高一物理竞赛春季讲义12_电流 电动势 欧姆定律.学生版

第12讲电流电动势欧姆定律
本讲提纲
1.电流，电压，电动势。

2.欧姆定律，电阻，欧姆定律微分式。

3.导电原理，经典自由电子论。

从电场到电路，我们的同学在物理思维习惯上需要一个质的突破，突破的障碍来源于初中的电学给我们同学交代的概念都是“不解释”的，所以本讲的目的在于让大家从本质上去理解这些概念。

知识模块
第一部分电学参数
引入：电流的发现
1780年，意大利生物学家伽伐尼偶然发现助手用解剖刀接触到青蛙的股神经时，蛙腿发生强烈的抽搐现象。

几年后，伽伐尼在伦敦博物馆看到当人用两只手同时接触一种称为“电鳗”的鱼的头部和尾部时，有一种麻电的感觉，这说明电鳗体内存在“动物电”，可引起放电。

意大利物理学家、化学家伏打怀疑蛙腿的抽动是一种对电流的灵敏反应。

从实验发现了两种不同金属相互接触时会产生接触电势差。

1800年伏打把圆铁片、浸过盐水的圆纸板以及圆铜片堆放在一起。

这样，他就做成了第一个电池。

伏打电堆被称为"神奇的仪器",曾表演给拿破仑看.
到了近代，随着原子科学的发展，人类逐渐发现了，原子，电子，离子。

终于能准确的描述电的现象。

所谓电流，就是导体中可以自由移动的电荷（电子或者离子）在力的作用下运动的现象。

知识点睛
一.电流强度电流密度 1．电流的产生
导体中存在着大量的自由电荷，在静电平衡条件下，导体内部的场强为零，自由电荷没有宏观的定向运动。

若导体内的场强不为零，自由电荷将会在电场力的作用下，逆着电场方向运动。

我们把导体中电荷的定向运动称为电流。

2．产生电流的条件：
①导体中要有可以自由运动的带电粒子(电子或离子)； ②导体内电场强度不为零。

若导体内部的电场不随时间变化时，驱动电荷的电场力不随时间变化，因而导体中所形成的电流将不随时间变化，这种电流称为恒定电流（或稳恒电流）。

如下是本来的热运动电荷再受到外电场作用时形成电流的示意图：
计算表明：导体中的自由电荷在电场力作用下定向移动的速率一般为10-5～10-4m/s （这个推导在本讲
后面内容中讲提到）。

而根据热力学公式：
22
1
2mv kT i = 可以估计电子热运动的速率一般在105m/s ，远远大于电子导电速度。

【思考】电子运动速度那么慢，为什么我们一合上开关灯泡就亮了？
形成电流的速率不是自由电荷定向移动的速率，而是电场传播的速率。

电场传播的速率很大，等于光速C=3×108m/s 。

电路一旦接通，电场便以光速在各处建立起来，导线中各处都有自由电荷，在电场力的作用下，各处的电荷几乎同时开始定向移动，故整个电路中几乎同时形成了电流。

3. 电流强度
电流的强弱用电流强度来描述。

设在时间t ∆内，通过任一横截面的电量是q ∆，则通过该截面的电流强度(简称电流)为
q
I t
∆=
∆ 如果I 不随时间变化，这种电流称为恒定电流，又叫直流电。

如果加在导体两端的电势差随时间变化，电流强度也随时间变化，这时需用瞬时电流(0t ∆→时的电流强度)来表示：
0lim
t q dq
I t dt
∆→∆==∆
在国际单位制中，电流强度的单位是安培(符号A)其大小为每秒钟内通过导体任一截面的电量为1库
仑。

电流强度是标量，所谓电流的方向只表示电荷在导体内移动的去向。

通常规定正电荷宏观定向运动的方向为电流的方向。

设n 是金属导体中自由电子密度，e 是电子电量，v 是电子定向移动平均速度，S 是导体的横截面积。

则不难推导：
nqSv t
t nqSv t q I =∆∆=∆∆=
【思考】把一个中性不带电的物体挥动起来，按照微观理论，也有电荷定向移动，但是只能定义此时的电流为零才合理。

这意味着什么？
如果导体中有正负电荷一起定向移动，必须单独计算每种电荷定向移动形成电流，再相加得总的电流。

即： ---+++-=Sv q n Sv q n I 4. 电流密度
在粗细相同和材料均匀的导体两端加上恒定电势差后，；导体内存在恒定电场，从而形成恒定电流。

电流在导体任一截面上各点的分布是相同的。

如果在导体各处粗细不同，或材料不均匀(或是大块导体)，电流在导体截面上各点的分布将是不均匀的。

电流在导体截面上各点的分布情况可用电流密度j 来描述。

电流密度是矢量。

为方便起见，选定正电荷的运动来讨论。

我们对电流密度的大小和方向作如下规定：导体中任一点电流密度j 的方向为该点正电荷的运动方向(场强E 的方向)，j 的大小等于单位时间内通过该点附近垂直于该点正电荷运动方向的单位面积上的电量，用公式表示为，
dq dI
j dtds ds
=
= 式中，ds 为在导体中某点附近取的面积元，dq 为d t 时间内通过ds 的电量。

电流密度的大小等于通过垂直正电荷运动方向单位面积上的电流。

在国际单位制中，电流密度的单位为2-⋅安培米；符号2
A m -⋅
带入电流强度的微观式得：
nqv j =
5. 电流场
由于导体本身的形状各异，所以会导致电流形成空间的分布，每个地方的电流密度都不同，这种电流密度随空间分布的现象称之为电流场。

显然，可以用电通量去类比电流强度，那么电场强度与电流密度是可以类比的物理量。

下图是各种导体中的电流场：
例题精讲
【例1】如图，直径为2mm的均匀铜线中流着7.6A的电流，已知每个电子电量1.6×10-19C,其铜线中电子数密度约8.4×1028个/m3(通过阿福加德罗常数估算)。

计算导线中电子飘逸的速度。

【例2】电子绕核运动可以看成一环形电流，设氢原子中的电子在半径为R的轨道上做圆周运动，e表示电子的电荷量，则等效电流是多少？
【例3】如图,电解槽与电源相连,路端电压为U＝100V.槽中平行放置三个极板,从左往右依次为ABC。

A、C皆为银板,B为铜板,用两个伏特表监测电压.极板B将容器隔成两部份：左边充以硝酸银
溶液,右边充以硫酸铜溶液,经测量知铜板质量以7.6mg／s的速率增加, 计算流过电源的电流
强度(已知银和铜的摩尔质量分别为108和64).（提示：中间板一边在析出Ag一边Cu正在进入溶液，阿氏常数为6×1023个/mol，电子电量为1.6×10-19C,本题选讲）
【例4】如图，同心的金属圆柱之间夹有有一定导电能力的橡胶。

内外芯加上电压后，从内芯到外芯会出现漏电现象，已知顺着中心轴线单位长度漏电电流强度为I，计算距离中心轴距离为r处橡胶内漏电的电流密度。

【例5】 一个无穷大的空间充满这均匀的导体物质，在中间相聚为L 的两个点之间接上电源，结果从
电源流进流出的电流强度为I ，计算此两点连线中点处的电流密度为多少？（提示可以先让电流从正极流向无穷远，再从无穷远汇向电源负极，实际的电流为两次电流的总和，能这样做的原因在后面的欧姆定律中我们会讲到）。

第二部分 欧姆定律
知识点睛
一．部分电路欧姆
在电流恒定和温度一定的条件下，通过一段导体的电流强度I 和加在导体两端的电势差
12U U -成正比，即 12
U U I R
-=
或 12U U IR -= 这就是部分电路的欧姆定律，或称一段均匀电路的欧姆定律。

R 是比例系数，它的数值是由导体自身性质和尺寸决定的，称为导体的电阻。

导体电阻的大小与导体的材料、几何尺寸和温度等因素有关。

对于一定材料、横截面积均匀的导体，实验证明，它的电阻R 与其长度l ，横截面积S 的关系为 l
R S
ρ
=
式中，比例常数ρ称为电阻率。

它是一个仅由导体材料性质和导体所处的条件(如温度)决定的物理量。

电阻率的倒数称为电导率，即
ρ
σ1
=
实验证明，各种材料的电阻率都随温度变化，纯金属的电阻率随温度的变化比较规则，在o ℃附近，温度变化不大的范围内，电阻率与温度有线性关系，表示为
0(1)t ρρα=+
式中，0ρ为o ℃时的电阻率，α称为电阻温度系数，单位是1／℃。

不同材料的α值也不同。

知识模块
二．欧姆定律微分式
通电导体中取一小段长L ∆，其两端电压 ，则有：
S L
I S L I U σρ
∆⋅=∆⋅=∆ j
S I
E L U ==∆∆,/
得到：
E j σ=
上式给出了电流密度与推动电荷流动的电场之间的对应关系，更细致地描述了导体的导电规律，
被称为欧姆定律的微分形式。

当金属内部有电场时，所有自由电子都将在原有的热运动的基础上附加一个逆场强的定向运动，就是所有电子的这种定向运动形成宏观电流。

前面我们提到过，导体中的电流可以看成电流密度j 随空间分布的场，如果用封闭面把电流的出发点围住，电流密度其对闭合面的积分为总的电流强度：
⎰⎰⋅=s
S j I d
而又
E j σ=
⎰⎰⋅==
Φs
S E I
d σ
这意味着形成电流的电场也有通量Φ，且正比于电流强度。

在恒定电流条件下，导体内的电荷分布不随时间变化，导体内形成恒定电场，该电场的环路积分为零。

所以此电场也可以引入电势的概念，也有电势差。

这个电势差的绝对值正是欧姆定律中的电压。

在电路中依然有：
⎰
⋅=B
A
AB l d E U
三．电动势 全电路欧姆定律
我们现在知道，一段导体两端有电势差，则一定可以形成电流，但是随着电流，产生电势差的静电荷就中和了。

好比水管两端有液面差，能形成水流，但是结果必然是水流消失。

显然仅仅靠静电力，是能不能形成稳定持续电流的，这就要有个力，不停的把正电荷向电势高的地方搬运。

这个力我们叫非静电力。

而电源正是提供这个力的装置。

不同的电源内部把正电荷向着高电势搬运的力不一样，按这个力的形式，我们发明了很多中的电源：如各种电池、发电机等。

表示一电源内部的电路，称为内电路。

假设在电源内部非静电力F k 使正电荷由B 向A 运动，于是A 端带正电，B 端带负电，随之电源内产生一方向从A 到B 的静电场，因此电源内的正电荷除受到非静电力F k 的作用外，还受到静电力F e 的作用，两者方向相反。

开始时A 、B 两端电荷积累不多，k e F F >，正电荷继续由B 向A 迁移，随着A 、B 两端正负电荷的积累增加，F e 逐渐增大，直到k e F F =时，A 、B 两端的正负电荷不再增加，A 、B 间的电势差达到了一定值，这就是电源的开
路电压。

用导线将电源A 、B 两端接通，形成外电路，内、外电路构成闭合电路。

A 、B 两端的电势差在外电路的导体中产生电场，于是在外电路中出现了从A 到B 的电流。

随着电荷在外电路中的流动，A 、B 两端积累的电荷减少，电源内部的电荷受到的F e 又小于F k ，于是电源内重新出现正电荷从B 向A 的运动。

可见外电路接通后，电源内部也出现了电流，但方向是从低电势流向高电势，这正是非静电力不同于静电力的特殊作用。

在电源内部和电源外部，形成稳恒电流的起因是不同的。

在电源内部，正电荷在非静电力作用下从负极流向正极形成电流，在外电路，正电荷在静电力作用下从正极流向负极形成电流。

电源中的非静电力是在闭合电路中形成稳恒电流的根本原因。

在电源内部、非静电力移送正电荷的过程中要克服静电力作功，从而将电源本身所具有的能量(化学能、机械能、热能等)转换为电能；因此，从能量观点看，电源就是将其它形式的能量转变成电能的装置。

电源电动势 为了表述不同电源转化能量的能力，人们引入了电动势这一物理量．我们用电动势来描述电源内部非静电力作功的特性。

我们定义把单位正电荷绕闭台回路一周时，非静电力所作的功为电源的电动势．如以k E 表示非静电电场强度（仿照静电场的方法，将电荷q 在电源内所受到的非静电力k F 和q 的比，用k E 来表示，即 k
k q
=
F E ）W 为非静电力所作的功，ε表示电源电动势，那么由上述电动势的定义，有： ⎰⋅==
dl E q
W
k ε 上式表示电源电动势的大小等于把单位正电荷从负极经电源内部移至正极时非静电力所作的功． 电动势虽不是矢量，但为了便于判断在电流流过时非静电力是作正功还是作负功(也就是电源是放电，还是被充电)，通常把电源内部电势升高的方向，即从负极经电源内部到正极的方向，规定为电动势的方向．电动势的单位和电势的单位相同．
电源电动势的大小只取决于电源本身的性质。

一定的电源具有一定的电动势，而与外电路无关． 前面我们讨论了电流通过一段均匀电路时的欧姆定律，但实际上我们经常会遇到包含电源在内的各种电路．下面我们先讨论含有电源的简单全电路的欧姆定律。

考虑如图所示的一个最简单的闭合回路，图中电源的电动势和内阻分别为ε和i R ，外电路电阻(或称外电路负载电阻)为R ．由电流连续性可知，在这个电路中每个部分通过的电流相同，均为I ．设电流的流向如图中所示，
实验表明：i
I R R ε
=
+
这就是欧姆发表的全电路欧姆定律，这个定律也可以用能量守恒定律证明，但毕竟人家欧姆先通过实验发现的，这里就不推导恶心先人了。

上式表示，闭合电路中电源的电动势与总电阻之比等于电路中的电流，这就是全电路的欧姆定律． 可得外电路的电势降(或称电源的端电压)为：
AB A B i U V V IR IR ε=-==-
因为对于确定的电源来说，电动势和内阻是一定的，从上式可以看出，端电压随负载电流的减小而增大．当外电路断开(即开路)时，电流I 为零，则
AB U ε=
即在开路时，电源的端电压等于电源的电动势．
在一个闭合电路中，怎样确定回路中各部分的电势降是取正值，还是取负值呢?我们可以规定如下：首先选定回路的绕行方向和电流流向；如果通过电阻的电流方向和绕行方向相同，那么此电阻的电势降取正值，反之则取负值；若由电源的正极经电源内部到负极的指向与绕行方向相同时，电动势取正值，反之取负值．
例题精讲
【例6】如图所示，两个截面不同、长度相同的均匀铜棒接在电路中，两端的电压为U ，则（ ）
A ．通过两棒的电流强度不相等
B ．两棒中的自由电子定向移动的平均速率不同
C ．两棒内的电场强度不同，细棒内的场强1E 大于粗棒内的场强2E
D ．细棒的电压1U 大于粗棒的电压2U
【例7】一根高压电线垂直落到地面，把高压电线与地面接触的面看成一个半径为R 的半球面：
1. 如果已知漏电电流为I ，求电流分布。

2. 如果已知电流为I ，泥巴的电导率为σ，计算距离高压线入地点距离为r 1和r 2的一段辐
射距离上的两点AB 间的跨步电压。

3. 已知高压电线的电势为U ，泥巴的电导率为σ,计算漏电电流。

第三部分 欧姆定律微观解释
知识点睛
先堆一下公式：在一根导线中有一电流I ，两端加电压U ，电阻为R ，电阻率为ρ,导线长为l ，
导线截面积为S ，我们把我们会的公式都堆进去，看看会出现什么结果： 首先内部有一电场E:El U = 此导线电阻为R ：S
l R ρ
= 电流微观上指的的是电荷的定向漂移速度v ：nqsv I = 代入欧姆定律：U=IR
得：v nq Eq ρ2
=
这意味着什么？我们不妨对移动的电荷进行受力分析，当电荷形成电流时，其在内部会受一个等效的阻力，来源于电子与原子间的散射。

当电流稳定时，我们可以认为电子受阻力与电场力相“平衡”。

那么实际上上诉推导是得到了一个等效的阻力公式：
v nq f ρ2=
其中v 为电子相对于原子实（原子核与内层电子构成的晶格阵）的平移速度。

以下内容不知道不影响做题，选讲：
为什么会有以上的现象？物理学一直致力于解释这个规律，以下我们用自由电子理论加以解释（结果不是很令人满意，但是有一定的参考意义，与实验符合的比较好的理论是量子能带理论。

这里就不引入了）
静电自由电子论认为：电子在金属中运动，由热运动与定向移动叠加构成，后者形成电流。

当电子在电场加速下，可认为电子加速度为： m
Eq
a =
当电子启动后，在“撞上”原子实之前，可以认为是匀加速的，直到碰撞，由于碰撞的随机性，
知识模块
所以大量电子与原子实碰撞结果必然为毫无规律的热运动速率，即定向移动速度消失。

那么这个过程中电子的移动速度随时间关系图如下：
电荷飘逸的速度v 其实就是平均速度
2
aT。

带入欧姆定律：T nq m 2
2=ρ，如果统计阻力的平均值f ，则由动量定理有：
mv fT =
T
mv
f 2=
确实与电子飘逸速度成正比。

上述时间T ，叫平均自由时间。

由于热运动速度远大于飘逸速度，所以T 只由原子分布与电子热运动速度决定。

u
T λ
=
其中，λ为电子两次碰撞间的平均自由程。

只取决与材料。

从上述推导可以看出，欧姆定律只适用于固体与液体，对气体是不适合的，而且从公式能看出绝对温度与电阻率的规律，甚至能一定程度解释半导体电阻率随温度下降的现象。

不过以上“解释”误差都较大。

而且静电理论无法给出自由程的决定式，这个问题随着能带理论的发展才得以解决。

例题精讲
【例8】一圆柱金属棒，横截面积S 的金属棒，材料电阻率为ρ，竖直放置，用手提到空中，静止释
放，计算释放一瞬间金属棒中电流强度，已知电子质量为m ，电量为e 。

（提示：释放前电子受电场力与重力平衡，释放时完全失重了，电场力形成了电压）
【例9】1917年由斯图尔特和道尔曼首次测定了以匀角加速度运动的圆线圈中产生的电流。

现考察1
个均匀的细金属导线（单位长度的电阻等于0ρ）做成的1个半径为r 圆环，围绕其中心进行
匀加速转动，角加速度为β。

电流强度I （电子电荷为e ，质量为m ）
【例10】一个电阻率为ρ、截面积为S 的铜圆环垂直于环平面的中心轴转动，线速度为υ0，如果让
圆环迅速静止下来，试求整个过程流过圆环横截面的电荷。

已知圆环的半径很大，电子质量为m ，电量为e 。

【例11】零电阻是超导体的一个基本特征，但在确认这一事实时受到实验测量精确度的限制。

为克服这一困难，最著名的实验是长时间监测浸泡在液态氦（温度T=4.2K ）中处于超导态的用铅丝做成的单匝线圈（超导转换温度T C =7.19K ）中电流的变化。

设铅丝粗细均匀，初始时通有I=100A 的电流，电流检测仪器的精度为 1.0I mA ∆=，在持续一年的时间内电流检测仪器没有测量到电流的变化。

根据这个实验，试估算对超导态铅的电阻率为零的结论认定的上限为多大。

设铅中参与导电的电子数密度2038.0010n m =⨯，已知电子质量319.1110
m kg -=⨯，基本电荷191.6010e C -=⨯。

（提示：分析
微观电子运动）
课后练习
1.真空中的质子源发射的质子,经一电压加速,形成电流强度为1mA 的细柱形质子流.已知质子电荷ｅ＝1.60×10-19C.这束质子流每秒打到靶上的质子数为________.假定分布在质子源到靶之间的加速电场
是均匀的,在质子束中与质子源相距Ｌ和4Ｌ的两处,各取一段极短的相等长度的质子流,其中质子数分别为ｎ1和ｎ2,则ｎ1/ｎ2＝____________.
2.直线AD下半无限空间为无限均匀导体电流由A流入由D流出．已知电阻为P，BC电压为u，AD 长为5a，求I．
自学材料
气体中的电流
气体在通常情况下是不导电的.但是气体在火焰、紫外线、Ｘ射线或放射线照射下,可以发生电离导电现象.气体导电的机理与金属导电、电解液导电都有区别.气体导电的载流子既有自由电子也有正、负离子.气体电离时形成电子和正离子,一部份电子附着在中性原子上又形成负离子，它们都参与导电.
在某些条件下,气体可以不依靠其它因素,自行维持其电离作用而持续放电,这种放电现象叫做自激放电.常见的气体自激放电有：辉光放电、弧光放电、火花放电和电晕放电.
辉光放电是低气压(约几百帕斯卡)下的气体,在较高的极间电压(数百至一千伏)下发生的放电现象.其主要特征是电流较小(数量级为毫安),放电管中出现几个特殊的亮区和暗区,呈现瑰丽的发光现象.广告用的霓红灯、日光灯的启动器、仪器上的辉光数码管以及试电笔上的氖泡都是辉光放电.辉光放电属于稀薄气体放电,它的机理是电子碰撞电离和阴极正离子轰击发射.在通常情况下,日光灯管内的气体放电也属于辉光放电.
弧光放电是伴有强烈弧光并产生高温的一种气体自激放电现象.电焊时焊条与工件之间的气体放电就属于弧光放电.当焊条与工件接触时,由于接触处电阻较大,通过大电流时发热升温,使周围空气电离.当焊条与工件稍微分离后,它们之间的气体发生自激放电并产生电弧.被电场加速后的电子与气体分子碰撞,加速了电离过程,使气体的温度继续升高,电离程度更强,气体温度可升至2000度以上.弧光放电的机理是气体碰撞电离和阴极热电子发射.
火花放电是在两个高压电极间发生的气体放电现象.它的特征是出现火花并伴有爆炸声.当两电极间的电压达到一定数值时,空气被击穿,就会发生火花放电现象.它的机理是强电场作用下阴极电子发射和电子碰撞电离.雷电现象是自然界的火花放电.
使高压输电线周围存在强大的电场,在靠近电线的一个薄层内使空气电离形成放电.这属于电晕放电.电晕放电会发出微光并伴有臭氧产生,它是高压设备漏电的主要原因.
半导体的导电特性
介于导体和绝缘体之间的锗、硅等材料属于半导体.半导体获得广泛应用,是因为它的导电性在不同的条件下能发生很大的变化．当半导体的温度稍有升高时,它的导电性就显著增强,这叫做半导体的热敏性.人们利用半导体的热敏特性,制成热敏电阻等元件.当半导体受到光的照射,它的导电性也显著增强,这叫做半导体的光敏特性.人们利用半导体的光敏特性,制成光敏电阻、光电二极管等元件.更为突出的是,在纯净的半导体中,掺入微量的杂质,半导体的导电性就会大大增强．锗和硅都是四价元素,最外层有四个价电子,单晶体锗和硅的原子顺序排列,每个原子都
以四个价电子与相邻的四个原子相联系,组成共价键,形成比较稳定的结构.在常温下不能导电．但是,由于热运动或受光照射,其中有极少数电子获得足够的能量,挣脱束缚成为自由电子,在外电场的作用下定向移动形成电流,这叫做电子导电．
当共价键中有一个电子挣脱束缚成为自由电子时,在原来共价键中就留下一个空位,叫做空穴,附近共价键中的束缚电子就很容易顺序前来填补,在宏观上形成空穴的定向移动,也
形成电流,这叫做空穴导电.由于空穴是中性原子失去了带负电的电子而形成的,空穴的运动,相当于一个带正电的粒子的运动．
半导体的温度升高或受到光照时,有更多共价键中的电子挣脱束缚,电子和空穴成对地增加,它的导电性因而得到增强这就是半导体具有热性和光敏性．纯净的半导体自由电子和空穴的数量很少,导电性较差.采用人工的方法在纯净的半导体中掺人微量的杂质,就可以使半导体的导电性大大增强．如果在纯净的半导体硅中掺入微量的五价元素磷,一些硅原子就会被磷原子代替．磷原子有五个价电子,它与周围硅原子组成共价键时多出一个价电子.这个价电子受磷原子束缚很弱,很容易成为自由电子.每个五价原子都能提供一个自由电子,因而自由电子的数目显著增多,形成大量的负载流子.这类半导体主要靠电子导电,叫做电子型半导体或Ｎ型半导体．
如果在纯净的半导体硅中掺入微量的三价元素硼,一些硅原子就会被硼原子代替.硼原子只有三个价电子,它与周围硅原子组成共价键时缺少了一个电子,形成一个空穴.每个三价原于都能提供一个空穴,因而空穴的数目显著增多,形成大量的正载流子.这类半导体主要靠空穴导电,叫做空穴型半导体或Ｐ型半导体．
人们利用掺杂的方法,制成各种Ｎ型和Ｐ型半导体材料,又用这些材料制成晶体二极管、三极管、集成电路等各种半导体器件.
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