二次函数与幂函数练习题

二次函数与幂函数练习题
一、题点全面练
1．幂函数y ＝f (x )经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
解析：选D 设幂函数的解析式为y ＝x α
，将(3，3)代入解析式得3α
＝3，解得α＝1
2
，所以y ＝x 1
2.故选D. 2．已知函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c ，若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )
解析：选D 由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，得a >0，c ＜0，所以函数图象开口向上，排除A 、C.又f (0)＝c ＜0，所以排除B ，故选D.
3.二次函数f (x )的图象如图所示，则f (x －1)>0的解集为( )
A ．(－2,1)
B ．(0,3)
C ．(－1,2]
D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)
解析：选B 根据f (x )的图象可得f (x )>0的解集为{x |－1＜x ＜2}，而f (x －1)的图象是由f (x )的图象向右平移一个单位得到的，故f (x －1)>0的解集为(0,3)．故选B.
4．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫121
3，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a ＜b ＜c
B ．c ＜a ＜b
C ．b ＜c ＜a
D ．b ＜a ＜c
解析：选D ∵y ＝x 23
(x >0)是增函数，∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122
3>b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152
3.∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
是减函数，∴a
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＜c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫121
3，∴b ＜a ＜c .
5．已知函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，且2是f (x )的一个零点，－1是f (x )的一个极小值点，那么不等式f (x )>0的解集是( )
A ．(－4,2)
B ．(－2,4)
C ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，－2)∪(4，＋∞)
解析：选C 依题意，f (x )图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－1，方程ax 2
＋bx ＋c ＝0的一个根是2，另一个根是－4.因此f (x )＝a (x ＋4)(x －2)(a >0)，于是f (x )>0，解得x >2或x ＜－4.
6．已知点(m,8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n
的图象上，设a ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
⎝ ⎛⎭⎪⎫1312，b ＝f (ln π)，c
＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＜a ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a
D ．b ＜a ＜c
解析：选A 根据题意，m －1＝1，∴m ＝2，∴2n
＝8， ∴n ＝3，∴f (x )＝x 3
.
∵f (x )＝x 3
是定义在R 上的增函数， 又－12＜0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫131
2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫130
＝1＜ln π，
∴c ＜a ＜b .
7．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若
f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是________．
解析：由题意可知函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝2(如图)，若f (a )≥f (0)，从图象观察可知0≤a ≤4.
答案：[0,4]
8．若函数f (x )＝x 2
－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为
________．
解析：∵函数f (x )＝x 2
－2x ＋1＝(x －1)2
的图象的对称轴为直线x ＝1，且f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，
∴当a ≥1时，f (a )＝(a －1)2
＝4， ∴a ＝－1(舍去)或a ＝3；
当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (a ＋2)＝(a ＋1)2
＝4，∴a ＝1(舍去)或a ＝－3； 当a ＜1＜a ＋2，即－1＜a ＜1时，f (1)＝0≠4. 故a 的取值集合为{－3,3}． 答案：{－3,3}
9．已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f (x )满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2.
(1)求f (x )的表达式；
(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1,2]上的最大值为f (2)，最小值为f (－1)，求实数
k 的取值范围．
解：(1)由f (－1＋x )＝f (－1－x )，可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称， 设f (x )＝a (x ＋1)2
＋h ＝ax 2
＋2ax ＋a ＋h (a ≠0)， 由函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1，a >0， 根据根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋h
a
， ∴|x 1－x 2|＝
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2＝
－4h
a
＝2，
解得a ＝1，∴f (x )＝x 2
＋2x .
(2)由题意得函数g (x )在区间[－1,2]上单调递增， 又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2
－(k －2)x . ∴g (x )图象的对称轴方程为x ＝k －2
2
，
则
k －2
2
≤－1，即k ≤0，故k 的取值范围为(－∞，0]．
10．已知函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R)．
(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
f x
，x >0，
－f x ，x ＜0，
求F (2)
＋F (－2)的值；
(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b
2a
＝－1，
解得a ＝1，b ＝2，
∴f (x )＝(x ＋1)2
，∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋
2
，x >0，－x ＋
2
，x ＜0.
∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2－(－2＋1)2
＝8.
(2)由题可知，f (x )＝x 2
＋bx ，原命题等价于－1≤x 2
＋bx ≤1在(0,1]上恒成立， 即b ≤1x －x 且b ≥－1
x
－x 在(0,1]上恒成立．
又1x －x 的最小值为0，－1
x
－x 的最大值为－2，
∴－2≤b ≤0，故b 的取值范围是[－2,0]．
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．已知函数f (x )＝x 2
＋x ＋c ，若f (0)>0，f (p )＜0，则必有( ) A ．f (p ＋1)>0 B ．f (p ＋1)＜0
C ．f (p ＋1)＝0
D ．f (p ＋1)的符号不能确定
解析：选A 由题意知，f (0)＝c >0，函数图象的对称轴为直线x ＝－1
2
，则f (－1)＝
f (0)>0，设f (x )＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1＜x 2)，则－1＜x 1＜x 2＜0，根据图象知，x 1＜p
＜x 2，故p ＋1>0，则f (p ＋1)>0.
2．已知幂函数f (x )＝(n 2
＋2n －2)·x 2-3n n
(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)
上是减函数，则n 的值为( )
A ．－3
B ．1
C ．2
D ．1或2
解析：选B 由于f (x )为幂函数，所以n 2
＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，当n ＝1时，函数f (x )＝x －2
为偶函数，其图象关于y 轴对称，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以n ＝1满足题意；当n ＝－3时，函数f (x )＝x 18
为偶函数，其图象关于y 轴对称，而f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以n ＝－3不满足题意，舍去．故选B.
3．已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围为( )
A ．[－2，2]
B ．[1，2]
C ．[2,3]
D ．[1,2]
解析：选B 由于函数f (x )＝x 2
－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ， 函数f (x )＝x 2
－2tx ＋1在区间(－∞，1]上单调递减， 所以t ≥1.
则在区间[0，t ＋1]上，0距对称轴x ＝t 最远，故要使对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，
只要f (0)－f (t )≤2即可，即1－(t 2
－2t 2
＋1)≤2， 求得－2≤t ≤ 2.
再结合t ≥1，可得1≤t ≤ 2.故选B.
4．若函数f (x )＝x 2
＋2ax ＋2在区间[－5,5]上是单调函数，则实数a 的取值范围为________．
解析：函数f (x )＝(x ＋a )2
＋2－a 2
的图象的对称轴为直线x ＝－a ， 因为y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数， 所以－a ≤－5或－a ≥5，即a ≤－5或a ≥5. 故实数a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)． 答案：(－∞，－5]∪[5，＋∞)
5．已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2
－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是________．
解析：Δ＝4(a －2)2
－4a ＝4a 2
－20a ＋16＝4(a －1)(a －4)．
(1)若Δ＜0，即1＜a ＜4时，x 2
－2(a －2)x ＋a >0在R 上恒成立，符合题意； (2)若Δ＝0，即a ＝1或a ＝4时，方程x 2
－2(a －2)x ＋a >0的解为x ≠a －2， 显然当a ＝1时，不符合题意，当a ＝4时，符合题意；
(3)当Δ>0，即a ＜1或a >4时，因为x 2
－2(a －2)x ＋a >0在(－∞，1)∪(5，＋∞)上恒成立，
所以⎩⎪⎨⎪
⎧
1－a －＋a ≥0，25－
a －＋a ≥0，1＜a －2＜5，
解得3＜a ≤5，
又a ＜1或a >4，所以4＜a ≤5. 综上，a 的取值范围是(1,5]． 答案：(1,5]
(二)技法专练——活用快得分
6．[更换主元法]对于任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2
＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )
A ．(1,3)
B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)
C ．(1,2)
D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)
解析：选B 原题可转化为关于a 的一次函数y ＝a (x －2)＋x 2
－4x ＋4>0在[－1,1]上恒成立，
只需⎩
⎪⎨
⎪⎧
－x －＋x 2
－4x ＋4>0，
x －
＋x 2
－4x ＋4>0
⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
x >3或x ＜2，
x >2或x ＜1⇒x ＜1或x >3.故选B.
7．[分离参数法]方程x 2
＋ax －2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞
B ．(1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－235，1 D.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－235
解析：选C 方程x 2
＋ax －2＝0在区间[1,5]上有解转化为方程a ＝2－x
2
x
在区间[1,5]
上有解，即y ＝a 与y ＝2－x 2x 的图象有交点，又因为y ＝2－x 2
x ＝2x
－x 在[1,5]上是减函数，
所以其值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－235，1，故选C.
(三)难点专练——适情自主选
8．函数f (x )＝－x 2
＋3x ＋a ，g (x )＝2x －x 2
，若f (g (x ))≥0对x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．[－e ，＋∞)
B ．[－ln 2，＋∞)
C ．[－2，＋∞)
D.⎝ ⎛⎦
⎥⎤－12，0
解析：选C 如图所示，在同一坐标系中画出y ＝x 2＋1，y ＝2x ，y ＝x 2
＋32的图象，由图
象可知，在[0,1]上，x 2＋1≤2x ＜x 2＋32恒成立，即1≤2x －x 2
＜32，当且仅当x ＝0或x ＝1时
等号成立，∴1≤g (x )＜3
2，∴f (g (x ))≥0⇒f (1)≥0⇒－1＋3＋a ≥0⇒a ≥－2，即实数a 的
取值范围是[－2，＋∞)，故选C.
9．定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a ＜x 0＜b )，满足
f (x 0)＝f b －f a
b －a
，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均
值点，如y ＝x 4
是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2
＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________．
解析：因为函数f (x )＝－x 2
＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，
设x 0为均值点，所以
f
－f －1－－
＝m ＝f (x 0)，
即关于x 0的方程－x 2
0＋mx 0＋1＝m 在(－1,1)内有实数根，解方程得x 0＝1或x 0＝m －1. 所以必有－1＜m －1＜1，即0＜m ＜2， 所以实数m 的取值范围是(0,2)． 答案：(0,2)。