集合的基本概念及其应用

集合的基本概念及其应用
目标认知：
知识要点：
集合的概念及表示法、集合与集合之间的关系、集合的运算。

学习要点：
集合中元素的三要素、集合之间的四大关系及运算。

学习重点、难点：
(1)对集合中元素的三要素的应用．
(2)运用集合的两种常用表示方法：列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；
(3)弄清元素与子集、属于与包含之间的区别；
(4)集合的交集与并集、补集的概念；
(5)集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”。

学习内容：
集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。

另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用。

(一)集合的有关概念：
1．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能
判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2．一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集。

3．关于集合的元素的特征
(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种
情况必有一种且只有一种成立。

(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不
应重复出现同一元素。

(3)集合相等：构成两个集合的元素完全一样
4．元素与集合的关系：
(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作a∈A
(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作a A
5．常用数集及其记法
非负整数集(或自然数集)，记作N
正整数集，记作或．
整数集，记作Z
有理数集，记作Q
实数集，记作R
(二)集合的表示方法：
我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

如：{1，2，3，4，5}，{，3x+2，
，}，…；
(2)描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在人括号{ }内。

具体方法：在大括号内先写上
表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素
所具有的共同特征。

(三)集合与集合之间的“包含”关系：
集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset)。

记作：A B(或B A)，当集合A不包含于集合B时，记作
A B，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：A B(或
B A)
(四)集合与集合之间的“相等”关系：
A B且
B A，则A与B中的元素是一样的，因此A=B
结论：任何一个集合是它本身的子集．
(五)真子集的概念：
若集合A B，存在元素x∈B且x A，则称集合A是集合B的真子集(proper·subset)。

记作：A B(或B A)
(六)空集的概念：
不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：
规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

(七)并集：
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|x∈A，或x∈B}
V enn图表示：
说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只看成一个元素)。

(八)交集：
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}；交集的Venn图表示：
说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。

(九)补集：
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。

补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：；即；补集的Venn图表示：
说明：补集的概念必须要有全集的限制．
(十)
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示，挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

(十一)集合基本运算的一些结论：
A B A，A B B，A A=A，A=，A B=B A
A A B，
B A B，A A=A，A=A，A B=B A
()A=U，()A=
若A∩B=A，则A B，反之也成立
若A∪B=B，则A B，反之也成立
若x∈(A∩B)，则x∈A且x∈B
若x∈(A∪B)，则x∈A，或x∈B
本周相关例题：
1．已知全集U=R，集合，，则集合
A．B．
C．D．
解析：C；容易解得，．于是．
2．设集合，，则下列结论正确的是A．P=Q B．C．D．
解析：C；，．
3．设合集，，，则
等于
A．{1}B．{1，2} C．{2} D．{0，1，2}
解析：D；，，故．
4．设集合，，则韦恩图中阴影部分表示的集合
A．{2} B．{3，5} C．{1，4，6} D．{3，5，7，8}
解析：B；阴影部分表示．
5．若集合，，则Q中元素的个数是
A．3B．5 C．7D．9
解析：B；
，
由得的取值只可能是0和1．
∴，含有5个元素．
6．若U={n|n是小于9的正整数}，A={n∈U|n是奇数}，B={n∈U|n是3的倍数}，则__
答案：{2，4，8}
解析：U={1，2，3，4，5，6，7，8}，则A={1，3，5，7}，B={3，6}，
所以A∪B={1，3，5，7}，所以.
7．设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么k是A的一个“孤立元”，给定S={1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．
答案：6
本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力．属于创新题型．
什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与k相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素．因此，符合题意的集合是：{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}共6个．故应填6．
8．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人。

答案：8．
【解析】
由条件知，每名同学至多参加两个小组，
故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组，
设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，则
．
，，
由公式
易知36=26+15+13-6-4-，故，即同时参加数学和化学小
组的有8人。

9．已知集合，，求。

解题思路分析：
在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。

M、N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。

其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化。

，，
∴
说明：实际上，从函数角度看，本题中的M，N分别是二次函数和一次函数的值域。

通过求函数值域化简集合。

此集合与集合是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线上的所有点，属于图形范畴。

集合中元素特征与代表元素的字母无关，例。

10．已知集合，，且A∩B=B，求实数m范围。

解题思路分析：
化简条件得A={1，2)，A∩B=B B A
根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=，B={1}或{2}，B={l，2}
当B=时，△
∴
当或{2}时，，无解
当B={1，2}时，
∴
综上所述，m=3或。

说明：分类讨论是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面，如本题当B={1}或{2}时，不能遗漏△=0。

11．设，求证：(1)；
(2)
分析：如果集合,那么判断对象a是否是集合A的元素的基本方法就是检验a是否具有性质p。

解：(1) ∵,且，故；
(2) 假设，则存在x，y Z，使
即(*)
由于与具有相同的奇偶性，所以(*)式左边有且仅有两种可能：奇
数或4的倍数，
另一方面，(*)式右边只能被4除余2的数，故(*)式不能成立。

由此，。