第八章 第5节 圆锥曲线焦半径比例公式-解析版

第5节 圆锥曲线焦半径比例公式
知识与方法
1．设过圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的焦点F 的直线与该圆锥曲线交于A 、B 两点，记AFO α∠=，
若AF FB λ=，其中0λ>，则1
cos 1
e λαλ-=+，其中e 为圆锥曲线的离心率.
速记口诀：“一口干”，“一口”是cos e α的谐音，“干”是等号右侧的上“－”下“＋”. 2．对于焦点在x 轴上的圆锥曲线C ，若过其焦点F 且斜率为k 的直线交C 于A 、B 两点，且AF FB λ=，
其中0λ>，则该圆锥曲线的离心率21
11
e k λλ-=++
典型例题
【例1】已知椭圆2
2:14
x C y +=，过右焦点F 2l 交椭圆C 于A 、B 两点，若AF BF >，
则AF BF =_______. 【解析】解法1：易求得2a =，1b =，3c =，如图，设AFO α∠=，则tan 2α=3
cos α=
2
1cos 3
233
b AF a
c α
==--⨯
，
()22
1
cos cos 3
3233
b b BF a
c a c παα
===
=--++⨯
，从而3AF BF =. 解法23
，
如图，设AFO α∠=，则tan 2α3
cos α=
设AF BF
λ=，由焦半径比例公式，331
231λλ-=+， 解得：3λ=或1
3
，因为AF BF >，所以3AF BF =.
【答案】3
变式1（2010·全国Ⅱ卷）已知椭圆22
22:1x y C a b
+=()0a b >>3，过其右焦点F 且斜率为()
0k k >的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若3AF FB =，则k 的值为（ ） A.1
23 D.2
【解析】解法1：椭圆C 3
2a b ⇒=，3c b =， 所以)3,0F
b ，直线l 的方程为()
3y k x b =，
联立()
222344y k x b x y b
⎧=⎪⎨⎪+=⎩消去x 整理得：22212340b y y b k ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
设()11,A x y ，()22,B x y ，则由韦达定理，1223bk y y +=，22
122
14b k y y k =+
又3AF FB =，所以123y y =-,，代入上面韦达定理的两个式子可得23bk y =，()222
22
314b k y k =+，消去2
y 可得：
()
()
22
22
2
22331414b k b k k k =
++ 解得：2k =0k >，所以2k
解法2：由公式2111e k λλ-=++2331
131k -=++， 解得：2k =0k >，所以2k
【答案】B
变式2 过椭圆22
22:1x y C a b
+=()0a b >>的右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若
3AF FB =，则椭圆C 的离心率为_______.
【解析】由公式2
111
e k λλ-=++可得()
23131231e -=+=
+
3
【反思】上面的几道题总结起来就是椭圆的离心率e 、焦半径长度比值λ以及α这三个量的知二求一.
【例2】已知双曲线2
2:13
x C y -=，过其左焦点F 2的直线l 交双曲线C 于A 、B 两点，若
AF BF >，则AF
BF =_______.
【解析】如图，设AFO α∠=，AF BF
λ=，
则tan 2α=3cos α=， 由公式1cos 1e λαλ-=+2331
31λλ⎛⎫-= ⎪ ⎪+⎝⎭
， 解得：5λ=或1
5
，又AF BF >，所以5λ=.
【答案】5
变式1 已知双曲线22
22:1x y C a b
-=()0,0a b >>23，过其左焦点F 的斜率为k 的直线l 交双
曲线C 于A 、B 两点，若5AF FB =，则k =_______.
【解析】如图，由公式2111e k λλ-=++22351
151k -=++， 解得：2k =
【答案】2变式2 过双曲线22
22:1x y C a b
-=()0,0a b >>的左焦点F 2l 与双曲线C 交于A 、B 两点，
若5AF FB =，则双曲线C 的离心率为_______.
【解析】如图，由公式21
11e k λλ-=++
可得双曲线C 的离心率()
2
5123
12
51
e -=+
=
+.
23
【例3】已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若2AF BF =，则直线l 的斜率为_______.
【解析】解法1：显然直线l 不与y 轴垂直，故可设其方程为2p x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，将2
p
x my =+
代入22y px =消去x 整理得：2220y pmy p --=， 由韦达定理，122y y pm +=，212y y p =-，
又2AF BF =，所以122y y =-代入上面韦达定理的式子可得22y pm =-，2
2
2
2
p y =，
消去2y 可得2m =l 的斜率1
22k m
==±
解法2：如图，由公式2111e k λλ-=++可得221
1121
k -=++，
解得：22k =±
【答案】2±变式 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过F 3l 与双曲线C 交于A 、B 两点，O 为原点，A 在x 轴上方，记AFO 和BFO 的面积分别为1S 和2S ，则1
2
S S =_______. 【解析】设AF FB λ=，如图，显然1λ>，
由公式2111e k λλ-=++可得()
21
1131
λλ-=++，
解得3λ=或1
3
，又1λ>，所以3λ=，显然123AF S S BF λ===.
【答案】3
强化训练
1.（★★★）已知椭圆22
:143
x y C +=，
过左焦点F 作倾斜角为60°的直线l 交椭圆于A 、B 两点，若AF BF >，则AF BF =_______. 【解析】解法1：易求得2a =，3b =1c =，因为AF BF >，
所以232cos 21cos60b AF a c α===--⨯︒，236
cos 21cos1205
b BF a
c α===+-⨯︒，故
53AF BF =. 解法2：由题意，椭圆的离心率为1
2
，如图， 60AFO =∠︒，
由焦半径比例公式，11
cos6021λλ-︒=+，
解得：53λ=或3
5
，因为AF BF >
，所以
53AF BF =
【答案】5
3
2．（★★★）已知椭圆2
2:13
x C y +=，过其左焦点F 作倾斜角为45°的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若
AF BF >，则AF
BF =_______.
【解析】设
AF BF
λ=，因为AF BF >，所以1λ>，由公式1cos 1
e λελ-=
+61
4531λλ-︒=+，解得：23λ=或231λ>，所以23λ=.
【答案】23
3.（2010·全国Ⅰ卷·★★★）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2BF FD =，则C 的离心率为_______.
【解析】解法1：如图，设椭圆C 的方程为22
22:1x y C a b
+=()0a b >>，不妨设()0,B b ，(),0C c -，因为
2BF FD =，所以3,22c b D ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，代入椭圆C 的方程得2291144c a +=，从而椭圆C 的离心率3c e a ==
.
解法2：如图，记BFO α∠=，则211
cos 213
e α-==+， 显然cos OF c e BF
a α==
=，所以21
3
e =，故3e =. 3 4.（★★★）已知双曲线22
22:1x y C a b
-=()0,0a b >>的离心率为2，过其右焦点F 的斜率为()0k k >的直线
l 交双曲线C 于A 、B 两点，若5AF FB =，则k =_______.
【解析】如图，由公式2111e k λλ-=++可得251
2151k -=++，
解得：22k =±0k >，所以22k =.
【答案】25.（★★★）已知椭圆2222:1x y C a b +=()0a b >>的离心率为1
2
，过左焦点F 且斜率为()0k k >的直线交椭圆
C 于A 、B 两点，若2AF FB =，则k =_______.
【解析】由公式2111e k λλ-=++可得21211221k -++，解得：5k =，又0k >，所以5
k =.
5
6.（★★★）过椭圆22
22:1x y C a b
+=()0a b >>的左焦点F 作斜率为2的直线l 与C 交于A 、B 两点，若
2AF FB =，则椭圆C 的离心率为_______.
【解析】由公式2111e k λλ-=++可得椭圆C 的离心率2215
1221e -++ 5
7.（★★★）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若A 在x 轴上方，且2AF FB =，则直线l 的方程为_______.
【解析】解法1：由公式2111e k λλ-=++可得221
1121k -=++，解得：22k =±A 在x 轴上方可知
22k =()1,0F ，所以直线l 的方程为)221y x =-.
解法2：如图，设AFO α∠=，则BFO πα∠=-，由焦半径公式，2
1cos AF α
=
-，
()
22
1cos 1cos BF παα
=
=
--+，
因为2AF FB =，所以2AF BF =，从而2221cos 1cos αα=⋅
-+，解得：1
cos 3
α=， 故222sin 1cos αα-=l 的斜率sin tan 22cos k α
αα
===l 的方程为)221y x =-.
解法3：如图，()1,0F ，显然直线l 不与y 轴垂直，故可设其方程为1x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立214x my y x
=+⎧⎨=⎩消去x 整理得：2440y my --=，
由韦达定理，124y y m +=，124y y =-，
又2AF FB =，所以122y y =-，
代入上面的韦达定理可得24y m =-，2
2
2y =，所以2
m = 结合图形可得0m >，所以直线l 的方程为2
1x y =
+，即)21y x =-
【答案】)221y x =-
8.（★★★★）已知1F 、2F 分别为椭圆22
22:1x y E a b
+=()0a b >>的左、右焦点，E 上存在两点A 、B 使得梯
形12AF F B 2c ，其中c 为椭圆E 的半焦距，且123AF BF =，则椭圆E 的离心率为（ ） 63 C.12
2 【解析】如图，设1AF O α∠=，延长1AF 交椭圆E 于点B '， 因为123AF BF =，所以113AF F B '= 由公式1cos 1e λαλ-=
+可得311
cos 312
e α-=
=+， 又梯形12AF F B 2c ，所以12cos 2F F c α⋅=， 从而1222
cos c F F α=
=
，故椭圆E 的离心率22
e =.
【答案】D
9.（★★★★）倾斜角为3
π
的直线l 经过双曲线2222:1x y C a b -=()0,0a b >>的右焦点F ，直线l 与双曲线C
的右支交于A 、B 两点，且AF FB λ=()5λ≥，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ） A.4,3⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭ B.41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ C.()1,2 D.4,23⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【解析】由公式1cos 1e λαλ-=+可得1
cos 31e πλλ-=+，
所以()
()
()2121214
4
21
1
1
1
e λλλλλλλ--+-=
=
=
=-
++++， 因为5λ≥，所以16λ+≥，从而42013λ<≤+，故4
23
e ≤<.
【答案】D。