2019-2020学年吉林省辽源市田家炳高级中学高二下学期第三次月考数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年吉林省辽源市田家炳高级中学高二下学期第
三次月考数学（理）试题
一、单选题
1．曲线x y e =在点()1,A e 处的切线的斜率为（ ） A ．1 B ．2
C ．e
D ．0
【答案】C
【解析】先求出x
y e =的导数，根据导数的几何意义，可求出答案.
【详解】
由x
y e =有e x
y '=，
则曲线x
y e =在点()1,A e 处的切线的斜率为1k e e ==
故选：C 【点睛】
本题考查求曲线在某点处的切线的斜率，考查导数的几何意义，注意这类题中是在某处的切线斜率还是过某点的切线斜率，属于基础题. 2．已知(1)1f '=，0
(13)(1)
lim x f x f x
∆→+∆-∆等于（ ）
A ．1
B ．-1
C ．3
D ．
13
【答案】C
【解析】根据导数概念，得到
0(13)(1)(13)(1)
lim
3lim 3(1)3x x f x f f x f f x x
∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆，即可求出结果.
【详解】 因为(1)1f '=， 所以0
0(13)(1)(13)(1)lim 3lim 3(1)33x x f x f f x f f x x
∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆.
故选C 【点睛】
本题主要考查导数的概念，熟记导数的概念即可，属于常考题型. 3．已知函数2
()32f x x =+，则(5) f '=（ ）
A ．15
B ．30
C ．32
D ．77
【答案】B
【解析】先求得导函数()'
f x ，由此求得()'5f .
【详解】 依题意()'
6f
x x =，所以()'530f =.
故选：B. 【点睛】
本题主要考查了导数的计算，属于基础题.
4．已知函数()2()ln f x xf e x '=+，则()f e =( ) A ．e - B ．e
C ．1-
D ．1
【答案】C
【解析】先求导，再计算出()f e '，再求()f e . 【详解】
由题得111()2(),()2(),()f x f e f e f e f e x e e
'''''=+∴=+∴=-， 所以1
()2()ln 2()11f e ef e e e e
=+=⨯+'-=-.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查导数的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力，属基础题.
5．下列对函数求导运算正确的是（ ）
A ．2
sin cos sin x x x x x x '+⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．11ln x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭
C ．cos sin 33ππ'⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
D ．()sin cos x x '=-
【答案】B
【解析】根据导数运算对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】
对于A 选项，2
sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭
，故A 选项错误. 对于B 选项，1ln ln x x =-，所以()11ln ln x x x '⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭
，故B 选项正确.
对于C 选项，cos
03π'
⎛⎫= ⎪⎝
⎭
，故C 选项错误.
对于D 选项，()sin cos x x '=，故D 选项错误. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查导数的运算，属于基础题.
6．若函数3()12f x x x a =-+有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,8)-∞- B ．(,8)-∞
C ．[16,16]-
D ．(16,16)-
【答案】D
【解析】首先利用导数求出函数()f x 的单调区间和极值，将函数3()12f x x x a =-+有三个不同的零点，转化为方程()0f x =有三个不同的根.再列出不等式组，解不等式组即可得到答案. 【详解】
3()12f x x x a =-+，2()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-. 令()0f x '=，解得12x =-，2
2x =.
(,2)x ∈-∞-，()0f x '>，()f x 为增函数， (2,2)x ∈-，()0f x '<，()f x 为减函数，
(2,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 为增函数.
所以()(2)16f x f a =-=+极大值，()(2)16f x f a ==-+极小值. 因为函数3()12f x x x a =-+有三个不同的零点， 等价于方程()0f x =有三个不同的根.
所以160160a a +>⎧⎨-+<⎩
，解得1616a -<<.
故选：D 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，同时考查了利用导数求函数的单调区间和极值，属于简单题.
7．函数()1
2
f x x x =-
的单调递增区间是（ ） A ．()0,4 B ．(),1-∞
C ．()0,1
D ．(),4-∞
【答案】C
【解析】先求出函数的定义域，然后求导，求出导函数大于零时不等式的解集即可. 【详解】
函数()f x 的定义域为；[0,)+∞，
()'11()222f x x x f x x =-
⇒=-， 当'
1
()022f x x
=
-
>时，函数单调递增，解得01x <<， 所以函数()1
2
f x x x =-
的单调递增区间是()0,1. 故选：C 【点睛】
本题考查了利用导数与函数的单调区间，考查了数学运算能力.
8．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图像如图所示，则导函数()y f x '
=的图
像可能为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】通过原函数的单调性可确定导函数的正负，结合图象即可选出答案. 【详解】
由函数()f x 的图象可知，当(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递减，所以(0,)x ∈+∞时，
()0f x '< ，符合条件的只有D 选项，故选D.
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性与导函数的符号之间的对应关系，属于中档题.
9．
()7
12x x
-的展开式中2x 的系数为（ ）
A ．84-
B ．84
C ．280-
D ．280
【答案】C
【解析】由题意，根据二项式定理展开式的通项公式1C k n k k
k n T a b -+=，得()7
12x -展开
式的通项为()172k
k k
k T C x +=-，则
()
7
12x x
-展开式的通项为()1
172k
k k k T C x -+=-，由
12k -=，得3k =，所以所求2x 的系数为()3
3
7
2280C -=-.故选C. 点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区
分二项式系数与系数，先求出通项公式1C r n r r
r n T a b -+=，再根据所求问题，通过确定未
知的次数，求出r ，将r 的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.
10．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A ．48 B ．72 C ．90 D ．96
【答案】D
【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛 ①当甲参加另外3场比赛时，共有1
3C •3
4A =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有4
4A =24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种 故答案为：96
点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．
11．设()~4,X B p ，其中112p <<，且()8227
P X ==，则()3P X ==（ ） A ．
8
81
B ．
1681 C ．
827
D ．
3281
【答案】D
【解析】根据二项分布概率公式化简()8
227
P X ==求得p ，再根据二项分布概率公式求结果. 【详解】
()~4,X B p ∴()22
2224842(1)(1)2781
P X C p p p p ==-=
∴-= 122
1(1)293
p p p p <<∴-=∴= ()33
13421323(1)4()3381
P X C p p ==-=⨯⨯=
故选：D 【点睛】
本题考查二项分布概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
12．已知函数32()631f x ax x x =+-+在区间(1,2)上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,3)-∞- B ．(,3]-∞-
C ．7,4⎛
⎫-∞-
⎪⎝⎭
D ．73,4
⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦
【答案】B
【解析】由函数()f x 在区间(1,2)是减函数，转化为函数()f x 的导数在区间(1,2)小于等于0恒成立来解. 【详解】
∵函数32
()631f x ax x x =+-+在区间(1,2)上是减函数，
∴'
2
2
()31233(41)0f x ax x ax x =+-=+-≤在区间(1,2)上恒成立，
即2
14x
a x -≤在区间(1,2)上恒成立， 又∵22
2
14141()44(2)4,x x x x x -=-+-=--(1,2)x ∈，11(,1)2x ∈， ∴2147
(3,)4
x x -∈--，则有3a ≤-，即实数a 的取值范围为(,3]-∞-. 故选：B. 【点睛】
考查导数和函数的单调性，利用导数解决函数的恒成立问题.
二、填空题
13．如图，用K ．1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且1A 、2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K ．1A 、2A 正常工作的概率依次为0.9，0.7，
0.8，则系统正常工作的概率为______．
【答案】0.846
【解析】根据相互独立事件的乘法公式、对立事件的概率公式计算可得结果. 【详解】
记“K 正常工作”为事件A ，“1A 正常工作”为事件B ，“2A 正常工作”为事件C ， 且事件A 、B 、C 相互独立，
则“系统正常工作”为事件()A B C ⋅+，
因为()P A =0.9，()1[1()][1()]1(10.7)(10.8)P B C P B P C +=---=---=0.94， 所以[()]()()0.90.94P A B C P A P B C ⋅+=⋅+=⨯0.846=. 故答案为：0.846. 【点睛】
本题考查了相互独事件的乘法公式、对立事件的概率公式，属于基础题. 14．某校期末测试理科数学成绩(
)2
~N 90,ξσ
，
统计结果显示(60120)0.8P ξ<<=，若学校理科学生共700人，则本次测试成绩高于120分的学生人数为________. 【答案】70
【解析】先求出(120)P ξ>,再求出本次测试成绩高于120分的学生人数. 【详解】
由题得1
(90120)(60120)0.42
P P ξξ<<=
<<=， 所以(120)P ξ>=0.5-0.4=0.1.
所以本次测试成绩高于120分的学生人数为700×0.1=70. 故答案为：70
【点睛】
本题主要考查正态分布概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
15．已知随机变量ξ～(,)B n p ，若3E ξ=，3
2
D ξ=，则(12)
E n ξ-=_____． 【答案】6
【解析】根据二项分布的期望与方差的计算公式，列出方程组求解，得到,n p ，再由期望的性质，即可求出结果. 【详解】
因为随机变量ξ～(,)B n p ，3E ξ=，32
D ξ=
， 所以33(1)2E np D np p ξξ==⎧⎪⎨=-=⎪⎩，解得：612n p =⎧⎪⎨=⎪⎩
，
因此(12)(612)6126E n E E ξξξ-=-=-=. 故答案为：6. 【点睛】
本题主要考查二项分布的期望与方差，熟记计算公式，以及期望的性质即可，属于常考题型.
16．某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y 的统计数据如下表：
根据上表可得回归直线方程为 1.3y x a =+，据此模型预测，若使用年限为14年，估计维修费约为__________万元． 【答案】18 【解析】【详解】
23456 1.5 4.5 5.5 6.57.0
4,555
x y ++++++++=
===，
则中心点为()4,5，代入回归直线方程可得5 1.34.2ˆ0a
=-⨯=-， 1.30.2y x =-. 当14x =时， 1.3140.218y =⨯-=（万元）， 即估计使用14年时，维修费用是18万元.
故答案为：18.
三、解答题
17．已知函数3
()31f x x x =-+. （1）求()f x 的单调区间； （2）求函数的极值；(要列表).
【答案】（1）增区间为()(),1,1,-∞-+∞，减区间为()1,1-；（2）极大值为3，极小值为1-.
【解析】（1）求导数，根据导数的正负确定函数的单调区间；（2）根据导数的正负列表，从而判断极大极小值，代入求值即可. 【详解】 （1）
3()31f x x x =-+，/2()333(1)(1)f x x x x ∴=-=-+，
设'()0f x =可得1x =或1x =-.
①当/
()0f x >时，1x >或1x <-；
②当/
()0f x <时，11x -<<，
所以()f x 的单调增区间为()(),1,1,-∞-+∞，单调减区间为：()1,1-.
（2）由（1）可得，当x 变化时，/
()f x ，()f x 的变化情况如下表：
当1x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为(1)3f -= 当1x =时，()f x 有极小值，并且极小值为(1)1f =-. 【点睛】
本题考查利用导数求函数的单调区间和极值，属于基础题.
18．已知函数32
()f x x bx ax d =+++的图象经过点()0,2P ，且在点()
()
1,1M f --处的切线方程为670x y -+=. （1）求函数()y f x =的解析式；
（2）求函数()y f x =的单调区间
【答案】（1）f （x ）=x 3﹣3x 2﹣3x+2；（2）f （x ）的单调增区间为（﹣∞,1﹣
），（1+
,+∞）；单调减区间为（1﹣
,1+
）.
【解析】【详解】 分析：（1）求出导函数'()f x ，题意说明(0)2f =，()11f -=，'(1)6f -=，由此
可求得,,a b d ；
（2）解不等式'()0f x >得增区间，解不等式'()0f x <得减区间. 详解：（1）∵f （x ）的图象经过P （0，2），∴d=2， ∴f （x ）=x 3+bx 2+a x+2，f'（x ）=3x 2+2bx+a ． ∵点M （﹣1，f （﹣1））处的切线方程为6x ﹣y+7=0 ∴f'（x ）|x=﹣1=3x 2+2bx+a =3﹣2b+a =6①，
还可以得到，f （﹣1）=y=1，即点M （﹣1，1）满足f （x ）方程，得到﹣1+b ﹣a+2=1② 由①、②联立得b=a =﹣3 故所求的解析式是f （x ）=x 3﹣3x 2﹣3x+2． （2）f'（x ）=3x 2﹣6x ﹣3．令3x 2﹣6x ﹣3=0，即x 2﹣2x ﹣1=0.解得x 1=1- ,x 2=1+
.
当x<1-,或x>1+
时，f'（x ）>0；当1-<x<1+
时，f'（x ）<0.
故f （x ）的单调增区间为（﹣∞,1﹣），（1+,+∞）；单调减区间为（1﹣
,1+
）
点睛：（1）过曲线()y f x =上一点00(,())x f x 处的切线方程是
000()'()()y f x f x x x -=-；（2）不等式'()0f x >解集区间是函数()f x 的增区间，
不等式'()0f x <的解集区间是()f x 的减区间. 19．已知函数()ln a
f x x x
=-
. (1)当0a >时，判断()f x 在定义域上的单调性； (2)若()f x 在[]1,e 上的最小值为
3
2
，求a 的值． 【答案】（1）f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数 （2）a e 【解析】(1)先对函数求导，再对a 分类讨论求出()f x 在定义域内的单调性.(2)对a 分类讨论，求出函数的最小值，再令最小值为3
2
求a 的值. 【详解】
(1)由题意f(x )的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝
1x ＋2a
x ＝2+x a x
. 当a >0时，f '(x )>0恒成立，故f(x )在(0，＋∞)上是单调递增函数． (2)由(1)可知，f′(x)＝2
+x a
x .
①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f′(x )≥0在[1，e]上恒成立，此时f(x )在[1，e]上为增函数，所以f(x)min ＝f(1)＝－a ＝
32，所以a ＝－3
2
(舍去)． ②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f′(x )≤0在[1，e]上恒成立，此时f(x )在[1，e]上为减函数，所以f(x)min ＝f(e)＝1－
a e ＝32
，a ＝－2e
(舍去)．
③若－e<a <－1，令f′(x )＝0得x ＝－a ，当1<x<－a 时，f′(x )<0，所以f(x )在[1，－a ]上为减函数；当－a<x <e 时，f′(x )>0，所以f(x )在[－a ，e]上为增函数，所以f(x)min ＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝
3
2
，a ＝－e . 综上所述，a ＝－e . 【点睛】
(1)本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分类讨论分析推理的能力.(2)解答本题的关键是对a 分类讨论. 20．已知函数32()f x x ax bx c =+++在2
3
x =-与1x =时都取得极值． （1）求,a b 的值与函数()f x 的单调区间；
（2）若对[1,2]x ∈-,不等式2
()f x c <恒成立，求c 的取值范围．
【答案】解：（1）1,22
a b =-=-，递增区间是（﹣∞，2
3-）和（1，+∞），递减区间
是（2
3
-
，1）．（2）1,2c c <->或 【解析】（1）求出f '（x ），由题意得f '（2
3
-
）＝0且f '（1）＝0联立解得a 与b 的值，然后把a 、b 的值代入求得f （x ）及f '（x ），讨论导函数的正负得到函数的增减区间； （2）根据（1）函数的单调性，由于x ∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值为f （2），代入求出最大值，然后令f （2）＜c 2列出不等式，求出c 的范围即可． 【详解】
（1）()3
2
f x x ax bx c =+++，f '（x ）＝3x 2+2ax +b
由()2124'0393'1320f a b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=++=⎩
解得，122
a b ⎧=-⎪
⎨⎪=-⎩
f '（x ）＝3x 2﹣x ﹣2＝（3x +2）（x ﹣1），函数f （x ）的单调区间如下表：
所以函数f （x ）的递增区间是（﹣∞，23-）和（1，+∞），递减区间是（23
-，1）． （2）因为()[]3
2
12122f x x x x c x =-
-+∈-，，，根据（1）函数f （x ）的单调性， 得f （x ）在（﹣1，23-）上递增，在（2
3
-，1）上递减，在（1，2）上递增，
所以当x 23=-时，f （x ）2227=
+c 为极大值，而f （2）＝22
227
c c +>+，所以f （2）＝2+c 为最大值．
要使f （x ）＜2c 对x ∈[﹣1，2]恒成立，须且只需2c ＞f （2）＝2+c ． 解得c ＜﹣1或c ＞2． 【点睛】
本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题．
21．在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习.复课后进行了摸底考试，某校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查.知道其中有25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了如下的等高条形图：
（Ⅰ）是否有99%的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关”；
（Ⅱ）将频率视为概率，从全校高三学生这次数学成绩超过120分的学生中随机抽取10人，求抽取的10人中每天在线学习时长超过1小时的人数的数学期望和方差.
()20P K k ≥ 0.050 0.010 0.001
0k
3.841 6.635 10.828
()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++ 【答案】（Ⅰ）没有；（Ⅱ）()6E X =，() 2.4D X =.
【解析】（1）根据条形图提供的数据完成列联表，然后再将数据代入公式
()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，求得2K ，与临界表对比下结论. （2）由列联表得到数学成绩超过120分的学生每天在线学习时长超过1小时的概率，然后用二项分布的期望和方差公式求解. 【详解】
（Ⅰ）依题意，得22⨯列联表
数学成绩 在线学习时长
120≤分
120>分
合计
∵22
45(1515510)441
5.5125
6.6352025252080
K ⨯-⨯===<⨯⨯⨯
∴没有99%的把握认为“高三学生的这次摸底成绩与其在线学习时长有关”； （Ⅱ）从上述22⨯列联表中可以看出：
这次数学成绩超过120分的学生中每天在线学习时长超过1小时的频率为15
0.625
=， 则()~10,0.6X B ，
∴()100,66E X =⨯=，()()100.610.6 2.4D X =⨯⨯-=. 【点睛】
本题主要考查独立性检验和二项分布的期望与方差，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
22．2018年全国数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余的竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛.规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛.假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是1
4
，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立.
（1）求该学生进入省队的概率.
（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望. 【答案】（1）
47128；（2）分布列详见解析，26964
. 【解析】【详解】试题分析：
(1)由题意结合对立事件概率公式可得：该学生进入省队的概率为
47
128
； (2)由题意可知ξ的可能取值为2,3,4,5，求解相应的概率值得到分布列，结合分布列计
算可得ξ的数学期望为269
64
. 试题解析：
（1）记“该生进入省队”的事件为事件A ，其对立事件为A ，则
()34
4
11333814444128
P A C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=
⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ∴()()
814711128128
P A P A =-=-
=. （2）该生参加竞赛次数ξ的可能取值为2,3,4,5.
()2
112416
P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()1
21313344432P C ξ==⨯⨯⨯=
， ()21
31314444P C ξ⎛⎫==⨯⨯⨯+ ⎪⎝⎭ 4
3278127425625664⎛⎫=+=
⎪⎝⎭. ()3
14
1327
54464
P C ξ⎛⎫==⨯⨯=
⎪⎝⎭. 故ξ的分布列为：
()13272726923451632646464
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=.。