2017届黑龙江虎林一中高三(上)月考一数学(理)试题(版)资料

2017届黑龙江虎林一中高三（上）月考一数学（理）试题
一、选择题
1．余弦函数cos()4y x π=+
在下列哪个区间为减函数（ ） A ．3
,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B ．[],0π-
C ．3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
D ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【答案】C
【解析】试题分析：由题意得，c o s ()4y x π
=+的
单调减区间为)(4
3242Z k k x k ∈+≤≤-πππ
π,综合分析故选C ． 【考点】余弦函数的单调性.
2．已知4tan 3
x =
，且x 在第三象限，则cos x =（ ） A ．45 B ．45
- C ．35 D ．35- 【答案】D
【解析】试题分析：由题意得，因为4tan 3x =，所以3
4cos sin =x x ，1cos sin 22=+x x ，得53cos ±=x ，又因为x 在第三象限，那么53cos -=x ，故选D ． 【考点】1.同角三角函数的基本公式；2.象限三角函数符号.
3．若12
()log (21)
x f x x =-，则()f x 的定义域为（ ） A ．1(,1)2 B ．1
(,)2
+∞
C ．1(,1)(1,)2+∞
D ．1(,2)2
【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，012>-x 且0)12(log 21≠-x ，求解可得2
1>
x 且1≠x ，故选C ．
【考点】1.对数函数的性质；2.分式的定义.
4．下列函数中是偶函数且值域为(0,)+∞的函数是（ ）
A ．|tan |y x =
B ．1lg 1
x y x +=-
C ．13
y x = D ．2y x -=
【答案】D
【解析】试题分析：由题意得，A 选项，|tan |y x =的值域为),0[+∞，故错误；B 选项，
1lg 1x y x +=-为奇函数，不为偶函数，故错误；C 选项，13y x =为奇函数，不为偶函数，故错误；D 选项既为偶函数而且值域为(0,)+∞，故选D ．
【考点】1.函数的奇偶性判断；2.函数的值域.
5．函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间（ ）
A ．1(,0)4-
B ．1(0,)4
C ．11(,)42
D ．13(,)24 【答案】C
【解析】试题分析：由题意得，
01)1(,02)4
1(,01)21(,02)0(4>+=<-=>-=<-=e f e f e f f ，根据函数零点的判定定理，故选C ．
【考点】函数零点的判定定理.
6．已知集合{}2|20A x x x =--<1|lg 1x B x y x -⎧
⎫==⎨⎬+⎩⎭
，在区间(3,3)-上任取一实数，则x A B ∈ 的概率为（ ）
A ．
18 B ．14
C ．13
D ．112 【答案】C
【解析】试题分析：由题意得，集合}21{<<-=x x A ，集合}11{<<-=x x B ，得
}11{<<-=⋂x x B A ，由几何概型可知}11{<<-=⋂x x B A 的长度为2，
而)3,3(-的长度为6，则概率为3
162=，故选C ． 【考点】1.集合的交并集运算；2.几何概型.
7．已知函数2()(1)x f x e x =-+（e 为自然对数的底），则()f x 的大致图象是（ ）
【答案】C
【解析】试题分析：由题意得，求出导函数)1(2)('+-=x e x f x ，利用导函数判断函数的单调性，求出交点的横坐标的范围，然后根据范围判断函数的单调性得出选项，故选C ．
【考点】1.导函数的应用；2.数形结合.
8．已知函数2,0,()4,0x a x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩
有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(4,)+∞ B ．[4,)+∞
C ．(,4]-∞
D ．(,4)-∞
【答案】B
【解析】试题分析：由题意得，当0≤x 时，a x f x +=2)(单调递增，但
a a x f x >+=2)(无最小值，当0>x 时，4424)(=∙≥+=x
x x x x f ，有最小值为4，综合可知4≥a ，故选B ．
【考点】1.分段函数的应用；2.指数函数的单调性；3.基本不等式.
9．4cos50tan 40︒-︒=（ ）
A
C
．1
【答案】A
【解析】试题分析：由题意可得，︒
︒-︒︒=︒-︒=︒-︒40cos 40sin 40cos 40sin 440tan 40sin 440tan 50cos 4
==A ． 【考点】1.两角和与差的正弦函数；2.三角函数的化简求值.
10．设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩
，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足123()()
()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ） A ．2026(,]33 B ．2026(,)33
C ．11(,6]3
D ．11(,6)3
【答案】D
【解析】试题分析：由题意可得，函数)(x f 的图象如下图所示，若存在互不相的实数
321,,x x x 满足k x f x f x f ===)()()(321，则)4,3(-∈k ，不妨令321x x x <<，则
)0,37(1-∈x ，632=+x x ，故12311(,6)3
x x x ++∈，故选D ．
【考点】1.分段函数的解析式及图象的作法；2.函数值域的应用；3.函数方程的综合运用；4.数形结合思想.
【方法点睛】本题主要考查的是分段函数的解析式及其图象的作法，函数的值域的应用，函数与方程的综合应用等知识，考查了运算求解能力，数形结合思想，化归与转化思想，属于中档题，此类题目不要怕，根据题意正确的画出图象，数形结合，会非常容易找到满足)()()(321x f x f x f ==时321,,x x x 的限定条件，以此作为突破口，便能解决此类问题，因此正确的画出图象，利用数形结合是解这类题目的关键.
11．已知函数2()sin 21
x f x x =++，则)2()1()0()1()2(f f f f f +++-+-的值（ ） A ．0 B ．5
C ．4
D ．1
【答案】B
【解析】试题分析：由题意可得， 2()sin 21
x f x x =++，2)()(=-+∴x f x f ，则(0)1f =，(1)(1)(2)(2)2
f f f f +-=+-=，所以5)2()1()0()1()2(=+++-+-f f f f f ，故选B.
【考点】1.函数相关性质；2.函数求值；3.化归思想.
【思路点睛】本题主要考查的是对函数)(x f 的变形以及观察最终求值的猜想，从而得出变形方法的化归思想的应用，属于中档题，看完题目之后，千万不要被2sin ,1sin 具体值为多少而难倒，陷入死胡同，而应该观察所要求的值，会发现自变量互为相反数是成对出现，那么很显然要求出)()(x f x f -+之间的关系了，通过对)()(x f x f -+的变形，可知2)()(=-+x f x f 为一定值，题目得到解答，所以此类题目条件和所求要结合起来看，才能大胆的猜想，最后得出结果.
12．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x a x
≥恒成立，则a 的取值范围是（ ）
A ．(,0]-∞
B ．(,1]-∞
C ．[]2,1-
D ．[]2,0-
【答案】D
【解析】试题分析：由题意可得本题主要考查分类讨论思想,当0>x 时，若满足已知条件，则有ax x ≥+)1ln(，令ax x x g -+=)1ln()(,则，要使得条件满足，则恒有0)('≥x g ，故有0≤a ；当0≤x 时，要使ax x x ≥+-22，则有0)2(2≥+-x a x .当0≠x 时，有2-≥x a .综上所述，a 的取值范围是]0,2[-，故选D.
【考点】1.函数与方程的应用；2.导数的综合应用.
【思路点睛】本题主要考查的是函数与方程的应用和导数的综合应用，属于中档题，此类题目由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数)(x f y =的图象，再与函数ax y =的图象结合，由导数求切线斜率可得l 的斜率，进而数形结合可得a 的范围，正确的画出分段函数的图象，利用数形结合的思想，加上导数的几何意义去求解是解这类题目的关键.
二、填空题
13．若函数32()(2)2f x a x ax x =+-+为奇函数，则曲线()y f x =在点(1,(1))f --处
的切线方程为 ．
【答案】840x y -+=
【解析】试题分析：由题意得，因为)(x f 为奇函数，那么0=a ，则x x x f 22)(3+=，
26)('2+=x x f ，8)1('=-f ，那么曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程为840x y -+=.
【考点】导数的几何意义．
14．已知函数2
12()log ()f x x ax a =-+在区间[2,)+∞上是减函数，则实数a 的取值范
围是 ．
【答案】{}|4a a <
【解析】试题分析：由题意得，根据复合函数的单调性法则可知，内层函数a ax x x g +-=2)(在),2[+∞上是单调增函数且0)(min >x g ，即22
≤a 且0)2(>g ，综合可得4<a .
【考点】1.对数函数的性质；2.复合函数的单调性法则；3.二次函数的单调性．
【思路点睛】本题主要考查的是对数函数的性质，复合函数的单调性法则，二次函数的
单调性，属于基础题，此类题目主要是要弄明白复合函数的单调性法则——同增异减原则，外层函数为减函数，要复合函数为减函数，内层函数a ax x x g +-=2)(在),2[+∞上必须为单调增函数，那么对称轴一定在2的左侧，即22
≤a ，同时易错的地方就是不考虑对数的真数要大于0，所以复合函数的单调性法则的正确运用是解这类题的关键.
15．函数()f x 的定义域为实数集R ，21()1,10()2log (1),03
x x f x x x ⎧--≤<⎪=⎨⎪+≤<⎩对于任意的x R ∈，
(2)(2)f x f x +=-，若在区间[]5,3-上函数()()g x f x mx m =-+恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】11[,)26
-- 【解析】试题分析：由题意得，任意的R x ∈都有)2()2(-=+x f x f .∴函数)(x f 的周期是4，∵在区间]3,5[-上函数()()g x f x mx m =-+恰好有三个不同的零点，即函数)(x f 与函数m mx x h -=)(在区间]3,5[-上有三个不同的交点，在同一直角坐标系上画出两个函数的图象，得到15011101---<≤---m 即6
121-<≤-m ．
【考点】1.分段函数的应用；2.函数零点的判定定理；3.数形结合.
【思路点睛】本题主要考查的是函数的性质,分段函数的应用，函数零点的判定定理，数形结合，属于中档题，此题由已知条件可得，)(x f 的周期，根据周期性，将分段函数在]3,5[-区间上的图象画出来，根据零点的个数，画出函数m mx x h -=)(在区间
]3,5[-上的图像，由数形结合，可得出)(x h 的极限情况，从而得出斜率的范围，进一步得到m 的范围，此类题目的关键之处就是要画出标准的图形，利用数形结合的思想去解决问题.
16．对定义在区间D 上的函数()f x 和()g x ，如果对任意x D ∈，都有|()()|1
f x
g x -≤
成立，那么称函数()f x 在区间D 上可被()g x 替代，D 称为“替代区间”．给出以下问题：
①2()1f x x =+在区间(,)-∞+∞上可被21()2g x x =+
替代； ②()f x x =可被1()14g x x =-替代的一个“替代区间”为13,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦
； ③()ln f x x =在区间[]1,e 可被()g x x b =-替代，则22e b -≤≤；
④2()lg()f x ax x =+（1x D ∈），()sin g x x =（2x D ∈），则存在实数a （0a ≠），使得()f x 在区间12D D 上被()g x 替代； 其中真命题有 ．
【答案】①②③
【解析】试题分析：由题意得，①∵12
1)()(<=
-x g x f ,)(x f 可被)(x g 替代；∴该命题为真命题； ②141)()(-+=-x
x x g x f ,设22414)(',141)(x x x h x x x h -=-+=；∴)21,41[∈x 时，0)('<x h ，]23,21(∈x 时，0)('>x h ；∴0)21(=h 是)(x h 的最小值,又4
1)41(=h ，32)23(=h ，∴1)()(<-x g x f ，∴)(x f 可被)(x g 替代的一个替代区间为]2
3,41[,∴该命题是真命题；③由题意知：1ln )()(≤+-=-b x x x g x f 在],1[e x ∈上恒成立；设b x x x h +-=ln )(,则x
x x h -=1)('；∵],1[e x ∈∴0)('≤x h ；∴)(x h 在],1[e 上单调递减,22≤≤-∴b e ∴该命题为真命题；④1）若0>a ,解0
2>+x ax 得,01>-<x a
x 或,可取R D D =+∞=21),,0(,∴),0(21+∞=⋂D D ,可取π=x ,则1)()(2>+=-ππa x g x f ,∴不存在实数)0(>a a ,使得)(x f 在区间21D D ⋂上被
)(x g 替代；2）若0<a ,解02>+x ax 得,01<->x a
x 或；∴可取R D D =-∞=21),0,(,∴)0,(21-∞=⋂D D ，取π-=x ,则1)()(2>+=-ππa x g x f ,∴不存在实数)0(<a a ,使得)(x f 在区间21D D ⋂上被)(x g 替代,综上得,不存在实数)0(≠a a ,使得)(x f 在区间21D D ⋂上被)(x g 替代;∴该命题为假命题；∴真命题的有：①②③,故答案为：①②③．
【考点】1.命题的真假判断与应用；2.分段函数的应用；3.新定义的理解；4.导数的应用.
【思路点睛】本题主要考查的是命题的真假判断，替代定义的理解，函数导数判断函数单调性，求函数在闭区间上最值的方法，综合性较强，有一定的难度，最主要是对
|()()|1f x g x -≤的理解，那么此时需要构造函数)()()(x g x f x h -=，然后对其值域进行判断，看是否在满足题意，这个过程主要用到的方法就是求导的方法去求最值，正确构造函数，利用单调性求值域是解决这类问题的关键.
三、解答题
17．已知函数2()log (|1||2|)f x x x m =++--．
（1）当7m =时，求函数()f x 的定义域；
（2）若关于x 的不等式()2f x ≥的解集为R ，求m 的取值范围．
【答案】（1）),4()3,(+∞⋃--∞；（2）]1,(--∞.
【解析】试题分析：（1）先求得|1||2|7x x ++->，然后分类讨论去绝对值符号，求解即可得到答案；（2）由关于x 的不等式2)(≥x f ，得到|1||2|4x x m ++-≥+，因为已知解集为R ，根据绝对值不等式可得到321≥-++x x ，令34≤+m ，求解即可得到答案.
试题解析：（1）由题设知：|1||2|7x x ++->，
不等式的解集是以下不等式组解集的并集：
2,127,x x x ≥⎧⎨++->⎩或12,127,x x x ≤<⎧⎨+-+>⎩或1,127,x x x <⎧⎨---+>⎩
解得函数()f x 的定义域为(,3)(4,)-∞-+∞ ．
（2）不等式()2f x ≥，即|1||2|4x x m ++-≥+，
∵x R ∈时，恒有|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥++-=，
不等式|1||2|4x x m ++-≥+解集是R ，
∴43m +≤，m 的取值范围是(,1]-∞-．
【考点】1.绝对值不等式的应用;2.分类讨论；3.对数的性质．
18．已知命题p ：指数函数2()lg(4)f x ax x a =-+的定义域为R ；命题q ：不等式
222x x ax +>+，对(,1)x ∀∈-∞-上恒成立．
（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；
（2）若命题“p q ∨”为假命题，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）2>a ；（2）21≤≤a .
【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式恒成立问题；（2）分别求出命题q p ,成立的等价条件，利用q p ∨为假命题，可得到命题q p ,同时为假命题，从而确定实数a 的取值范围.
试题解析：（1）由题意：当0a =时，()lg(4)f x x =-的定义域不为R ，不合题意． 当0a ≠时，0∆<且0a >，故2a >．
（2）若q 为真，则
221a x x >-+，对(,1)x ∀∈-∞-上恒成立，221y x x =-+为增函数且(,1)x ∈-∞-,
故1a ≥．
“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，等价于p ，q 一真一假，故12a ≤≤．
【考点】1.复合命题的真假；2.一元二次不等式.
19．已知函数2()1ax b f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且12()25
f =． （1）求()f x 的解析式；
（2）用定义证明()f x 在(1,1)-上是增函数；
（3）解不等式(1)()0f t f t -+<．
【答案】（1）1)(2+=x x x f ；（2）证明见解析；（3）2
10<<t . 【解析】试题分析：（1）根据条件建立方程关系即可求出函数)(x f 的解析式；（2）利用定义证明)(x f 在(1,1)-上是增函数；（3）根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可解不等式(1)()0f t f t -+<.
试题解析：（1）(0)0,12(),25f f =⎧⎪⎨=⎪⎩即1a =，0b =,1
)(2+=x x x f （2）设1x ∀，2(1,1)x ∈-且12x x <， 则
12122212()()11x x f x f x x x -=
-++1221122212()()(1)(1)x x x x x x x x -+-=++21122212()(1)(1)(1)x x x x x x --=++， ∵210x x ->，1210x x -<，2110x +>，
2210x +>， ∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，∴()f x 在(1,1)-上是增函数．
（3）依题意得，(1)()f t f t -<-，
则111,11,1,t t t t -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩∴
102t <<． 【考点】1.函数奇偶性的应用；2.利用定义法证明函数的单调性.
20
．已知函数2()2cos cos f x x x x a =++，且当0,
6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为2．
（1）求a 的值，并求()f x 的单调增区间；
（2）将函数()y f x =的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得图象向右平移
12π个单位，得到函数()y g x =，求方程()2g x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的所有根之和． 【答案】（1）0=a ，)](6,3[Z k k k ∈+-π
ππ
π；（2）3
π. 【解析】试题分析：（1）利用三角函数中的恒等变换应用，可求得1)62sin(2)(+++=a x x f π，]6
,0[π
∈x 时)(x f 的最小值为2，可求得a ，利用正弦函数的单调性可求)(x f 的单调增区间；（2）利用函数)sin(ϕω+=x A y 的图象变换，可求得2)(=x g ，从而可求出答案. 试题解析：（1）()2sin(2)16f x x a π
=+++， 因为
0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为2，所以22a +=，即0a =， 由22,2622x k k πππππ⎡⎤+
∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，可得()f x 的单调区间为
,36x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈． （2）()2sin(4)16g x x π
=-+， 由()2sin(4)126g x x π=-+=，
1sin(4)62x π-=， 112x π
=，24x π
=，121243x x π
π
π
+=+=．
【考点】1.三角函数中的恒等变换；2.复合三角函数的单调性.
21
60︒的扇形的AB 弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设矩形PNMQ 的面积为y ． （1）按下列要求写出函数关系式：
①设PN x =，将y 表示成x 的函数关系式； ②设POB θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求y 的最大值．
【
答
案
】（
1
）
①
)2
30(33322<<-
-=x x x x y ；②
)3
0(s
i n 3c o s s i n 32
π
θθθθ<
<-=y ；（2）
2
3. 【解析】试题分析：（1）①通过求出矩形的边长，求出面积的表达式；②利用三角函数
的关系，求出矩形的邻边，求出面积的表达式；（2）利用（1）②的表达式，化为一个角的一个三角函数的形式，根据θ的范围确定矩形面积的最大值. 试题解析：（1）①因为QM PN x ==
，所以
MN ON OM =-=，
所以y MN PN =
⋅x =
2
x
，
3(0)2x <<． ②当POB θ∠=
时，QM PN θ==，则sin OM θ=
，又ON θ，
所以sin MN ON OM θθ=-=-，
所以2
3sin cos y MN PN θθθ=⋅=，（
03π
θ<<
）．
（2
）由②得，
)6y πθ=+， 当
6π
θ=
时，y
取得最大值为2．
【考点】1.三角函数中的恒等变换；2.两角和与差的正弦函数.
【方法点睛】本题主要考查的是函数解析式的求法，三角函数的最值的确定，三角函数公式的灵活运用，计算能力，属于中档题，此题是课本题目的延伸，如果（2）选择（1）①中的解析式，需要用到导数求解，麻烦，不是命题者的本意，因此正确的选择是选择（1）②中的解析式，化成一个角的一个三角函数的形式，根据θ的范围确定矩形面积的最大值,此类题目选择正确的解析式是求解容易与否的关键. 22．已知函数2()(1)ln f x a x x =--．
（1）若()y f x =在2x =处取得极小值，求a 的值； （2）若()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围；
（3）求证：当2n ≥时，2211132ln 2ln 3ln 22n n n n n
--+++>+…． 【答案】（1）
81；（2）2
1
≥a ；（3）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）求函数)(x f 的导数，根据0)('=x f 求出a 的值，但需要验证；（2）需要分类讨论，根据导数求出函数的最小值；（3）由（2）可得1
2
ln 12->x x ，利用裂项求和证明即可.
试题解析：（1）∵()f x 的定义域为(0,)+∞，
1'()2f x ax x =-
，
∵()f x 在2x =处取得极小值，∴'(2)0f =，即
1
8a =
，此时，经验证2x =是()
f x 的极小值点，故
18a =
． （2）∵
1'()2f x ax x =-
，
①当0a ≤时，'()0f x <，∴()f x 在[1,)+∞上单调递减，∴当1x >时，()(1)0f x f <=矛盾．
②当0a >时，221'()ax f x x -=
，令'()0f x >，
得x >；'()0f x <，
得0x <<
（i
）当1>，即102a <<
时，x ∈时，'()0f x <，即()f x 递减，∴()(1)0f x f <=矛盾．
（ii ）
当1≤，即12a ≥
时，[1,)x ∈+∞时，'()0f x >，即()f x 递增，∴()(1)0f x f ≥=满足题意．
综上:
1
2a ≥
．
（3）证明：由（2）知令12a =
，当[1,)x ∈+∞时，2
1(1)ln 0
2x x --≥（当且仅当1
x =时取“=”）
∴当1x =时，2
12
ln 1x x >-．
即当2,3,4,,x n =…，有2221111112()
ln 2ln 3
ln 21311n n +++>+++--- (1111)
2()
132435(1)(1)n n =++++⨯⨯⨯-+…
1111111(1)()()()3243511n n =-+-+-++--+…223222n n n n --=
+．
【考点】1.导数的综合应用；2.不等式恒成立问题；3.不等式的证明及裂项求和的方法. 【方法点睛】本题主要考查的是导数的综合应用，恒成立的问题，以及不等式的证明及裂项法求和的方法，属于难题，前面两问相对来说较简单，但（2）问中恒成立问题，往往要分类讨论，合理的分类标准是解题的关键，因此准确的求出a 的范围，对第（3）问有非常大的影响，因为（2）中的闭区间上的值是（3）中a 需要赋的值，对于数列类不等式的证明，正确发现规律，裂项求和是证明此类题目的不二求法.。