高二数学上学期期末考试试题含解析试题_2 2

滨海新区2021-2021学年度第一学期期末检测试卷
高二数学
一．选择题〔一共12小题〕 1.i 是虚数单位，复数21i
i
-等于( ) A. 1i -- B. 1i -+
C. 1i -
D. 1i +
【答案】B 【解析】
【分析】
直接利用复数的除法运算进展化简计算．
【详解】
()()()2122211112
i i i i i i i i +-+===-+--+． 应选B ．
【点睛】此题考察了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的一共轭复数，是根底题．
2.“()2,x ∀∈+∞，220x x ->〞的否认是( ).
A. ()0,2x ∃∈-∞，2
0020x x -≤ B. ()2,x ∀∈+∞，220x x -≤ C. ()02,x ∃∈+∞，2
0020x x -≤
D. (),2x ∀∈-∞，220x x ->
【答案】C 【解析】 【分析】
“∀x ∈M ，p 〔x 〕〞的否认为“∃x ∈M ，￢p 〔x 〕〞．
【详解】依题意，“∀x ∈〔2，+∞〕，x 2﹣2x ＞0”的否认是：()02,x ∃∈+∞，2
0020x x -≤，
应选C ．
【点睛】此题考察了命题的否认，要注意命题的否认和否命题的区别．此题属于根底题． 3.假设,,a b c ∈R ，且a b >，那么以下结论一定成立的是〔 〕 A. ac bc >
B.
11a b
< C. 22a b >
D.
a c
b
c ->-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据不等式的根本性质，即可选出答案. 【详解】当0c
时，=ac bc ，错误.
当1,1a b ==-时，
,11
11a b
==-，11a b >，错误.
当1,1a b ==-时，22=1=a b ，错误. 因为a b >，所以a c b c ->-，正确. 应选D.
【点睛】此题考察不等式的根本性质，属于根底题.假设不等式不成立，只需举出一个反例说明即可.此类题型常用举出反例和目的分析法来做题.
4.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，假设132,12a S ==，那么6a =( ) A. 8 B. 10
C. 12
D. 14
【答案】C 【解析】
试题分析：假设公差为d ,依题意可得1
323212,22
d d ⨯+
⨯⨯=∴=.所以
62(61)212a =+-⨯=.应选C.
考点：等差数列的性质. 【此处有视频，请去附件查看】
5.等比数列{}n a 中，11a =，且458
125
8a a a a a a ++=++，那么5S =〔 〕
A. 31
B. 32
C. 63
D. 64
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出公比，再根据求和公式计算即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，11a =，且
458
125
8a a a a a a ++=++，
34734
81q q q q q q
++∴==++，即2q ，
()551511231112
a q S q
--∴=
==--. 应选：A.
【点睛】此题考察等比数列的通项公式和等比数列的前n 项和，属于根底题.
6.中国古代数学著作?算法统宗?中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．〞其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．〞那么该人第四天走的路程为〔 〕 A. 3里
B. 6里
C. 12里
D. 24里
【答案】D 【解析】
【详解】设第一天走1a 里,那么{}n a 是以1a 为首项,以
1
2
为公比的等比数列， 由题意得：1661 12378112
a S ⎛⎫- ⎪
⎝⎭==-， 解得1192a =(里)，
∴3
41111922428a a ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭
(里). 应选D.
7.双曲线22
2
11643
x y m m -=+-的实轴长为10，那么该双曲线的渐近线的斜率为〔 〕 A. 53
±
B. 35
±
C. 54
±
D. 45
±
【答案】B 【解析】 【分析】
利用双曲线22
2
11643
x y m m -=+-的实轴长为10，求出m ，即可求出该双曲线的渐近线的斜率.
【详解】由题意21625m +=，430m ->，所以3m =
3， 所以双曲线的渐近线的斜率为35
±
. 应选：B.
【点睛】此题考察双曲线的方程与性质，考察学生的计算才能，属于根底题.
8.“b
是1
1b
是2
与2的等比中项〞的〔 〕
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
根据等差中项和等比中项的定义，结合充分条件和必要条件的定义进展判断即可．
【详解】假设b 是11
那么1b =
=，
假设b 是2与2的等比中项，
那么1b ==±，
那么“b 是1+1b 是2与2的等比中项〞的充分不必要条件， 应选A.
【点睛】此题主要考察充分条件和必要条件的判断，结合等差中项和等比中项的定义求出b 的值是解决此题的关键． 9.假设正数,x y 满足2
20x xy +-=，那么3x y +的最小值是〔 〕
A. 4
B.
C. 2
D.
【答案】A 【解析】 【分析】 先由2
20x
xy +-=得到2=
-y x x ，推出2
32+=+x y x x
，根据根本不等式即可求出结
果.
【详解】因为正数,x y 满足2
20x xy +-=，所以2
=
-y x x
，
所以2324+=+
≥=x y x x ，当且仅当22x x =，即1x =时，等号成立.
应选A
【点睛】此题主要考察由根本不等式求最值，熟记根本不等式即可，属于常考题型.
10.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，那么双曲线的方程为〔 〕
A. 22
143x y -
= B. 22
134
x y -
= C. 22
11612
x y -=
D. 22
11216
x y -
= 【答案】C 【解析】 【分析】
求出抛物线的准线，即得c =222+=a b c ，可得a ，b ，即可得到双曲线方程.
【详解】抛物线2y =的准线为x =-，那么有双曲线的一个焦点为()
-，
即c =
由2
c e a =
=
，可得4a =，那么b =， 即双曲线方程为22
11612
x y -=.
应选：C.
【点睛】此题考察抛物线和双曲线的方程和性质，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系是解题的关键，属于根底题.
11.假设0a >，0b >，31a b +=，那么11a a b
++的最小值为〔 〕 A. 8 B. 7
C. 6
D. 5
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意可得
()1111434a a
a b a b a b a b b b a +⎛⎫+=+++=++ ⎪⎝⎭
，由根本不等式可得，注意等号成立的条件即可.
【详解】由0a >，0b >，31a b +=，那么
()11111143448a a a
a b a b a b a b b a b b
b a +⎛⎫+=++=+++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当12
,55
a b ==时取“=〞. 应选：A.
【点睛】此题考察“乘1法〞和根本不等式的性质，属于根底题.
12.1F ，2F 是椭圆和双曲线的公一共焦点，P 是它们的一个公一共点．且123
F PF π
∠=，那
么椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为〔 〕
A. 2
B. 4 【答案】D 【解析】 【分析】
根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．
【详解】设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为1a ()1a a >，半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可知，设1PF m =，2PF n =，122F F c =， 椭圆和双曲线的离心率分别为1c e a =
，21
c
e a =，
因P 是它们的一个公一共点，且123
F PF π
∠=
，那么由余弦定理可得：
22242cos
3
c m n mn π
=+-……①
在椭圆中，由定义知2m n a +=，①式化简为：22443c a mn =-……②
在双曲线中，由定义知12m n a -=，①式化简为：22
144c a mn =+……③
由②③两式消去mn 得：2
2
2
1
16412c a a =+，等式两边同除2
c 得22
1
2234a a c c
=+，
即2212
134e e =
+，
由柯西不等式得2
221212
131113e e e e ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，
1211e e ∴
+≤. 应选：D.
【点睛】此题主要考察椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决此题的关键，属于难题． 二．填空题〔一共8小题〕
13.
复数(z i i =为虚数单位〕，那么||z =_______． 【答案】2 【解析】
【分析】
由直接利用复数模的计算公式求解.
【详解】由复数z i =，那么2z ==. 故答案为：2.
【点睛】此题考察复数模的求法，属于根底题.
14.直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为(1,3,)u z =-，向量(3,2,1)v =-与平面α平行，那么z 等于________． 【答案】—9 【解析】 【分析】
由题意可得：u v ⊥，即0u v ⋅=，即可得出z 的值.
【详解】由题意得：u v ⊥，即360u v z ⋅=++=，解得9z =-. 故答案为：9-.
【点睛】此题考察线面位置关系、方程思想方法，推理才能与计算才能，属于根底题. 15.不等式
3
02
x x -<+的解集为_________． 【答案】(2,3)- 【解析】 【分析】
将分式不等式转化为整式不等式求解即可． 【详解】依题意，不等式3
02
x x -<+等价于()()320x x -+<，解得23x -<<， 所以不等式
3
02
x x -<+的解集为()2,3-. 故答案为：()2,3-.
【点睛】此题考察了不等式的解法，主要考察计算才能和转化求解才能，属于根底题． 16.数列{}n a 满足11a =，1
n n a na ，那么34a a +=_________
【答案】8 【解析】 【分析】
由递推关系分别计算234,?
,a a a 即可. 【详解】2132433411,?
22,36,8a a a a a a a a =⨯==⨯===∴+= 故答案为8.
【点睛】此题考察数列递推关系，求数列的项，是根底题.
17.正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是AB 的中点，求1DB 与CE 所成角的余弦值为______．
【答案】
15
【解析】 【分析】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可得到答案.
【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，那么()2,1,0E ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，
()12,2,2B ，
()12,2,2DB =，()2,1,0CE =-，
设直线1DB 与直线CE 所成角为θ，那么1142015
cos 125
DB CE DB CE
θ⋅-+=
=
=⋅⋅， 所以直线1DB 与直线CE 所成角的余弦值为
15
15
. 15【点睛】此题考察直线与平面所成角的余弦值的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
18.直线l 过抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点(1,0)F ，且与抛物线C 相交于A ，B 两点，假设AB 的中点的纵坐标2，那么p =_____，直线l 的方程为______． 【答案】 (1). 2 (2). 10x y --= 【解析】 【分析】
根据抛物线的焦点(1,0)F 可得p 的值，设直线l 的方程为1x ny =+，联立方程，利用AB 的中点的纵坐标2即可得到直线方程.
【详解】由题意，抛物线的焦点(1,0)F ，那么12
p
=，所以2p =，
所以抛物线方程为24y x =，
设()11,A x y ，()22,B x y ，那么124y y +=，直线l 的方程为1x ny =+，
联立241
y x x ny ⎧=⎨=+⎩，消去x 整理得：2
440y ny --=，
由韦达定理得：1244y y n +==，即1n =， 所以直线l 的方程为10x y --=. 故答案为：2，10x y --=.
【点睛】此题主要考察抛物线的根本概念的掌握，以及解析几何的计算才能，韦达定理的应用，属于根底题.
19.{|11}x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立的实数m 的取值集合为M ，不等式
()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，假设x ∈N 是x M ∈的必要条件，那么a 的取值范围是
__________．
【答案】19,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【解析】 【分析】
根据条件进展转化，结合一元二次函数求出集合M ，再求出集合N ，利用必要条件建立不等关系讨论即可.
【详解】由题意，{}|11x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立的实数m 的取值集合为
M ，
2
21124m x x x ⎛
⎫∴=+=+- ⎪⎝
⎭，
当1
2x =-时，取最小值为14
-，当1x =时，取最大值为2，
124m ∴-≤<，即1,24M ⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭
，
假设x ∈N 是x M ∈的必要条件，那么M N ⊆，
当2a a >-，即1a >时，{}|2N x a x a =-<<，那么12421
a a a ⎧
-<-⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎩
，即9
4a >，
当2a a ->，即1a <时，{}|2N x a x a =<<-，那么22141
a a a -≥⎧⎪⎪
<-⎨⎪<⎪⎩，即14a <-，
当2a a -=，即1a =时，此时N =∅，不满足题中条件， 综上所述：a 的取值范围是19,,44⎛
⎫⎛⎫-∞-
⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 故答案为：19,,44⎛
⎫⎛⎫-∞-
⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 【点睛】此题主要考察二次函数在区间上的值域的求解，集合之间包含关系的应用，表达了分类讨论思想的应用，属于根底题. 20.给出以下四个命题
①P 为椭圆2
214
x y +=上任意一点，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，那么12PF F ∆的周长是8；
②M 是双曲线22
145
x y -=上任意一点，F 是双曲线的右焦点，那么||1MF ；
③直线l 过抛物线2
:2(0)C x py p =>的焦点F ，且l 与C 交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，那么121240x x y y +=；
④椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过
椭圆的另一个焦点，今有一个程度放置的椭圆形台球盘，点1F ，2F 是它的焦点，长轴长为2a ，
焦距为2c ，假设静放在点1F 的小球〔小球的半径忽略不计〕从点1F 沿直线出发那么经椭圆壁反射后第一次回到点1F 时，小球经过的路程恰好是4a ． 其中正确命题的序号为__〔请将所有正确命题的序号都填上〕 【答案】②③ 【解析】 【分析】
①求得椭圆中的a ， c ，12PF F ∆的周长为：22a c +，即可判断；
②求得双曲线中的a ，b ，c ，讨论M 在双曲线的左支或者右支上，求得最小值，即可判断；
③设出直线l 的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理，即可判断；
④可假设长轴在x ，短轴在y 轴，对球的运动方向沿x 轴向左直线运动，沿x 轴向右直线运动，以及球不沿x 轴运动，讨论即可.
【详解】①由椭圆方程22
14x y +=，得2a =，c =P 为椭圆2214
x y +=上任意一
点，由椭圆定义知，12PF F ∆的周长为224a c +=+，故①错误；
②M 是双曲线22
145
x y -=上任意一点，且2a =，3c =，F 是双曲线的右焦点，假设M
在双曲线左支上，那么
5MF ≥，假设M 在双曲线右支上，那么1MF ≥，故②正确；
③直线l 过抛物线2
:2(0)C x py p =>的焦点F ，设其方程为2
p
y kx =+
，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线l 代入抛物线的方程可得2220x pkx p --=，由韦达定理可得
2
12x x p =-，又22
2
1212224
x x p y y p p ⋅=⋅=，那么121240x x y y +⋅=，故③正确；
④假设长轴在x ，短轴在y 轴，设1F 为左焦点，2F 为左焦点，以下分为三种情况： i ．球从1F 沿x 轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到1F 路程 是()2a c -；
ii ．球从1F 沿x 轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到1F 路程 是()2a c +；
iii ．球从1F 不沿x 轴斜向上〔或者向下〕运动，碰到椭圆上的点A ，反弹后经过椭圆的另一个焦点2F ，再弹到椭圆上一点B ，经B 反弹后经过点1F ，此时小球经过的路程是4a ； 综上所述：从点1F 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到1F 时，小球经过的路程是
()2a c -或者()2a c +或者4a .故④错误.
故答案为：②③.
【点睛】此题考察圆锥曲线的定义、方程和性质，考察分类讨论思想方法和化简整理的运算才能，属于中档题． 三．解答题〔一共4小题〕
21.公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，479S a =+，且1a ，4a ，13a 成等比数列．
()1求数列{}n a 的通项公式；
()2求数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和公式．
【答案】〔1〕21n a n =+；〔2〕()()
31234212n n n +-⋅++ 【解析】 【分析】
()1运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求
通项公式；
()2运用等差数列的求和公式，可得()2131222
n S n n n n n =+-⋅=+，
211111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
，再由裂项相消求和，可得所求和． 【详解】解：()1公差d 不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，
479S a =+，可得114669a d a d +=++，
且1a ，4a ，13a 成等比数列，可得2
4113a a a =，即()2
111(3)12a d a a d +=+，
解得13a =，2d =，
那么()32121n a n n =+-=+；
()()21
231222
n S n n n n n =+
-⋅=+， 211111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
， 那么数列1n S ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为11111111111232435112n n n n ⎛⎫
-+-+-+⋯+-+- ⎪-++⎝⎭ ()()
11113123
122124212n n n n n +⎛⎫=+--=-⋅ ⎪
++++⎝⎭． 【点睛】此题考察等差数列的通项公式和求和公式的运用，考察方程思想和运算才能，以及数列的裂项相消求和，考察运算才能，属于中档题．
22.如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD⊥平面ABCD ，PA⊥PD，PA=PD ，AB⊥AD，O 为AD
中点，AB=1，AD=2，
〔1〕证明：直线AB∥平面PCO；
〔2〕求二面角P－CD－A的余弦值；
〔3〕在棱PB上是否存在点N，使AN⊥平面PCD，假设存在，求线段BN的长度；假设不存在，说明理由.
【答案】〔1〕详见解析；〔2〕2
3
；〔3
23
.
【解析】
【分析】
〔1〕根据条件AC=CD可得CO AD
⊥，又AB⊥AD，所以AB∥CO，然后根据线面平行的断定定理可得结论；〔2〕以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面PCD和平面ABCD的法向量，根据两向量的夹角求解可得所求余弦值；〔3〕假设存在点N满足条件，设出点N的坐标，根据直线AN的方向向量和平面PCD的法向量平行可得结论．
【详解】〔1〕因为AC=CD，O为AD中点，
所以CO AD
⊥．
又AB⊥AD，
所以AB∥CO，
又AB⊄平面PCO，CO⊂平面PCO，
所以AB∥平面PCO．
〔2〕因为PA=PD，
所以PO⊥AD.
又因为PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD.
因为CO⊂平面ABCD，
所以PO⊥CO.
因为AC=CD，所以CO⊥AD.
如图建立空间直角坐标系O－xyz.
那么A〔0，1，0〕，B〔1，1，0〕，C〔2，0，0〕，D〔0，－1，0〕，P〔0，0，1〕. 设平面PCD的法向量为(,,)
n x y z
=，
那么
0,
0,
n PD
n PC
⎧⋅=
⎨
⋅=
⎩
，得
0,
20.
y z
x z
--=
⎧
⎨
-=
⎩
'
令z=2，那么(1,2,2)
n=-．
又平面ABCD的法向量为OP=〔0，0，1〕，
所以
2 cos,
3
144
n OP
n OP
n OP
⋅
===
++.
由图形得二面角P CD A
--为锐角，
所以二面角P CD A --的余弦值为2
3
．
〔3〕假设存在点N 是棱PB 上一点，使得AN⊥平面PCD ，
那么存在λ∈[0，1]使得()()1,1,1,,BN BP λλλλλ==--=--， 因此()()()1,0,0,,1,,AN AB BN λλλλλλ=+=+--=--. 由〔2〕得平面PCD 的法向量为(1,2,2)n =-. 因为AN⊥平面PCD ， 所以AN ∥n ，即1122
λλλ
--==-. 解得λ=
2
3
∈[0，1]，
所以存在点N 是棱PB 上一点，使AN⊥平面PCD ，此时BN =
23BP =
. 【点睛】〔1〕用向量法求二面角时，先求出两平面法向量的夹角，再通过观察图形得到二面角为锐角还是钝角，最后才能得到结论．
〔2〕解决立体几何中的探究性问题时，一般先假设存在满足条件的元素〔点或者线〕，然后以此作为条件进展推理，看能否得到矛盾，假设得到矛盾，那么假设不成立；假设得不到矛盾，那么假设成立．
23.数列{}n a 的前n 项和为2(*)2
n n n
S n N +=∈ 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；
〔2〕设2(1)n a
n n n n b a a =+-⋅，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．
【答案】〔1〕n a n =〔2〕2122(21)2n n T n n +=+-+ 【解析】 【分析】
〔1〕运用数列的递推式：当1n =时，11a S =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，化简整理可
得所求通项公式；
〔2〕求得n b ，利用数列求和公式：分组求和法，错位相减法，即可得到答案.
【详解】解：〔1〕由2(*)2
n n n
S n N +=∈，得111a S ==． 当2n 时，221(1)(1)
22n n n n n n n a S S n -+-+-=-=-=．
11a =合适上式， n a n ∴=；
〔2〕2(1)2(1)n a n n n n n n b a a n n =+-=⋅+-⋅⋅， 设数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，
那么12322(121)(222)(323)(222)n n T n n =⨯-+⨯++⨯-+⋯+⨯+
232(12223222)[123(21)2]n n n n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯+-+-+⋯--+ 设1232212223222n n n A =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯……① 那么234212122232222n n n A +=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯……②
①-②得：
234221
2221
2121
2(222222)2=22=2(12)12
222n n n n n n A n n n ++++--⨯-+-⨯-+--=++++⋯+． 所以2122(21)2n n n A +=+-；
那么2122[123(21)2]=2(21)2n n n T A n n n n +=+-+-+⋯--++-+
【点睛】此题考察数列的n a 与前n 项的和n S 的关系与求和公式、分组求和方法，错位相减法，考察了推理才能与计算才能，属于中档题． 24.
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22
221x y a b
+=〔a ＞b ＞0〕的上顶点到焦点的间隔 为2，
〔1〕求a ，b 的值．
〔2〕设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过点P 作斜率为k 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点． 〔ⅰ〕假设k ＝1，求△OAB 面积的最大值；
〔ⅱ〕假设PA 2＋PB 2
的值与点P 的位置无关，求k 的值．
【答案】〔1〕24x ＋y 2＝1．〔2〕〔ⅰ〕m 时，S △OAB 获得最大值1．〔ⅱ〕±12. 【解析】
试题分析：〔1〕由椭圆几何条件知上顶点到焦点的间隔 为半长轴长，即a ＝2，又e c a ==，
所以c b ＝1．〔2〕〔ⅰ〕求△OAB 面积的最大值，关键建立其函数关系式，这要用到点到直线间隔 公式来求高，利用两点间间隔 公式来求底边边长：设点P 〔m ，0〕〔－
2≤m≤2〕，直线l 的方程为y ＝x －m ．那么可求得∣AB|＝5
，从而
S △OAB PA 2＋PB 2，再按m 整理，最后根据与点P 的位置无关得到对应项系数为零，从而解出k 的值．
试题解析：〔1〕由题设可知a ＝2，e c a ==，所以c ，故b ＝1． 因此，a ＝2，b ＝1． 2分
〔2〕由〔1〕可得，椭圆C 的方程为2
4
x ＋y 2＝1． 设点P 〔m ，0〕〔－2≤m≤2〕，点A 〔x 1，y 1〕，点B 〔x 2，y 2〕．
(ⅰ)假设k ＝1，那么直线l 的方程为y ＝x －m ．
联立直线l 与椭圆C 的方程，即22
{14y x m
x y =-+=．将y 消去，化简得
2
54
x －2mx ＋m 2－1＝0．从而有x 1＋x 2＝85m ，x 1· x 2＝24(1)5m -， 而y 1＝x 1－m ，y 2＝x 2－m ，
点O 到直线l 的间隔 d
所以，S △OAB ＝12
×|AB|×d＝5
×|m|， 因此，S 2
△OAB ＝425( 5－m 2)×m 2≤22
245()252m m -+＝1． 6分
又－2≤m≤2，即m 2∈[0，4]．
所以，当5－m 2＝m 2，即m 2＝52， m
＝±2
时，S △OAB 获得最大值1． 8分
(ⅱ)设直线l 的方程为y ＝k(x －m).
将直线l 与椭圆C 的方程联立，即2
2()
{14
y k x m x y =-+=． 将y 消去，化简得(1＋4k 2)x 2－8mk 2x ＋4(k 2m 2－1)＝0，解此方程，可得，
x 1＋x 2＝22814mk k +，x 1·x 2＝222
4(1)14k m k -+． 10分
所以，
PA2＋PB2＝(x1－m)2＋y12＋(x2－m)2＋y22＝3
4
(x12＋x22)－2m(x1＋x2)＋2m2＋2
＝
24222
22
(862)(14)(88)
(14)
m k k k k
k
--++++
+
〔*〕. 14分
因为PA2＋PB2的值与点P的位置无关，即〔*〕式取值与m无关，
所以有－8k4－6k2＋2＝0，解得k＝±1
2
．
所以，k的值是±1
2
. 16分
考点：椭圆根本量，直线与椭圆位置关系
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

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