高中天津市静海一中高一上学期期末数学试题

天津市静海一中【精品】高一上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合{}|1213A x x =-≤+≤，{}2|log B x y x ==，则A
B =（） A ．(]0,1 B ．[]1,0-
C ．[)1,0-
D ．[]0,1 2．已知关于x 的不等式()
()224210a x a x -+--≥的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B ．62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
C ．6,25⎛⎤- ⎥⎝⎦
D ．(][),22,-∞+∞ 3．已知：1:12
p a -<<，[]:1,1q x ∀∈-，220,x ax --<则p 是q 成立的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不是充分条件也不是必要条件
4．已知2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1
314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，3log c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>
5．函数()4sin (0)3f x x πωω⎛
⎫=+> ⎪⎝⎭
的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ）
A ．4x π
= B ．3x π
= C ．56x π= D ．1912
x π= 6．若函数()f x 为奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(2)0f =，则
()()0f x f x x --<的解集为（ ）
A ．(2,0)
(0,2)- B ．(,2)(0,2)-∞-⋃ C ．(,2)(2,)-∞-+∞ D ．(,2)(2,)-∞-+∞
7．若正数,a b 满足：121a b +=，则2112
a b +--的最小值为（ ）
A ．2
B ．2
C ．52
D ．14
+
8．函数2321,0()|log ,0
x x x f x x x ⎧-++⎪=⎨⎪⎩，则方程[()]1f f x =的根的个数是（ ） A ．7
B ．5
C ．3
D ．1
二、填空题 9．化简：()()
sin 570cos 2640tan1665︒︒
-︒+-+的值为________． 10．若函数()()()()22,0,0x x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩为奇函数，则()()1f g -=________． 11．方程2sin(2)2103x a π++-=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是__________．
12．已知1tan()42π
α+=，且02πα-<<，则22sin sin 2cos()4ααπα+=- .
13．对任意的0,
2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不等式221421sin cos x θθ
+≥-恒成立，则实数x 的取值范围是__________．
三、解答题 14．设函数()()2
442f x x a x a =+-+-， （1）解关于x 的不等式()0f x >；
（2）若对任意的[]1,1x ∈-，不等式()0f x >恒成立，求a 的取值范围；
15．
（1）已知sin(2)cos 2()cos tan()2f ππαααπαπα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭
； （2）若tan 2α=，求224sin 3sin cos 5cos αααα--的值；
（3
）求()sin 501︒︒的值； （4）已知3cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求2sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭
．结合题目的解答过程总结三角函数求值（化简）最应该注意什么问题？
16．已知函数2()cos sin 1()34
f x x x x x π⎛
⎫=++-∈ ⎪⎝⎭R ． （1）求()f x 的最小正周期及增区间；
（2）求()f x 在区间,44ππ⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并分别写出相应的x 的值． 17．
（1）已知02π
α<<，62sin 65πα⎛
⎫-= ⎪⎝⎭，求sin 212πα⎛⎫- ⎪⎝⎭
；
（2）已知cos 410
x π⎛
⎫-= ⎪⎝⎭，3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （i ）求sin x 的值；
（ii ）求sin 23x π⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
的值． 18．已知定义域为R 的函数()221g x x x m =-++在[]1,2上有最大值1，设
()()g x f x x
= ． （1）求m 的值；
（2）若不等式()33log 2log 0x k f x -≥在[]3,9x ∈上恒成立，求实数k 的取值范围；
（3）若函数()()()()
32111x x x h e e x f e k k -⋅--=-+有三个不同的零点，求实数k 的取值范围（e 为自然对数的底数）
．
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
化简集合A,B ，根据交集的运算求解即可.
【详解】
因为{}|1213[1,1]A x x =-≤+≤=-，{}2|log (0,)B x y x ===+∞，
所以0,1]A
B =（， 故选A.
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.
2．C
【分析】
由题意得出关于x 的不等式()
()224210a x a x -+--<的解集为R ，由此得出240a -=或2400
a ⎧-<⎨∆<⎩，在240a -=成立时求出实数a 的值代入不等式进行验证，由此解不等式可得出实数a 的取值范围.
【详解】
由题意知，关于x 的不等式()
()224210a x a x -+--<的解集为R . （1）当240a -=，即2a =±．
当2a =时，不等式()
()224210a x a x -+--<化为10-<，合乎题意； 当2a =-时，不等式()()224210a x a x -+--<化为410x --<，即14x >-，其解集不为R ，不合乎题意；
（2）当240a -≠，即2a ≠±时．
关于x 的不等式()
()224210a x a x -+--<的解集为R . 2400
a ⎧-<∴⎨∆<⎩，解得265a -<<．
综上可得，实数a 的取值范围是6,25⎛⎤-
⎥⎝⎦
．故选C ． 【点睛】 本题考查二次不等式在R 上恒成立问题，求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和判别式的符号列不等式组进行求解，考查化归与转化思想，属于中等题.
3．A
【解析】
【分析】
构造函数()2
2f x x ax =--，先解出命题q 中a 的取值范围，由不等式()0f x <对 []1,1x ∀∈-恒成立，得出()()1010
f f ⎧-<⎪⎨<⎪⎩，解出实数a 的取值范围，再由两取值范围的包含关系得出命题p 和q 的充分必要性关系。

【详解】
构造函数()2
2f x x ax =--，对[]1,1x ∀∈-，()0f x <恒成立， 则()()
110110f a f a ⎧-=-<⎪⎨=--<⎪⎩，解得11a -<<， ()1,11,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，因此，p 是q 的充分但不必要条件，故选：A.
【点睛】 本题考查充分必要条件的判断，一般利用集合的包含关系来判断两条件的充分必要性： （1）A
B ，则“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件； （2）A B ，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件；
（3）A B =，则“x A ∈”是“x B ∈”的充要条件；
（4）A B ⊄，则“x A ∈”是“x B ∈”的既不充分也不必要条件。

4．D
【分析】
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.
【详解】
解：因为2210
3331111013244a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=<==<= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 33log log 31c π=>=，
所以a ，b ，c 的大小关系为c b a >>.
故选：D.
【点睛】
本题考查三个数的大小比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，属于基础题. 5．D
【分析】 由三角函数的周期可得23
πω=，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为244sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，再求其对称轴方程即可. 【详解】 解：函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝
⎭的最小正周期是3π，则函数2()4sin 3
3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经过平移后得到函数解析式为2244sin 4sin 36339y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，由24()392x k k πππ+=+∈Z ， 得3()212x k k ππ=+∈Z ，当1k =时，1912
x π=. 故选D.
【点睛】
本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.
6．A
【分析】
根据()f x 为奇函数可把
()()0f x f x x --<化为2()0f x x <，分类讨论后可得不等式的解集. 【详解】
因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()0f x f x x --<即()0f x x
<.
当0x >时，()0f x x <等价于0()0x f x >⎧⎨<⎩也即是()0()2x f x f >⎧⎨<⎩
， 因为()f x 在(0,)+∞内是增函数，故可得02x <<.
因为()f x 在(0,)+∞内是增函数且()f x 为奇函数，
故()f x 在(,0)-∞内是增函数，又()()220f f -=-=.
当0x <时，()0f x x <等价于0()0x f x <⎧⎨>⎩也即是()0()2x f x f <⎧⎨>-⎩
， 故可得20x -<<. 综上，()()0f x f x x
--<的解集为(2,0)(0,2)-. 故选：A.
【点睛】
如果一个函数具有奇偶性，那么它的图像具有对称性，偶函数的图像关于 轴对称，奇函数的图像关于原点对称，因此知道其一侧的图像、解析式、函数值或单调性，必定可以知晓另一侧的图像、解析式、函数值或单调性.
7．A
【分析】 把121a b
+=化为()()122a b --=，利用基本不等式可求最小值. 【详解】 因为
121a b +=，,a b 为正数，所以1201,01a b
<<<<，从而1,2a b >>. 又121a b +=可化为()()122a b --=，
故21212a b +≥=--，当且仅当3,3a b ==时等号成立， 所以2112
a b +--的最小值为2. 故选：A.
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值
的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.
8．A
【分析】
本题利用[()]1f f x =结合分段函数解析式求出()f x 的值，再结合分段函数求出x 的值，从而判断根的个数．
【详解】
解：[()]1f f x =，
∴（1）若()0f x ，则2(())2()11f x f x -++=得()0f x =或2(舍).
()0f x =
时，①0x 时，则2210-++=x x 解得1x =1舍)；
②0x >时，3
|log |0x =解得1x =； （2）若()0f x >，则()3|log |1f x =解得()3f x =或13
. ()3f x =时，①0x 时则2213-++=x x 解得x 无解；
②0x >时，3|log |3x =解得27x =或127
； 1
()3f x =时，③0x 时则21213
-++=x x 解得1x =或1+舍)； ④0x >时，31|log |3x =时解得13x 3=或133-.
综上：1x =-1x =或27x =或127
x =或1x =或13x 3=或133-. 故选：A .
【点睛】 本题考查了函数思想和方程思想，需要学生有较强的计算能力，属于中档题．
9．1
【分析】
利用诱导公式可求三角函数式的值.
【详解】
原式()()()
sin 570720cos 26402880162tan 16650︒︒=-︒+︒+-︒++-︒ sin150cos240tan 45sin30cos601=︒+︒+︒=︒-︒+
111122
=-+=， 故答案为：1.
【点睛】
诱导公式有五组，其主要功能是将任意角的三角函数转化为锐角或直角的三角函数．记忆诱导公式的口诀是“奇变偶不变，符号看象限” ．
10．15-
【解析】
根据题意，当0x <时，()()(),f x g x f x =为奇函数，
()()()()()()()()()211113(323)15f g f f f f f f f -=-=-=-=-=-+⨯=-，则 故答案为15-.
11．12a -<≤ 【详解】
∵1﹣2a=2sin （2x+
3
π）， 令y 1（x ）=2sin （2x+3π），y 2（x ）=1﹣2a ， ∵x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， ∴2x+3π∈[3π，43
π]， 方程2sin （2x+3π）+2a ﹣1=0在[0，2
π]上有两个不等的实根，
（2x+
3π）＜2
﹣2a ＜2， ∴﹣2＜2a ﹣1≤
解得﹣12＜
． ∴实数a
的取值范围是1122a -
<≤．
故答案为12a -<≤. 点睛：这个题目考查了已知函数零点求参的问题；对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含x 的函数，注意让含x 的函数式子尽量简单一些.
12
． 【解析】
1tan()42π
α+=，且02πα-<<，所以1tan 11,tan 1tan 23
ααα+=∴=--
,sin α∴=
22sin sin 2()105cos()4
αα
απα+===--=--. 13．[]4,5-
【解析】 ()
22222222221414cos 4sin sin cos 5sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭
59+=，所以21x - 945x ≤∴-≤≤ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
14．（1）见解析 （2）1a <
【解析】
试题分析：（1）利用分类讨论思想分 00a a >=，和0a <三种情况，并结合二次函数的图像进行求解，即可求得0a >时，解集为{2x x >或}2x a <-，0a =时，解集为{}2x x ≠
0a <时，解集为{2x x a >-或}2x <；
（2）由题意得：()()222a x x ->--恒成立⇒ 2a x <-+恒成立⇒ ()min 21x -+= ⇒ 1.a <
试题解析：（1） 0a >时，不等式的解集为{2x x >或}2x a <-
0a =时，不等式的解集为{}2x x ≠
0a <时，不等式的解集为{2x x a >-或}2
x < （2）由题意得：()()222a x x ->--恒成立，
[]1,1x ∈- []23,1x ∴-∈--
2a x ∴<-+恒成立.
易知 ()min 21x -+=，
∴ a 的取值范围为： 1.a <
15．（1）
12；（2）1；（3） 12；（4）35. 注意问题见解析 【分析】
（1）先利用诱导公式化简，再代入计算即可.
（2）利用“1”的代换和弦切互化法可求三角函数式的值.
（3）
把()sin 501︒︒
化为()cos sin 501010cos10︒︒︒︒+，再利用辅助角公式和倍角公式可求该值.
（4）令6x πα=-，则232x ππα-=--，利用诱导公式可求2sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭
的值. 【详解】
（1）用诱导公式化简等式可得
sin (sin )()cos sin tan f αααααα-⨯-==，代入3
πα=可得1cos 332f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故答案为
12. （2）原式可化为：
2222
224sin 3sin cos 5cos 4sin 3sin cos 5cos sin cos αααααααααα----=+ 224tan 3tan 5tan 1
ααα--=+， 把tan 2α=代入，则原式44325141⨯-⨯-=
=+. 故答案为1．
（3
）(
)
()sin 1030cos10sin501sin50sin50cos10cos10︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒++=⋅=⋅ cos40sin 40sin801cos102cos102
︒︒︒︒︒=== 故答案为12
. （4）令6x π
α=-，则6x π
α=-
22sin sin sin 36
32x x ππππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 3sin cos 25x x π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭
. 解题中应注意角与角之间的关系.
【点睛】
三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.
16．(1) 最小正周期为π，增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ ；(2) 4x π
=时，
max 3()4f x =-；12x π=-时，min 3()2
f x =-. 【分析】
（1）利用三角变换公式可将()f x 化为()1sin 2123f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭，利用周期公式和复合函数的单调性的处理方法可求()f x 的最小正周期及增区间.
（2）先求出23x π-
的范围，再利用正弦函数的性质可求()f x 的最值及相应的x 的值. 【详解】
（1）2()cos sin 134
f x x x x π⎛
⎫=++- ⎪⎝⎭
2211cos sin 1sin cos 1224224x x x x x x x ⎛⎫=+-+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭
，
11cos211sin 21sin 2cos21sin 2142244423x x x x x π+⎛⎫=-⋅+-=--=-- ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为22T ππ=
=, 令222232k x k π
π
πππ-≤-≤+，则1212k x k π5ππ-≤≤π+，k Z ∈， 故函数的单调增区间为5,,1212k k k Z π
πππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣⎦
. （2）∵,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 当236x ππ-
=，即4x π=时，max 113()1224f x =⨯-=-； 当232x ππ
-=-，即12x π
=-时，min 13()(1)122f x =
⨯--=- 【点睛】
形如()22sin sin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为()()sin 2f x A x B ωϕ''=++的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．
17．（1；（2）（i ）45；（ii ）. 【分析】
（1）令6π
αθ-=，则22124π
παθ-=+
，利用二倍角的正弦和余弦公式可求sin 2,cos 2θθ的值，再利用两角和的正弦可求sin 212πα⎛
⎫-
⎪⎝⎭的值. （2）（i ）把x 看成44x π
π
-+，利用两角和的正弦可求sin x 的值；（ii ）求出cos x 后利用二倍角的正弦、余弦公式及两角和的正弦可求sin 23x π⎛⎫+
⎪⎝⎭的值． 【详解】
（1）令6π
αθ-=，则22124π
π
αθ-=+， 所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 12444ππππαθθθ⎛
⎫
⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
)22sin cos 12sin 2
θθθ=+-， 又3sin 65πα⎛
⎫-= ⎪⎝⎭，而663
πππα-<-<，故063ππα<-<， 所以4cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，所以
349sin 2212125525πα⎛⎫⎫-=⨯⨯+-⨯= ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭. （2）（i ）sin sin sin cos cos sin 444444x x x x ππππππ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
sin cos 244x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin 2410x π⎡⎛⎫=-+⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦
因为3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,442x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，
所以sin 410x π⎛
⎫-== ⎪⎝⎭4sin 2105
x ==.
（ii ）因为4sin 5x =，3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故3cos 5x =-， 所以4324sin 22sin cos 25525x x x ==-⨯⨯
=-，2167cos 212sin 122525x x =-=-⨯=-. 而sin 2sin 2cos cos 2sin 333x x x πππ
⎛
⎫+=+ ⎪⎝⎭
12472422522550
+⎛⎫⎛⎫=⨯-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】
三角函数中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.
18．（1）0；（2）(],0-∞；（3）()0,∞+12⎧⎫⋃-⎨⎬⎩⎭
【分析】
（1）结合二次函数的性质 可判断g （x ）在[1，2]上的单调性，结合已知函数的最大值可求m ；（2）由（1）可知f （x ），由原不等式可知2k 23312()log x log x
≤-+1在x ∈[3，9]上恒成立，结合对数与二次函数的性质可求；（3）原方程可化为|e x ﹣1|2﹣（3k +2）|e x ﹣1|+（2k +1）＝0，利用换元q ＝|e x ﹣1|，结合二次函数的 实根分布即可求解．
【详解】
（1）因为()()2
1g x x m =-+在[]1,2上是增函数， 所以()()()2max 2211g x g m ==-+=，解得0m =．
（2）由（1）可得：()12f x x x
=+- 所以不等式()33log 2log 0f x k x -≥在[]3,9x ∈上恒成立．
等价于()2331
221log log k x
x ≤-+在[]3,9x ∈上恒成立
令31log t x =，因为[]3,9x ∈，所以1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
则有2221k t t ≤-+在1,12t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦恒成立
令()221s t t t =-+，1,12t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则()()min 10s t s == 所以20k ≤，即0k ≤，所以实数k 的取值范围为(],0-∞．
（3）因为()()2
113221x x e h x k k e -+-+-⋅+= 令1x q e =-，由题意可知[0,)q ∈+∞
令()()23221H q q k q k =-+++，[0,)q ∈+∞ 则函数()()2
113221x x e h x k k e -+-+-⋅+=有三个不同的零点
等价于()()23221H q q k q k =-+++在[0,)q ∈+∞有两个零点， 当10,2q k =∴=-
，此时方程()10,0,2
H q q q =⇒==，此时关于x 方程有三个零点，符合题意； 当0,q ≠ 记为1q ，2q ，且12q q <，101q <<，21q ≥
所以()()00100H H ⎧>⎪≤⎨⎪∆>⎩
，解得0k >
综上实数k 的取值范围()0,∞+12⎧⎫⋃-⎨⎬⎩⎭ ．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的单调性的应用，不等式中的恒成立问题与最值的相互转化，二次函数的实根分布问题等知识的综合应用，是中档题。