第三节泰勒公式39页PPT

Q
(n n

1
)
(
)

f (n1) ( )
(n 1) !
(在x0与x之间 )
Pn(n1)(x)0,Rn(n1)(x) f(n1)(x)
Rn(x)f(n(n 1)1()!)(xx0)n1
Qn(n1)(x)(n1)!
(在x0与x之间 )
证毕！
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p8(x)比 p2(x)在更大的范围内更接近余弦函数.
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(1) 若f(x)在x0连续 , 则有 xl im x0 f(x)f(x0) 由极限和无穷小量间的关系
f(x)f(x0)
f(x)f(x0)
用常数代替函 数误差太大
(2) 若f(x)在x0可导 , 由微分有
f(x 0 x ) f(x 0 ) f(x 0 ) x
余项 公式
Rn(x)f(n (n 1)1())!(xx0)n1
① 称为 f ( x)的 n 阶泰勒公式
②
（
.
在
x
0与x
之间）
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
证明: Pn(x) R n(x)f(x)P n(x)
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余其项中f ( ：x R ) n (x Pf n)(( xx ) 0 f() n ( n 1f )1( )( x )!0 () x x f x( (0x n )n 0 )n) ( !1 x0f)②(2(（x !x0 )(x 在x0)xn x0与0)R2 xn之(x间①) ）
f(x)coxs
p1(x)
y1
y=1
令：p8(0)f(0),求出a0 1
p8 (0)f(0) a1 0
……
……
π O
p8(8)(0)f(8)(0)
a8

1 8!
-1
co xs p 8 (x ) 1 x 2 ! 2x 4 ! 4x 6 ! 6x 8 ! 8
p8(x)
πx
p2(x)
f(x ) f(x 0 ) f(x 0 )x ( x 0 )(xx0x) ---------- x 的一次多项式
从几何上来讲，就是在 x0 点的附近可以用曲线在该 点处的切线来拟合曲线。--------以直代曲
不足: 1、精确度不高；2、误差不能估计。
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因此 对于精确度要求较高且需要估计误差时候 就必须用高次多项式来近似表达函数 同时给出 误差公式。 问：若f (x)在 x0 处二阶可导, 会不会有一个二次多项式来近似表示？

Rn( 2 ) Q n( 2 )
(2在x0与1之 间 )
Rn(2)Rn(x0) Qn ( 2)Qn(x0)
(3在x0与2之 间 ) (n在x0与 n1之)间

R Q
(n n (n n
) )
误差 R n (x ) f(x ) p n (x )
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二、泰勒（Taylor）公式
定理1 （泰勒公式）如果函数 f (x)在含 x 0 的某个
开区间 (a,b)内具有直到 (n1)阶导数，则 对 x(a,b)
其中f ( ：x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x f ( (x nn 0 )) (! x0f)(2(x !x0 )(x x0)n x0)R2n(x①)
若f (x)在 x0 处 n 阶可导, 结果又会如何？ 问题：给定一个函数f (x)，要找一个在指定点 x0 附近 与f (x)很近似的多项式函数P (x)， 记为
P n ( x ) a 0 a 1 ( x x 0 ) a 2 ( x x 0 ) 2 a n ( x x 0 ) n
-1
线性逼近优点:形式简单，计算方便； 不足：离原点O越远，近似度越差.
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二次逼近
二次多项式p 2 (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 逼近 f(x)coxs
期望：
p1(x) y 1
y=1
p 2 ( 0 ) f ( 0 ) c0 o 1 a s 0 p 2 ( 0 ) f ( 0 ) s0 i0 n a 1 O
定理1 （泰勒公式）如果函数 f (x)在含 x 0 的某个 开区间 (a,b)内具有直到 (n1)阶导数，则 对 x(a,b)
f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x f ( (x nn 0 )() ! x0)f(2(x !x0 )(x x0)n x0)R2 n(x)① ①式称为 f ( x)的具有拉格朗日型余项 的n 阶泰勒公式 .
余项 Rn(x)f(n (n 1)1())!(xx0)n1 ②
称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .（ 在 x 0与x 之间）
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其余f 中( 项x ：) R n(f x ( )x 0 ) f(n (f n 1 ( )1 x ()0 ) )!(x xf ( (x n xn 0 )0() !) x n0 1)f(（2(x !x0 )在(x x0x)0与n x0x)R2之n(间x)）
P n ( x ) a 0 a 1 ( x x 0 ) a 2 ( x x 0 ) 2 a n ( x x 0 ) n
由此便得
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P n ( x ) a 0 a 1 ( x x 0 ) a 2 ( x x 0 ) 2 a n ( x x 0 ) n
a0 f(x0)
Pn(x0)a0
aaa 12n 2nf11!!(ffx 0((n))x( 0x)0) P P P P nnn n ((n(( x)x(x0x0)00 ))) a123n! !!aaa23n
如果函数 f (x) 在含 x 0 的某个开区间 (a,b)内 具有直到 (n1)阶导数， 设
(x0, f(x0))相切, 即 P n (x0)f(x0)
③要靠得更近还要求两曲线在
(x0, f(x0))弯曲方向相同,即 P n (x0)f(x0) x 0
x
因进为而弯可曲推程想度：要若用在切(线x0的, f变(x化0)率) 附---近---有--二阶导数来刻画.
Pn (x0)f(x0) Pn (n)(x0)f(n)(x0)
Rn(x) Rn(x) (xx0)n1 Qn(x)
对Rn(x)和 (xx0)n1在 x 0及 x 为端点的闭区间上应用Cauchy定理
Rn(x)Rn(x0) Qn(x)Qn(x0)
Rn ( 1 ) Q n ( 1 )
(1在x0与x之间 )
Rn(1)Rn(x0) Qn(1)Qn(x0)
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2、近似计算举例 初等数学已经了解到一些函数如 :
5x,lg x,sixn ,co x,a s rcx,t an 的一些重要性质，但是初等数学不曾回答怎样 来计算它们？ 高等数学微分学中所研究出来一 些结果提供了近似计算这些函数的有力方法. 以 f(x)coxs的近似计算为例.
即 P n (x0)f(x0)
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综上所述， 无论几何的或物理的两方面都启示我们
所要找的多项式应满足下列条件
Pn(x0)f(x0),
Pn (x0)f(x0),
Pn (x0)f(x0),
Pn (x 0) f (x0)
Pn (n)(x0)f(n)(x0)
①可首以先推要想求，两假曲设线在在t 时(x刻0,加f(速x0度))相的交变,化即 率P 乃n(x 至0)更高f(阶x0的) ②变要化靠率得都更相近等还，要求两曲线在 (x0, f(x0))相切,
则在t 时刻两个质点的运动状态会更接即 近P 。n (x0)f(x0) ③要靠得更近还要求两曲线在 (x0, f(x0))弯曲方向相同,
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一次（线性）逼近
利用微分近似计算公式
f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x ( x 0 ) ，对y01附近的 x,
f (x) 的线性逼近为: p1(x)
y=1

f(x ) f(0 ) f(0 )x
O

x
f( x ) cx o 1 s p 1 ( x )
Q n ( x 0 ) Q n ( x 0 ) Q n ( x 0 ) Q n ( n ) ( x 0 ) 0
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Q n(x)(xx0)n1R Q n n ( ( x x 0 0 ) ) R Q n n ( ( x x 0 0 ) ) R Q n n ( ( x x 0 0 ) ) Q R n n ( ( n n ) ) ( ( x x 0 0 ) ) 0 0

x
p 2 ( 0 ) f ( 0 ) c0 o 1 s
a2


1 2
二次逼近为
coxsp2(x)1x22 ,
它要比线性逼近好得多，但局限于
-1
p2( x)
可以看出，
[ , ] 内.
22
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八次逼近
八次多项式 p 8 ( x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a 8 x 8 逼近
第三节 泰勒公式
一、问题的提出 二、泰勒公式 三、麦克劳林公式 四、泰勒公式的应用
第三章
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一、问题的提出
1、关于多项式 多项式 P n ( x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n 1 x n 1 a n x n 是最 简单的一类初等函数. 由于它本身的运算仅是 有限项加减法和乘法，所以在数值计算方面， 多项式是人们乐于使用的工具. 因此我们经常用多项式来近似表达函数
( (
n n
) )
Q Rnn((nn))((nn))Q Rnn((nn))((xx00))

Rn( n1) ( )
Q
(n n

1
)
(
)
(在x0与xn之间 )
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R n(x)f(x)P n(x)
Rn( x) ( x x0 )n1

Rn( n1) ( )
使得 f(x)Pn(x) 误差 R n(x)f(x)P n(x)可估计
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问：要找的多项式应满足什麽条件，误差是什么？
从几何上看， y f(x), yPn(x) 代表两条曲线，
要使它们在x0附近与很靠近， ①首先要求两曲线在
很明显
y
Pn( x)
f (x)
(x0, f(x0))相交, 即 Pn(x0)f(x0) ②要靠得更近还要求两曲线在
证明: R n(x)f(x)P n(x)
欲证①式成立，只要证 ②式成立
只要证
Rn(x) (xx0)n1

f(n1)()
(n1)!
为此令
Q n(x)(xx0)n1
因为 f (x) 有n1阶导，pn(x)有任意阶导，故
Rn(x),Qn(x) 也有 n1阶导，且 R n ( x 0 ) R n ( x 0 ) R n ( x 0 ) R n ( n ) ( x 0 ) 0
近似程度越来越好
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从物理上看 y f(t),yPn(t)是两个质点的运动方程 , 则 ①表示两个质点在 t 时刻位置相同；
②表示两个质点在t 时刻位置、速度均相同； ③表示两个质点在t 时刻位置、速度、加速度均相同; 一种情形比一种情形更相近. 我们知道速度是路程的变化率，加速度是速度的变化率,
a0f(x0) a1f(x0)
an

f (n)(x0) n!
a2

1 2!
f
(x0)

那么
p n ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )x ( x 0 ) f 2 ( ! x 0 ) ( x x 0 ) 2 f(nn )(!x0)(xx0)n