人教版数学八年级上册 全等三角形单元复习练习(Word版 含答案)

人教版数学八年级上册全等三角形单元复习练习(Word版含答案)
一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形
（1）如图，在ABC
∆中，25,105
A ABC
∠=︒∠=︒，过B作一直线交AC于D，若BD 把ABC
∆分割成两个等腰三角形，则BDA
∠的度数是______．
（2）已知在ABC
∆中，AB AC
=，过顶点和顶点对边上一点的直线，把ABC
∆分割成
两个等腰三角形，则A
∠的最小度数为________．
【答案】130︒
180
7
︒
⎛⎫
⎪
⎝⎭
【解析】
【分析】
（1）由题意得：DA=DB，结合25
A
∠=︒，即可得到答案；
（2）根据题意，分4种情况讨论，①当BD=AD，CD=AD，②当AD=BD，AC=CD，
③AB=AC，当AD=BD=BC，④当AD=BD，CD=BC，分别求出A
∠的度数，即可得到答案．
【详解】
（1）由题意得：当DA=BA，BD=BA时，不符合题意，
当DA=DB时，则∠ABD=∠A=25°，
∴∠BDA=180°-25°×2=130°．
故答案为：130°；
（2）①如图1，∵AB=AC，当BD=AD，CD=AD，
∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴4∠B=180°，
∴∠BAC=90°．
②如图2，∵AB=AC，当AD=BD，AC=CD，
∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA，
∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠BAC=3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
∴∠BAC=108°．
③如图3，∵AB=AC，当AD=BD=BC，
∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABC=∠C=2∠BAC，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴5∠BAC=180°，
∴∠BAC=36°．
④如图4，∵AB=AC，当AD=BD，CD=BC，
∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠CDB=∠CBD，∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABC=∠C=3∠BAC，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴7∠BAC=180°，
∴∠BAC=
180 ()
7
︒．
综上所述，∠A的最小度数为：
180 ()
7
︒．
故答案是：
180 ()
7
︒．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质定理以及三角形内角和定理与外角的性质，根据等腰三角形的性质，分类讨论，是解题的关键．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在x轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有_____个．
【答案】4
【解析】
【分析】
以O为圆心，OA为半径画弧交x轴于点P1、P3，以A为圆心，AO为半径画弧交x轴于点P4，作OA的垂直平分线交x轴于P2．
【详解】
解：如图，使△AOP是等腰三角形的点P有4个．
故答案为4．
【点睛】
本题考查了在平面直角坐标系中寻找等腰三角形，掌握两圆一线找等腰三角形是解题的关键．
3．如图,A,B,C三点在同一直线上,分别以AB,BC（AB>BC）为边,在直线AC的同侧作等边
ΔABD和等边ΔBCE,连接AE交BD于点M,连接CD交BE于点N,连接MN. 以下结论：
①AE=DC，②MN//AB，③BD⊥AE，④∠DPM=60°，⑤ΔBMN是等边三角形.其中正确的是__________（把所有正确的序号都填上）.
【答案】①②④⑤
【解析】
【分析】
①由三角形ABD与三角形BCE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两条边对应相等，两个角相等都为60°，利用SAS即可得到三角形ABE与三角形DBC全等即可得结论；
②由①中三角形ABE与三角形DBC全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由∠ABD=∠EBC=60°，利用平角的定义得到∠MBE=∠NBC=60°，再由EB=CB，利用ASA 可得出三角形EMB与三角形CNB全等，利用全等三角形的对应边相等得到MB=NB，再由∠MBE=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形BMN为等边三角形；可得∠BMN=60°，进行可得∠BMN=∠ABD，故MN//AB，从而可判断②，⑤正确；
③无法证明PM=PN，因此不能得到BD⊥AE；
④由①得∠EAB=∠CDB，根据三角形内角和和外角的性质可证得结论.
【详解】
①∵等边△ABD和等边△BCE，
∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC=120°，
在△ABE和△DBC中，
∵
AB DB
ABE DBC BE BC
⎪
∠
⎪
⎩
∠
⎧
⎨
＝
＝
＝
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE=DC，
故①正确；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠AEB=∠DCB，
又∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠MBE=180°-60°-60°=60°，即∠MBE=∠NBC=60°，
在△MBE和△NBC中，
∵
AEB DCB EB CB
MBE NBC ∠∠
∠
⎧
⎪
⎪
⎩∠
⎨
＝
＝
＝
，
∴△MBE≌△NBC（ASA），∴BM=BN，∠MBE=60°，
则△BMN为等边三角形，
故⑤正确；
∵△BMN为等边三角形，
∴∠BMN=60°,
∵∠ABD=60°,
∴∠BMN=∠ABD，
∴MN//AB，
故②正确；
③无法证明PM=PN，因此不能得到BD⊥AE；
④由①得∠EAB=∠CDB，∠APC+∠PAC+∠PCA=180°，
∴∠PAC+∠PCA=∠PDB+∠PCB=∠DBA=60°，
∵∠DPM =∠PAC+∠PCA
∴∠DPM =60°，故④正确，
故答案为：①②④⑤.
【点睛】
此题考查了等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
4．如图，点A,B,C在同一直线上,△ABD和△BCE都是等边三角形，AE,CD分别与BD,BE交于点F,G，连接FG，有如下结论：①AE=CD ②∠BFG= 60°；③EF=CG；④AD⊥CD⑤FG ∥AC 其中，正确的结论有__________________. (填序号)
【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】
易证△ABE≌△DBC，则有∠BAE＝∠BDC，AE＝CD，从而可证到△ABF≌△DBG，则有
AF＝DG，BF＝BG，由∠FBG＝60°可得△BFG是等边三角形，证得∠BFG＝∠DBA＝60°，则有FG∥AC，由∠CDB≠30°，可判断AD与CD的位置关系．
【详解】
∵△ABD和△BCE都是等边三角形，∴BD＝BA＝AD，BE＝BC＝EC，∠ABD＝∠CBE＝60°．∵点A、B、C在同一直线上，∴∠DBE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ABE＝∠DBC＝120°．在△ABE和△DBC中，
∵
BD BA
ABE DBC
BE BC
∠∠
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，∴△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC，∴AE＝CD，∴①正确；在△ABF和△DBG
中，
60
BAF BDG
AB DB
ABF DBG
∠∠
∠∠
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪==︒
⎩
，∴△ABF≌△DBG，∴AF＝DG，BF＝BG．
∵∠FBG＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴△BFG是等边三角形，∴∠BFG=60°，∴②正确；
∵AE＝CD，AF＝DG，∴EF=CG；∴③正确；
∵∠ADB＝60°，而∠CDB=∠EAB≠30°，∴AD与CD不一定垂直，∴④错误．
∵△BFG是等边三角形，∴∠BFG=60°，∴∠GFB＝∠DBA＝60°，∴FG∥AB，∴⑤正确．故答案为①②③⑤．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、平行线的判定和性质，证得△ABE≌△DBC是解题的关键．
5．如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4，…若∠A=70°，则锐角∠A n的度数为______.
【答案】
1
70
2n-
︒
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理和外角的性质即可得出答案.
【详解】
在△1
ABA中，AB=A1B，∠A=70°
可得：∠1
BAA=∠
1
BA A=70°
在△112
B A A中，A1B1=A1A2
可得：∠112
A B A=∠
121
A A B
根据外角和定理可得：∠1
BA A=∠
112
A B A+∠
121
A A B
∴∠112
A B A=∠
121
A A B=
70
2
︒
同理可得：∠232
A A B=
2
70
2
︒
∠343
A A B=
3
70
2
︒
…….
以此类推：∠A n =
1702n -︒ 故答案为：
1
702n -︒. 【点睛】
本题主要考查等腰三角形、三角形的基本概念以及规律的探索，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键..
6．如图，在平面直角坐标系中，点 A,B 的坐标分别是（1,5）、（5,1）， 若点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有_____________个
【答案】5
【解析】
【分析】
分别以A 、B 为圆心，AB 为半径画圆，及作AB 的垂直平分线，数出在x 轴上的点C 的数量即可
【详解】
解：由图可知：点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有5个
故答案为:5
【点睛】
本题考查了等腰三角形的存在性问题，掌握“两圆一线”找等腰三角形是解题的关键7．已知等边△ABC中，点D为射线BA上一点，作DE=DC，交直线BC于点E,∠ABC的平分
线BF交CD于点F，过点A作AH⊥CD于H，当EDC=30 ，CF=4
3
，则DH=______．
【答案】2 3
【解析】连接AF.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.
∵DE=DC，∠EDC=30°，
∴∠DEC=∠DCE=75°，
∴∠ACF=75°-60°=15°.
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF.
在△ABF和△CBF中，
AB BC
ABF CBF
BF BF
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ABF≌△CBF，
∴AF=CF，
∴∠FAC=∠ACF=15°，
∴∠AFH=15°+15°=30°.
∵AH⊥CD，
∴AH=
1
2
AF=
1
2
CF=
2
3
.
∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，
∴∠BDE=75°-60°=15°，
∴∠ADH=15°+30°=45°，
∴∠DAH=∠ADH=45°，
∴DH=AH=
2
3
.
故答案为
2
3
.
点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键，注意辅助线的作法.
8．如图：在ABC
∆中，D，E为边AB上的两个点，且BD BC
=，AE AC
=，若108
ACB
∠=︒，则DCE
∠的大小为______.
【答案】0
36
【解析】
【分析】
根据三角形内角和求出∠A+∠B,再根据AC=AE,BC=BD，用∠A表示∠AEC,用∠B表示
∠BDC，然后根据内角和求出∠DCE 的度数.
【详解】
∵∠ACB=1080，
∴∠A+∠B=1800-1080=720,
∵AC=AE,BC=BD,
∴∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC, ∴01(180)2AEC A ∠=-∠01902
A =-∠ 01(180)2BDC
B ∠=
-∠ =01902
B -∠ ∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=1800，
∴0180DCE CDE CED ∠=-∠-∠ = 00011180(90)(90)22A B --
∠--∠ =1122
A B ∠+∠ =1()2
A B ∠+∠ =360
【点睛】
此题考察等腰三角形的性质，注意两条等边所在三角形，依此判断对应的两个底角相等.
9．在下列结论中：①有三个角是60︒的三角形是等边三角形；②有一个外角是120︒的等腰三角形是等边三角形；③有一个角是60︒，且是轴对称的三角形是等边三角形；④有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形．其中正确的是__________.
【答案】①②③④
【解析】
【分析】
依据等边三角形的定义，含有一个600角的等腰三角形是等边三角形判断即可.
【详解】
有三个角是600的三角形是等边三角形，故①正确；外角是1200时，邻补角为600，即有一个内角是600的等腰三角形是等边三角形，故②正确；轴对称的三角形是等腰三角形，且含有一个600
角，因此是等边三角形，故③正确；一腰上的高也是中线，故底边等于腰长，所以此三角形是等边三角形，故④正确.
故此题正确的是①②③④.
【点睛】
此题考查等边三角形的判定方法，熟记方法才能熟练运用.
10．如图，正五边形ABCDE 中，对角线AC 与BE 相交于点F ，则AFE ∠=_______度．
【答案】72．
【解析】
【分析】
根据五边形的内角和公式求出EAB ∠，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算即可．
【详解】
解：∵五边形ABCDE 是正五边形，
(52)1801085EAB ABC ︒
︒
-⨯∴∠=∠==
，
BA BC =
，
36BAC BCA ︒∴∠=∠=
，
同理36ABE ∠︒＝，
363672AFE ABF BAF ∴∠∠+∠︒+︒︒＝＝＝．
故答案为：72
【点睛】
本题考查的是正多边形的内角与外角，掌握正多边形的内角的计算公式、等腰三角形的性质是解题的关键．
二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）
11．已知：如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F ，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE ；③AF=BF ；④DF=EF ，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC 是等腰三角形的是（ ）
A ．①②
B ．①④
C ．②③
D ．③④
【答案】C
【解析】
【分析】 根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定进行判断即可．
【详解】
选取①②:
在ADF ∆ 和BEF ∆ 中
1=2
{12
AFD BFE
AD BE
ADF BEF
AF BF
FAB FBA
CAB CBA
AC BC
∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=
选取①④:
在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 1=2
{12
AFD BFE
FD FE
ADF BEF
AF BF
FAB FBA
CAB CBA
AC BC
∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=
选取③④:
在ADF ∆ 和BEF ∆ 中
{
12
AFD BFE
FD FE
ADF BEF
AF BF
FAB FBA
CAB CBA
AC BC
∠=∠
=
∴∆≅∆
∴=
∴∠=∠
∠=∠
∴∠=∠
∴=
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是熟练地运用定理进行推理，是一道开放性的题目，能培养学生分析问题的能力．
12．在Rt ABC
∆中，90
ACB
∠=︒，点D E
、是AB边上两点，且CE垂直平分,
AD CD 平分,6
BCE AC cm
∠=，则BD的长为（）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【答案】A
【解析】
【分析】
根据CE垂直平分AD，得AC=CD，再根据等腰在三角形的三线合一，得
ACE ECD
∠=∠，结合角平分线定义和90
ACB︒
∠=，得
30
ACE ECD DCB︒
∠=∠=∠=，则BD CD AC
==．
【详解】
∵CE垂直平分AD
∴AC=CD＝6cm，ACE ECD
∠=∠
∵CD平分BCE
∠
∴BCD ECD
∠=∠
∴30
ACE ECD DCB︒
∠=∠=∠=
∴60
A︒
∠=
∴30
B BCD
︒
∠==∠
∴6
CD BD AC cm
===
故选：A
本题考查的知识点主要是等腰三角形的性质的“三线合一”性质定理及判定“等角对等边”，熟记并能熟练运用这些定理是解题的关键．
13．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以ABC ∆的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC ∆的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多可画几个？（ ）
A ．9个
B ．7个
C ．6个
D ．5个
【答案】B
【解析】
【分析】
先以Rt ABC ∆三个顶点分别为圆心，再以每个顶点所在的较短边为半径画弧，即可确定等腰三角形的第三个顶点；也可以作三边的垂直平分线确定等腰三角形的第三个顶点即得．
【详解】
解：①如图1，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D ，则∆BCD 就是等腰三角形；
②如图2，以A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点E ，则∆ACE 就是等腰三角形； ③如图3，以C 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于M ，交AC 于点F ，则∆BCM 、∆BCF 是等腰三角形；④如图4，作AC 的垂直平分线交AB 于点H ，则∆ACH 就是等腰三角形；⑤如图5，作AB 的垂直平分线交AC 于点G ，则∆AGB 就是等腰三角形；⑥如图6，作BC 的垂直平分线交AB 于I ，则∆BCI 就是等腰三角形．
故选：B ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定的应用，通过作垂直平分线或者画弧的方法确定相等的边是解题关键．
14．等边△ABC ，在平面内找一点P ，使△PBC 、△PAB 、△PAC 均为等腰三角形，具备这样条件的P 点有多少个？（ ）
A ．1个
B ．4个
C ．7个
D ．10个
【答案】D
【解析】 试题分析：根据点P 在等边△ABC 内，而且△PBC 、△PAB 、△PAC 均为等腰三角形，可知P 点为等边△ABC 的垂心；由此可得分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．
解：由点P 在等边△ABC 内，而且△PBC 、△PAB 、△PAC 均为等腰三角形，
可知P 点为等边△ABC 的垂心；
因为△ABC 是等边三角形，所以分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径画弧，交垂直平分线的交点就是满足要求的，
每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．
故选D ．
点评：此题主要考查等腰三角形的性质和等边三角形的性质，有一定的拔高难度，属于中档题．
15．如图，30MON ∠=︒．点1A ，2A ，3A ，⋯，在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，⋯，在射线OM 上，112A B A ∆，223A B A ∆，334
A B A ∆，⋯均为等边三角形，若11OA =，则201920192020A B A ∆的边长为（ ）
A ．20172
B ．20182
C ．20192
D ．20202
【答案】B
【解析】
【分析】 根据等边三角形的性质和30MON ∠=︒，可求得1130∠=︒OB A ，进而证得11OA B ∆是等腰三角形，可求得2OA 的长，同理可得22OA B ∆是等腰三角形，可得222=A B OA ，同理得
规律333、
、=⋅⋅⋅=n n n A B OA A B OA ，即可求得结果． 【详解】
解：∵30MON ∠=︒，112A B A ∆是等边三角形，
∴11260∠=︒B A A ，1112A B A A =
∴1111230∠=∠-∠=︒OB A B A A MON ，
∴11∠=∠OB A MON ，则11OA B ∆是等腰三角形，
∴111=A B OA ，
∵11OA =，
∴11121==A B A A OA =1，21122=+=OA OA A A ，
同理可得22OA B ∆是等腰三角形，可得222=A B OA =2，
同理得23342==A B 、34482==A B ，
根据以上规律可得：2018201920192=A B ，即201920192020A B A ∆的边长为20182，
故选：B ．
【点睛】
本题属于探索规律题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°、等角对等边和探索规律并归纳公式是解题的关键．
16．如图，60AOB ∠=，OC 平分AOB ∠，如果射线OA 上的点E 满足OCE ∆是等腰三角形，那么OEC ∠的度数不可能为（ ）
A ．120°
B ．75°
C ．60°
D ．30°
【答案】C
【解析】
【分析】 分别以每个点为顶角的顶点，根据等腰三角形的定义确定∠OEC 是度数即可得到答案.
【详解】
∵60AOB ∠=，OC 平分AOB ∠，
∠AOC=30︒，
当OC=CE 时，∠OEC=∠AOC=30︒，
当OE=CE 时，∠OEC=180OCE COE ∠∠︒--=120︒，
当OC=OE 时，∠OEC=
12
（180COE ∠︒- ）=75︒， ∴∠OEC 的度数不能是60°，
故选：C.
【点睛】
此题考查等腰三角形的定义，角平分线的定义，根据题意正确画出符合题意的图形是解题的关键.
17．如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于G ．则下列结论中错误的是(
)
A ．AD ＝BE
B ．BE ⊥A
C C ．△CFG 为等边三角形
D ．FG ∥BC 【答案】B
【解析】
试题解析：A.ABC 和CDE △均为等边三角形，
60AC BC EC DC ACB ECD ∴==∠=∠=︒，，，
在ACD 与BCE 中，
{AC BC
ACD BCE CD CF =∠=∠=，
ACD BCE ∴≌，
AD BE ∴=，正确.
B .据已知不能推出F 是A
C 中点，即AC 和BF 不垂直，所以AC BE ⊥错误，故本选项符合题意. C.CFG 是等边三角形，理由如下：
180606060ACG BCA ∠=︒-︒-︒=︒=∠，
ACD BCE ≌，
CBE CAD ∴∠=∠，
在ACG和BCF中，{
CAG CBF AC BC
BCF ACG
∠=∠
=
∠=∠，
ACG BCF
∴≌，
CG CH
∴=，又∵∠ACG=60°
CFG
∴是等边三角形，正确.
D.CFG是等边三角形，
60
CFG ACB
∴∠︒=∠
﹦，
.
FG BC
∴正确.
故选B.
18．在平面直角坐标系中，等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为(1，0)、(2，3)，若顶点C 落在坐标轴上，则符合条件的点C有( )个.
A．9 B．7 C．8 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若CA=CB，②若BC=BA，③若AC=AB）讨论，通过画图就可解决问题．
【详解】
①若CA=CB，则点C在AB的垂直平分线上．
∵A（1，0），B（2，3），∴AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点C1，C2．
②若BC=BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有3个交点（A点除外）C3，
C4，C5；
③若AC=AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点C6，C7，C8，C9．而C8（0，-3）与A、B在同一直线上，不能构成三角形，故此时满足条件的点有3个．
综上所述：符合条件的点C的个数有8个．
故选C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解答本题的关键．
19．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③PQ∥AE；④DE＝DP；⑤∠AOE＝120°；其中正确结论的个数为（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【解析】
【分析】
①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE，故①正确；
②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ （ASA），所以AP=BQ；故②正确；
③根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由
∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知③正确；
④根据∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，可知PD≠CD，可知④错误；
⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是
∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，由平角的性质可得∠AOE=120°，可知⑤正确；
【详解】
①∵△ABC和△CDE为等边三角形
∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCB＝60°
∴∠ACD＝∠BCE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD＝BE，故①正确；
由（1）中的全等得∠CBE＝∠DAC，且BC＝AC，∠ACB＝∠BCQ＝60°
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴AP＝BQ，故②正确；
∵△CQB≌△CPA，
∴PC＝PQ，且∠PCQ＝60°
∴△PCQ 为等边三角形，
∴∠PQC ＝∠DCE ＝60°，
∴PQ ∥AE ，故③正确，
∵∠QCP ＝60°，∠DPC ＝∠BCA +∠PAC ＞60°，
∴PD ≠CD ，
∴DE ≠DP ，故④DE ＝DP 错误；
∵BC ∥DE ，
∴∠CBE ＝∠BED ，
∵∠CBE ＝∠DAE ，
∴∠AOB ＝∠OAE +∠AEO ＝60°，
∴∠AOE ＝120°，故⑤正确，
故选C ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，综合性较强，题目难度较大．
20．已知：如图，ABC ∆、CDE ∆都是等腰三角形，且CA CB =，CD CE =，ACB DCE α∠=∠=，AD 、BE 相交于点O ，点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点.以下4个结论：①AD BE =；②180DOB α∠=-；③CMN ∆是等边三角形；④连OC ，则OC 平分AOE ∠.正确的是( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】 ①根据∠ACB=∠DCE 求出∠ACD=∠BCE,证出ACD BCE ≅△△即可得出结论，故可判断； ②根据全等求出∠CAD=∠CBE,根据三角形外角定理得∠DOB=∠OBA+∠BAO,通过等角代换能够得到∠DOB=∠CBA+∠BAC,根据三角形内角和定理即可求出∠CBA+∠BAC,即可求出∠DOB ，故可判断；
③根据已知条件可求出AM=BN,根据SAS 可求出CAM CBN ≅,推出CM=CN ，∠ACM=∠BCN,然后可求出∠MCN=∠ACB=α,故可判断CMN ∆的形状；
④在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，根据ACD BCE ≅△△，可求出∠CEO=∠CDP ,根
据SAS 可求出 CEO CDP ≅,可得∠COE=∠CPD,CP=CO,进而得到 ∠COP=∠COE ，故可判断.
【详解】
①正确，理由如下：
∵ACB DCE α∠=∠=,
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,
即∠ACD=∠BCE,
又∵CA=CB,CD=CE,
∴ACD BCE ≅△△(SAS),
∴AD=BE,
故①正确；
②正确，理由如下：
由①知，ACD BCE ≅△△，
∴∠CAD=∠CBE,
∵∠DOB 为ABO 的外角,
∴∠DOB=∠OBA+∠BAO=∠EBC+∠CBA+∠BAO=∠DAC+∠BAO+∠CBA=∠CBA+∠BAC, ∵∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°,∠ACB=α,
∴∠CBA+∠BAC=180°-α,
即∠DOB=180°-α,
故②正确；
③错误，理由如下：
∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点,
∴AM=
12AD,BN= 12
BE, 又∵由①知，AD=BE,
∴AM=BN,
又∵∠CAD=∠CBE,CA=CB,
∴CAM CBN ≅(SAS), ∴CM=CN ，∠ACM=∠BCN,
∴∠MCN=∠MCB+∠CBN=∠MCB+∠ACM=∠ACB=α,
∴MCN △为等腰三角形且∠MCN=α,
∴MCN △不是等边三角形，
故③错误；
④正确，理由如下：
如图所示，在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，
由①知，ACD BCE ≅△△，
∴∠CEO=∠CDP ,
又∵CE=CD,EO=DP ,
∴CEO CDP ≅(SAS),
∴∠COE=∠CPD,CP=CO,
∴∠CPO=∠COP ,
∴∠COP=∠COE,
即OC 平分∠AOE,
故④正确；
故答案为：B.
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理和外角定理，等边三角形的判定，根据已知条件作出正确的辅助线，找出全等三角形是解题的关键.。