式： 1＝12－02， 3＝22－12， 5＝32－22， … 按此规律，则第 n 个等式为 2n－1＝______n_2－__(_n_－__1_)_2_____________________．
【思路方法】数字规律常见类型及解题方法： (1)若所给的一组数是整数： ①观察这组数字属于以下哪种类型： A．自然数数列规律：0，1，2，3，…，n(n≥0)； B．正整数数列规律：1，2，3，…，n－1，n(n≥1)； C．奇数数列规律：1，3，5，7，…，2n－1(n≥1)； D．偶数数列规律：2，4，6，8，…，2n(n≥1)； ②看这组数式的符号，判断数字符号的正负是否为交替出现， 如果是交替出现的用(－1)n 或(－1)n＋1 表示所带符号； ③把数字规律和符号规律结合起来得到数式规律；
精讲释疑
类型一 数式规律型
数式规律型：数式规律问题证，然后得出一般性的结论， 以数或式为主要内容，有的规律具有循环性，只要找到 “循环节”，便可解决问题．
例 1.(2021·十堰)将从 1 开始的连续奇数按如图所示的规律排 列，例如，位于第 4 行第 3 列的数为 27，则位于第 32 行第 13 列的数是( B ) A．2 025 B．2 023 C．2 021 D．2 019
专题五
规律探索型问题
专题解读
规律探索型问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、 式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一 具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含 的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．主要思想方法 是从特殊到一般的归纳猜想法．常见类型有“数式规 律”“图形规律”等题型． 解题策略：从问题的简单情形或特殊情形入手，通过对简 单情形或特殊情形的猜想和验证发现一般规律，从而找到 解决问题的途径或方法．
证明：∵左边＝2nn＋－21 ×n＋n 2 ＝2nn－1 ＝2－n1 ＝右边，∴等式 成立．
【思路方法】数式规律题的解题方法： 第一步：给已知等式标序数； 第二步：观察等式的每一项与序数(1，2，3，…，n)之间的关 系(平方、乘积)； 第三步：将等式拆分，每一项用含序数的式子表示出来．
1．(2021·随州)根据图中数字的规律，若第 n 个图中的 q＝143，
OA2A4B4，连结 A2A4，得到△A2A3A4……设△AA1A2，△A1A2A3，
△A2A3A4……的面积分别为 S1，S2，S3……如此下去，则 S2
020 的值为( B )
A．221020
B．22 018
C．22 018＋12
D．1 010
【解析】∴S1＝12 ×1×1＝12 ，∴S2＝12 ×2×1＝1，同 理可求：S3＝12 ×2×2＝2，S4＝4…，∴Sn＝2n－2，∴S2020 ＝22018.
4．(2021·扬州)将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：
图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，…，将其中 所有能被 3 整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组 新数据，则新数据中的第 33 个数为___1_2_7_5_____．
【解析】第 n 个图形中的黑色圆点的个数为n（n2＋1） ， 则这列数为 1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66， 78，91，…，其中每 3 个数中，都有 2 个能被 3 整除，33 ÷2＝16…1，16×3＋2＝50，则第 33 个被 3 整除的数为 原数列中第 50 个数，即50×2 51 ＝1 275.
按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第 6 个等式：__________________________； (2)写出你猜想的第 n 个等式：__________________(用含 n 的 等式表示)，并证明．
解：(1)第 6 个等式：181 ×(1＋26 )＝2－16 ； (2)猜想的第 n 个等式：2nn＋－21 ×(1＋n2 )＝2－n1 .
【解析】由题知，图形每旋转一周，圆心的路径循环一次，
且路径长度刚好为以 2 为半径的圆的周长，即 4π，2021
π÷4π＝50514 (圈)，即当圆心经过的路径长为 2021π时，
图形旋转了
1 5054
圈，∵图形每旋转一圈横坐标增加
2π
＋4，∴当图形旋转 505 圈时的横坐标为(2π＋4)×505＝1
例 2.观察以下等式： 第 1 个等式：13 ×(1＋21 )＝2－11 ， 第 2 个等式：34 ×(1＋22 )＝2－12 ， 第 3 个等式：55 ×(1＋23 )＝2－13 ， 第 4 个等式：76 ×(1＋24 )＝2－14 . 第 5 个等式：97 ×(1＋25 )＝2－15 . ……
(2)若所给的一组数部分含有分数： ①将这组数据的所有整数写成分数的形式； ②根据整数的数字规律(具体方法同(1))，从而分别得出分子 和分母的变化规律； ③归纳总结得到该组数据第 n 项的规律；
(3)若所给的一组数变形后呈现循环规律： ①先进行前 3～4 项运算，得到这组数的规律； ②再经过几次变换后又得到已知的这组数，找出循环周期 n； ③用 N(设问中给出的第 N 次变化)除以 n，当商 b 余 m(0≤m ＜n)时，第 N 次变化对应的数即为一个循环变化中第 m 次变 化后所对应的数； ④找出第 m 次变化后对应的数即可得解．
5．如图，四边形 OAA1B1 是边长为 1 的正方形，以对角线
OA1 为边作第二个正方形 OA1A2B2，连结 AA2，得到△AA1A2；
再以对角线 OA2 为边作第三个正方形 OA2A3B3，连结 A1A3，
得 到 △A1A2A3 ， 再 以 对 角 线 OA3 为 边 作 第 四 个 正 方 形
010π＋2 020，再转14 圈横坐标增加14 ×4π＝π，∴当 圆心经过的路径长为 2 021π时，圆心的横坐标是 1 010
π＋2 020＋π＝1 011π＋2 020.
3．(2021·烟台)由 12 个有公共顶点 O 的直角三角形拼成的 图形如图所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°.若 OA＝16，则 OG 的长为( A ) A．247 B．14 C．9 2 3 D．278 3
类型二 图形规律型
图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆 等过程中的特点，分析其联系和区别，再将图形的变化规 律以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对 应关系，解题时要注意对应思想和数形结合．
例 3.(2021·阜新)如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在 (0，2).将弓形沿 x 轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长 为 2 021π时，圆心的横坐标是( D ) A．2 020π B．1 010π＋2 020 C．2 021π D．1 011π＋2 020