广东省梅县东山中学2010-2011学年高一上学期期末考试数学试题

广东梅县东山中学2010-2011学年度第一学期
高一数学期末测试题
2010-1-19
说明：1.本试卷共20小题，满分150分。

考试用时120分钟；
2.所有答案都必须写在答题卡上对应．．区域内，写在试卷上和其他地方的答案无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。

1. 在0到2π范围内，与角43
π
-
终边相同的角是（ ） A .6π B .3
π
C .23π
D .43π
2. 函数x x x f -+-=
73)(的定义域是（ ）
A .]7,3[
B .),7[]3,(+∞-∞
C .),7[+∞
D .]3,(-∞ 3. 下列函数中，周期为
2
π
的是（ ） A .tan 4y x = B .cos y x = C .sin 2y x = D .cos 4y x = 4. 已知sin x =5
4
－
,且x 在第三象限，则tan x =（ ） 44
33A.
B. C.
D. 33
44
-- 5. 在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC BD 与的交点，下列结论中正确的是（ ） A .,AB CD BC AD == B .AD OD DA += C .AO OD AC CD +=+ D .AB BC CD DA ++=
6. 化简)3
1
()3()(65
613
1212132b a b a b a ÷-⨯的结果为（ ）
A .a 6
B .a -
C .a 9-
D .29a
7. 已知向量(12)a =，
，(4)b x =，，若向量a b ∥，则x =（ ） A .2
1
-
B .
2
1 C .2- D .2
8. 已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫
=+
> ⎪3⎝⎭
的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）
A .关于点0π
⎛⎫ ⎪3⎝⎭
，对称
B .关于直线x π
=
4对称 C .关于点0π
⎛⎫ ⎪4⎝⎭
，对称
D .关于直线x π
=
3
对称 9. 若向量(1,1)a =，(1,1)b =-，(1,2)c =-，则c 等于（ ） A .1322a b -
+ B .1322a b - C .3122a b - D .3122
a b -+ 10. 已知函数sin
3
y x π
=-在区间[]0,t 上至少取得2个最大值，则正整数t 的最小值是
（ ）
A .9
B .10
C .11
D .12
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

11. 已知角α的终边经过点(3,4)P -，则sin α= .
12. 设12e e 与是两个不共线的向量，则122a e e =-与12()b e e R λλ=+∈共线时λ的值为 .
13. 函数212
log (43)y x x =-+的单调增区间为 .
14. 2
3sin 2cos 0x x a x R a ---≤∀∈若对恒成立，则的取值范围为________.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

15.( 12分) 已知角α是第三象限角，且)
sin()tan()
tan()2cos()sin()(απαππααπαπα--+----=f
（1）化简)(αf ； （2）若5
1
)23cos(=-πα，求)(αf 的值.
16. ( 12分)已知函数()2sin(2),4
f x x x R π
=+
∈
（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调增区间；
（2）函数)(x f 的图像可以由函数sin ()y x x R =∈的图像经过怎样的变换得到？
17. ( 14分)已知二次函数()()y f x x =∈R 的图象过点（0，-3），且0)(>x f 的解集)3,1(. （1）求)(x f 的解析式； （2）求函数]2
,0[),(sin π
∈=x x f y 的最值.
18. ( 14分)已知函数()sin()(00,)2
f x A x A x π
ωϕωϕ=+>><∈R ，，的部分图象如图2所示，
（1）求()f x 的解析式；
（2）求直线3y =与函数()f x 图象的所有交点的坐标．
19.(14分) ()f x 是定义在R 上的函数，对,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，
()0,f x <(1)2f -＝。

（1）求证：()f x 为奇函数；
（2）求证：()f x 是R 上的减函数； （3）求()f x 在[]24－，上的最值。

20.(14分) 定义：若函数)(x f 对于其定义域内的某一数0x ，有00)(x x f =，则称0x 是)(x f 的一个不动点. 已知函数)0(1)1()(2
≠-+++=a b x b ax x f . （1）当1=a ，2-=b 时，求函数)(x f 的不动点；
（2）若对任意的实数b ，函数)(x f 恒有两个不动点，求a 的取值范围；
（3）在(2)的条件下，若)(x f y =图象上两个点A 、B 的横坐标是函数)(x f 的不动点，且A 、B 的中点C 在函数1
45)(2+-+
-=a a a
x x g 的图象上，求b 的最小值.
（参考公式：),(),,(2211y x B y x A 的中点坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛++2,22121y y x x ）
梅县东山中学2010-2011学年度高一第一学期期末测试题
参考答案
三、解答题
15.(12分) 解：(1) sin cos (tan )
()tan sin f αααααα
⋅⋅-=⋅=αcos - ……………………(6分)
(2)∵51)23cos(=-πα, ∴5
1
sin -=α , 又∵α是第三象限角
∴562cos -
=α ∴)(αf =αcos -=5
6
2 ……………………(12分)
16.(12分) 解：（1）;T π= ……………………(2分)
32222
4
2
88
k x k k x k π
π
π
ππ
ππππ-
<+
<+
-
<<+由得 3()(,)()88
f x k k k Z ππ
ππ∴-+∈的单调增区间为 ……………………
(6分)
（2）将函数sin y x =图象向左平移4π个单位，得到函数sin 4y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象；……(8
分)
再将图象上每一点的横坐标变成原来的
12倍，得到sin 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象； (10分)
最后将图象上每一点的纵坐标变成原来的2倍,得到()2sin(2)4
f x x π
=+的图象 (12分)
17.(14分)解：（1）由题意可设()(1)(3)(0)f x a x x a =--< ……………………(2分)
(0)(1)(3)3,1f a a ∴=⋅-⋅-=-=-图像过点(0,-3) 解得： …………………
…(5分)
2()(1)(3)43f x x x x x ∴=---=-+-, ……………………(7
分)
()f x ∴的解析式为)(x f =342-+-x x . ……………………(8
分)
（2）()2
2(sin )sin 4sin 3sin 21y f x x x x ==-+-=--+ ……………………(10分)
[0,]2
x π
∈ sin [0,1]x ∴∈ ……………………(11
分)
min max sin 03;sin 10x y x y ∴==-==当时，当时， ……………………
(14分)
18.（14分）解：(1)由图象得2A =，7ππ4π22T ⎛⎫
=
--= ⎪⎝⎭
． ……………………(2分)
则2π12T ω==．
故1()2sin 2f x x ϕ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
． ……………………(4分)
又(,2)2π图像过点 12sin()222
π
ϕ∴⨯+= 1π2222k πϕπ⎛⎫∴⨯+=+ ⎪⎝⎭
2,4
k k Z π
ϕπ∴=+
∈ π2
4
π
ϕϕ<
∴=
． ……………………(7分)
1
π()2sin 2
4f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ ……………………(8
分)
(2)由条件知1
π32sin 2
4x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，
得
1ππ2π()243x k k +=+∈Z 或1π2π
2π()243x k k +=+∈Z ． …………………… (11分)
π4π()6x k k ∴=+∈Z 或5π
4π()6
x k k =+∈Z ．
……………………(12分)
∴则所有交点坐标为π4π36k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，或5π4π3()6k k ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
Z ， ……………………(14
分)
()f x R 19.(14分) (1)证明：定义域为
0,(0)(0)(0)(0)0
x y f f f f ===+∴=令则， (2分)
2121()()0()()()f x f x f x f x f x R ∴-<<∴ 即 在为减函数
（10分）
(1)2(2)(1)(1)f f f f -∴--+-=(3)解：= = 4
（11分）
()(2)(2)4(4)(2)(2)f x f f f f f ∴=--=-∴+为奇函数 ==-8
（12分）
[]max min ()24()(2)4,()(4)8
f x f x f f x f ∴=-===-在－，上为减函数 （14分）
20.（14分）解: (1)3)(2
--=x x x f ，由x x x =--32， ……………………1分解得3=x 或1-=x ，所以所求的不动点为1-或 3. ……………………3分
(2)令x b x b ax =-+++1)1(2
，则012=-++b bx ax ①
由题意，方程①恒有两个不等实根，所以0)1(42
>--=∆b a b ， ……………………5分
即2
440b ab a b R -+>∀∈对恒成立， 网 ……………………6分
则016162<-=∆'a a ， 01a ∴<< ……………………8分
(3)依题意设11(,)A x x ，22(,)B x x 12()x x ≠ ……………………9分
则AB 中点C 的坐标为1212,2
2x x x x ++⎛⎫
⎪⎝⎭
又AB 的中点在直线1
45)(2
+-+-=a a a
x x g 上 12122
22541
x x x x a
a a ++∴=-+-+ ∴1
452
21+-=+a a a
x x ， ……………………10分 又12,x x 是方程①的两个根， 12b x x a ∴+=-，即1452
+-=-a a a
a b ， ∴14522+--=a a a b =-51411
2+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a a =-1)21(12+-a ……………………12分
1011a a
<<∴>
∴当 12a = 1
2
a =即时，
b min =1- ……………………14分。