高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第6节 正弦定理和余弦定理教学案(含解析)理-人教版高

第六节 正弦定理和余弦定理
[考纲传真] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
1．正弦定理和余弦定理 定理
正弦定理
余弦定理
公式
a sin A ＝
b sin B ＝c
sin C ＝2R .(R 为△ABC 外接圆半径)
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc ·cos _A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca ·cos _B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos _C
公式 变形
(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；
(2)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c
2R
cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc ；
cos B ＝c 2＋a 2－b 2
2ca ；
cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
ABC a b A A 为锐角 A 为钝角或直角
图形
关系式 a ＝b sin A
b sin A ＜a ＜b
a ≥b
a ＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
(1)S ＝1
2a ·h a (h a 表示边a 上的高)；
(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1
2bc sin A ；
(3)S ＝1
2r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．
[常用结论]
1．三角形内角和定理
在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π； 变形：
A ＋
B 2
＝π2－C
2
. 2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (2)sin
A ＋B
2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2
. 3．在△ABC 中，sin A ＞sin B ⇔A ＞B ⇔a ＞b ， cos A ＞cos B ⇔A ＜B ⇔a ＜b. 4．三角形射影定理
a ＝
b cos
c ＋c cos B b ＝a cos C ＋c cos A c ＝a cos B ＋b cos A
5．三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，若A ＞B ，则必有sin A ＞sin B ．
( )
(2)在△ABC 中，若b 2
＋c 2
＞a 2
，则△ABC 为锐角三角形． ( )
(3)在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝45°或135°.( )
(4)在△ABC 中，a sin A ＝a ＋b －c
sin A ＋sin B －sin C
. ( )
[解析] (1)正确．A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B.
(2)错误．由cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc
＞0知，A 为锐角，但△ABC 不一定是锐角三角形．
(3)错误．由b ＜a 知，B ＜A.
(4)正确．利用a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，可知结论正确． [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)在△ABC 中，若sin 2
A ＋sin 2
B ＜sin 2
C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．不能确定
C [由正弦定理，得a 2R ＝sin A ，b 2R ＝sin B ，c
2R
＝sin C ，代入得到a 2＋b 2＜c 2
，由余弦
定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
＜0，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形．]
3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝2
3，则b
＝( )
A. 2
B. 3
C ．2
D ．3
D [由余弦定理得5＝b 2
＋4－2×b ×2×23，
解得b ＝3或b ＝－1
3
(舍去)，故选D.]
4．在△ABC 中，A ＝45°，C ＝30°，c ＝6，则a 等于( ) A ．3 2 B ．6 2
C ．2 6
D ．3 6
B [由正弦定理得a sin A ＝c sin
C ，所以a ＝c sin A sin C ＝6×sin 45°
sin 30°
＝6 2.]
5．(教材改编)在非钝角△ABC 中，2b sin A ＝3a ，则角B 为( ) A.
π6 B.π
4
C.
π3 D.π
2
C [由2b sin A ＝3a 得2sin B sin A ＝3sin A. ∴sin B ＝
3
2
，又B 是锐角或直角． ∴B ＝π3
.]
利用正、余弦定理解三角形
【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C ＝5
，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )
A ．4 2 B.30
C.29 D ．2 5
(2)(2019·青岛模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2
＝2b 2
(1－sin A )，则A 等于( )
A.
3π4 B.π3
C.
π4 D.π
6
(1)A (2)C [(1)因为cos C 2＝55，所以cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×552－1＝－35
.于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝52＋12
－2×5×1×－35＝32，所
以AB ＝4 2.故选A.
(2)在△ABC 中，由余弦定理得a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ＝2b 2
－2b 2
cos A. 又a 2
＝2b 2
(1－sin A )，所以sin A ＝cos A ，即t a n A ＝1， 又A 是三角形内角，则A ＝π
4，故选C.]
[规律方法] 应用正弦、余弦定理的解题技巧 1
求边：利用公式
或其他相应变形公式求
解.,
2
求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式
sin A ＝
或其他相应变形公式求解.
3已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.
4灵活利用式子的特点转化：如出现a 2
＋b 2
－c 2
＝λab 形式用余弦定理，等式两边是
关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.
(1)(2019·郑州模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，
且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )
A ．30° B．45°
C ．60°
D ．120°
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin
B ＝________，c ＝________.
(1)A (2)
217 3 [(1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C
及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A 得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2
－c 2
＝a 2
－3ac ，∴a 2
＋c 2
－b 2
＝3ac .
又∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴cos B ＝3
2
，∴B ＝30°.
(2)因为a ＝7，b ＝2，A ＝60°，所以由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝2×
3
27＝21
7.由
余弦定理a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A 可得c 2
－2c －3＝0，所以c ＝3.]
与三角形面积有关的问题
【例2】 (1)(2018·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin
C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．
23
3
[由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C 得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ，因为sin B sin C ≠0，所以sin A ＝12.因为b 2＋c 2－a 2＝8，cos A ＝b 2
＋c 2
－a 2
2bc ，所以bc ＝83
3，
所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝23
3
.]
(2)(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2
B
2
. ①求cos B ；
②若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b.
[解] ①由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2
B
2，
故sin B ＝4(1－cos B )．
上式两边平方，整理得17cos 2
B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，或cos B ＝15
17.
故cos B ＝15
17
.
②)由cos B ＝1517得sin B ＝8
17，
故S △ABC ＝12ac sin B ＝4
17ac .
又S △ABC ＝2，则ac ＝17
2
.
由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2
－2ac (1＋cos B )＝36－2×
172
×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.
个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
的面积为
a 2＋
b 2－
c 2
4
，则C ＝( )
A.
π2 B.π
3
C.
π4 D.π6
C [因为S △ABC ＝12ab sin C ，所以a 2
＋b 2
－c 2
4＝12ab sin C ．由余弦定理a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，
得2ab cos C ＝2ab sin C ，即cos C ＝sin C ，所以在△ABC 中，C ＝π
4
.故选C.]
(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a cos B. ①证明：A ＝2B ；
②若△ABC 的面积S ＝a 2
4，求角A 的大小．
[解] ①证明：由b ＋c ＝2a cos B 得 sin B ＋sin C ＝2sin A cos B. 即2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B ) ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ； 所以sin(A －B )＝sin B.
又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π， 所以B ＋(A －B )＝π或A －B ＝B ， 所以A ＝π(舍去)或A ＝2B ， 所以A ＝2B.
②由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 2
4
，
则sin B sin C ＝12sin A ＝1
2sin 2B ＝sin B cos B.
由sin B ≠0得sin C ＝cos B. 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π
2
±B. 当B ＋C ＝π2时，A ＝π
2
，
当C －B ＝π2时，A ＝π
4，
综上知A ＝π2或A ＝π
4
.
正余弦定理的简单应用
►考法1 【例3】 (1)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，满足a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状为( )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
(2)(2019·广州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2
＋c 2
＝a 2
＋bc ，若sin B ·sin C ＝sin 2
A ，则△ABC 的形状是( )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
(1)D (2)C [(1)因为a cos A ＝b cos B ，由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π
2，所以△ABC 为等腰三角
形或直角三角形，故选D.
(2)由b 2
＋c 2
＝a 2
＋bc 得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝1
2
.
∵A ∈(0，π)，∴A ＝π
3
.
由sin B ·sin C ＝sin 2
A 得bc ＝a 2
，代入b 2
＋c 2
＝a 2
＋bc 得(b －c )2
＝0，即b ＝c ，从而△ABC 是等边三角形，故选C.]
►考法2 求解几何计算问题
【例4】 (2019·哈尔滨模拟)如图，在△ABC 中，B ＝π
3
，AB ＝8，点D 在边BC 上，且
CD ＝2，cos∠ADC ＝17
.
(1)求sin∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．
[解] (1)在△ADC 中，∵cos∠ADC ＝1
7
，
∴sin∠ADC ＝1－cos 2
∠ADC ＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫172
＝
437，则sin∠BAD ＝sin(∠ADC －B ) ＝sin∠ADC ·cos B －cos∠ADC ·sin B ＝437×12－17×32＝33
14.
(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin∠BAD
sin∠ADB ＝8×
33
1443
7
＝3.
在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋CB 2－2AB ·BC cos B ＝82＋52
－2×8×5×12
＝49，即
AC ＝7.
►考法3 正、余弦定理与三角函数的交汇问题
【例5】 (2018·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知
b sin A ＝a cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫
B －π6
(1)求角B 的大小；
(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．
[解] (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b
sin B
，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A
＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫B －π6，可得t a n B ＝ 3.又因为
B ∈(0，π)，可得B ＝π3
.
(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2
－2ac cos B ＝7，故b
＝7.
由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37
.
因为a ＜c ，故cos A ＝
27.
因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2
A －1＝17
.
所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝33
14.
[规律方法] 平面几何中解三角形问题的求解思路
1把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定
理求解；
2寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
易错警示：做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题.
面积的2倍．
(1)求sin B
sin C ；
(2)若AD ＝1，DC ＝
2
2
，求BD 和AC 的长． [解] (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin∠BAD ，S △ADC ＝1
2AC ·AD sin∠CAD .
因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC .
由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝1
2.
(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ， 所以BD ＝ 2.
在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知AB 2
＝AD 2
＋BD 2
－2AD ·BD cos∠ADB ，
AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos∠ADC .
故AB 2
＋2AC 2
＝3AD 2
＋BD 2
＋2DC 2
＝6， 又由(1)知AB ＝2AC ，所以解得AC ＝1.
1．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin
C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )
A.
π12 B.π
6
C.π4
D.π
3
B [因为a ＝2，c ＝2，
所以由正弦定理可知，2sin A ＝2
sin C ，
故sin A ＝2sin C . 又B ＝π－(A ＋C )，
故sin B ＋sin A (sin C －cos C ) ＝sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C
＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝(sin A ＋cos A )sin C ＝0.
又C 为△ABC 的内角， 故sin C ≠0，
则sin A ＋cos A ＝0，即t a n A ＝－1. 又A ∈(0，π)，所以A ＝3π
4.
从而sin C ＝
12sin A ＝
22×22＝12
. 由A ＝3π4知C 为锐角，故C ＝π
6
，故选B.]
2．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.
π
3
[由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理， 得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A. ∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )．
又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B.
∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B.
又sin B ≠0，∴cos B ＝12.∴B ＝π3.] 3．(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b
，c ，若cos A ＝45
，cos C ＝513
，a ＝1，则b ＝________. 2113 [在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513
， ∴sin A ＝35，sin C ＝1213
，∴sin B ＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365
. 又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝1×636535
＝2113
.] 4．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.
75° [如图，由正弦定理，得3sin 60°＝6sin B ，∴si n B ＝22
. 又c >b ，∴B ＝45°，
∴A ＝180°－60°－45°＝75°.]
5．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .
(1)求C ；
(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332
，求△ABC 的周长． [解] (1)由已知及正弦定理得
2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，
即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，
故2sin C cos C ＝sin C .
可得cos C ＝12，所以C ＝π3
. (2)由已知得12ab sin C ＝332. 又C ＝π3
，所以ab ＝6. 由已知及余弦定理得a 2＋b 2
－2ab cos C ＝7，
故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7.
自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。