2022-2023学年江苏八年级数学上学期压轴题精练专题04 线段、角的轴对称性(解析版)

2022-2023学年苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编
专题04 线段、角的轴对称性
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021八上·南京期末）如图，点P 在锐角 AOB ∠ 的内部，连接 OP ， 3OP = ，点P 关于 OA 、 OB 所在直线的对称点分别是 1P 、 2P ，则 1P 、 2P 两点之间的距离可能是（ ）
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
【答案】D
【完整解答】解：连接OP 1，OP 2，P 1P 2，
∵点P 关于直线OA ，OB 的对称点分别是点P 1，P 2，
∴OP 1=OP=3，OP=OP 2=3， OP 1+OP 2＞P 1P 2， 0＜P 1P 2＜6，
所以A ，B ，C 不符合题意，D 符合题意；
故答案为：D.
【思路引导】连接OP 1，OP 2，P 1P 2，利用轴对称的性质和垂直平分线的性质，可证得OP 1=OP=3，
OP=OP 2=3，再利用三角形三边关系定理，可求出0＜P 1P 2＜6，由此可得答案.
2．（2分）（2021八上·嵩县期末）如图， AD 是 ABC 的角平分线， DE AB ⊥ 于点E ， 9ABC S = ， 2DE = ， 5AB = ，则 AC 的长是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C
【完整解答】解：如图，过点D 作 DF ⊥AC ，
DE AB ⊥ ， AD 是△ABC 的角平分线，
∴DE DF =2=
ABC ABD ACD S S S =+ ， 5AB = ， 9ABC S =
1122ABC S AB DE AB DF ∴=⨯+⨯即 ()19252
AC =⨯⨯+ 解得 4AC =
故答案为：C.
【思路引导】过点D 作DF ⊥AC 于点F ，利用角平分线上的点到角两边的距离相等可求出DF 的长，再利用ABC ABD ACD S S S =+可求出AC 的长.
3．（2分）（2021八上·海曙期末）如图，CD 是等腰三角形 △ABC 底边上的中线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，AC ＝8，DE ＝2，则 △ BCE 的面积是（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
【答案】C
【完整解答】解：过点E 作EF ⊥BC 于F ，
∵AC ＝BC ＝8，CD 是等腰三角形△ABC 底边上的中线，
∴CD ⊥AB ，
∵BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB ，EF ⊥BC ，
∴EF ＝DE ＝2，
∴△BCE 的面积＝12×BC×EF ＝12
×8×2=8.
【思路引导】过点E 作EF ⊥BC 于F ，利用等腰三角形的性质可证得CD ⊥AB ，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出EF 的长；再利用三角形的面积公式可求出△BCE 的面积.
4．（2分）（2021八上·嵩县期末）如图， ABC 中， 130BAC ∠=︒ ， AB ， AC 的垂直平分线分别交 BC 于点E ，F ，与 AB ， AC 分别交于点D ，G ，则 EAF ∠ 的度数为（ ）
A ．80︒
B ．70︒
C ．65︒
D ．60︒
【答案】A
【完整解答】解：∵DE 垂直平分AB ，FG 垂直平分AC ，
∴EB=EA ，FA=FC ，
∴∠BAE=∠B ，∠FAC=∠C ，
∵△ABC 中，∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=50°，
∴∠BAE+∠FAC=50°，
∴∠EAF=∠BAC ﹣（∠BAE+∠FAC ）=80°.
故答案为：A.
【思路引导】利用垂直平分线的性质可知EA=EB ，FA=FC ，利用等边对等角得∠BAE=∠B ，∠FAC=∠C ；再利用三角形的内角和定理可求出∠B+∠C 的度数；然后可用∠EAF=∠BAC ﹣（∠BAE+∠FAC ）计算可求解.
5．（2分）（2021八上·淳安期末）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
【答案】A 【完整解答】解：由作图可知：作图正确的是①②.
【思路引导】利用作一个角等于已知角的方法，作线段垂直平分线的方法，可得答案.
6．（2分）（2021八上·如皋期末）如图，在 ABC 中， AC BC = ， 30B ∠=︒ ，D 为 AB 的中点，P 为 CD 上一点，E 为 BC 延长线上一点，且 .PA PE = 有下列结论：①30PAD PEC ∠+∠=︒ ；②PAE 为等边三角形；③PD CE CP =- ；④.ABC AECP S S =四边形 其中正确的结论是（ ）
A ．①②③④
B ．①②
C ．①②④
D ．③④
【答案】C
【完整解答】解：如图，连接BP ，
∵AC ＝BC ，∠ABC ＝30°，点D 是AB 的中点，
∴∠CAB ＝∠ABC ＝30°，AD ＝BD ，CD ⊥AB ，∠ACD ＝∠BCD ＝60°，
∴CD 是AB 的中垂线，
∴AP ＝BP ，而AP ＝PE ，
∴AP ＝PB ＝PE
∴∠PAB ＝∠PBA ，∠PEB ＝∠PBE ，
∴∠PBA+∠PBE ＝∠PAB+∠PEB ，
∴∠ABC ＝∠PAD+∠PEC ＝30°，
故①正确；
∵PA ＝PE ，
∴∠PAE ＝∠PEA ，
∵∠ABC ＝∠PAD+∠PEC ＝30°，
∴∠PAE+∠PEA ＝ 18060120︒-︒=︒，
60APE ∴∠=︒ 而 PA PE =，
∴△PAE 是等边三角形，
故②正确；
如图，延长 PD 至 P ' ，使 PD P D ='，
则点P 关于AB 的对称点为P′，连接P′A ， ∴AP ＝AP′，∠PAD ＝∠P′AD ，
∵△PAE 是等边三角形，∴AE ＝AP ，
∴AE ＝AP′，
∵∠CAD ＝∠CAP+∠PAD ＝30°，
∴2∠CAP+2∠PAD ＝60°，
∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD ＝60°﹣∠PAC ，
60EAC PAC ∴∠=︒-∠，
∴∠P′AC ＝∠EAC ， ∵AC ＝AC ，
∴△P′AC ≌△∠EAC （SAS ），
∴CP′＝CE ，
∴CE ＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD ， ∴2
CE CP PD -= . 故③错误；
过点A 作AF ⊥BC ，在BC 上截取CG ＝CP ，
∵CG ＝CP ，∠BCD ＝60°，
∴△CPG 是等边三角形，
∴∠CGP ＝∠PCG ＝60°，
∴∠ECP ＝∠PGB ＝120°，且EP ＝PB ，∠PEB ＝∠PBE ，
∴△PCE ≌△PGB （AAS ），
∴CE ＝GB ，
∴AC ＝BC ＝BG+CG ＝EC+CP ，
∵∠ABC ＝30°，AF ⊥BE ，
∴AF ＝
12
AB ＝AD ， ∵S △ACB ＝ 12 CB×AF ＝ 12 （EC+CP ）×AF ＝ 12 EC×AF+ 12 CP×AD ＝S 四边形AECP ， ∴S 四边形AECP ＝S △ABC .故④正确.
所以其中正确的结论是①②④.
故答案为：C.
【思路引导】连接BP ，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠CAB ＝∠ABC ＝30°，AD ＝BD ，CD ⊥AB ，∠ACD ＝∠BCD ＝60°，进而推出AP ＝BP ＝PE ，由等腰三角形的性质可得∠PAB ＝∠PBA ，∠PEB ＝∠PBE ，然后根据角的和差关系可判断①；易得∠PAE+∠PEA ＝120°，∠APE=60°，据此判断
②；延长PD 至P′，使PD=P′D ，则点P 关于AB 的对称点为P′，连接P′A ，由等边三角形的性质可得AE ＝AP ，则AE ＝AP′，推出∠P′AC ＝∠EAC ，证明△P′AC ≌△∠EAC ，得到CP′＝CE=CP+2PD ，据此判断③；过点A 作AF ⊥BC ，在BC 上截取CG ＝CP ，则△CPG 是等边三角形，则∠CGP ＝∠PCG ＝60°，证明△PCE ≌△PGB ，得到CE ＝GB ，推出AC ＝BC ＝EC+CP ，根据含30°角的直角三角形的性质可得AF ＝
12
AB ＝AD ，据此不难判断④.
7．（2分）（2021八上·如皋月考）如图，四边形ABCD 中，AB=AD ，点B 关于AC 的对称点B′恰好落在CD 上，若αBAD ∠=，则ACB ∠的度数为（ ）
A ．45︒
B ．α45-︒
C ．1α2
D ．190α2
︒- 【答案】D
【完整解答】解：如图，连接AB′，BB′，过A 作AE ⊥CD 于E ，
∵点B 关于AC 的对称点B′恰好落在CD 上，
∴AC 垂直平分BB′，
∴AB ＝AB′，
∴∠BAC ＝∠B′AC ，
∵AB ＝AD ，
∴AD ＝AB′，
又∵AE ⊥CD ，
∴∠DAE ＝∠B'AE ，
∴∠CAE ＝12∠BAD ＝12
α， 又∵∠AEB′＝∠AOB′＝90°，
∴四边形AOB′E 中，∠EB′O ＝180°−
12
α， ∴∠ACB′＝∠E B′O−∠COB′＝180°−12α−90°＝90°−12
α， ∴∠ACB ＝∠ACB′＝90°−12α， 故答案为：D.
【思路引导】连接AB′，BB′，过A 作AE ⊥CD 于E ，利用轴对称的性质可证得AC 垂直平分BB′，∠BAC ＝∠B′AC ，利用垂直平分线的性质可推出AB ＝AB′，由此可推出AD=AB′；利用等腰三角形的性质可得到∠DAE=∠BAE ，由此可表示出∠CAE 及∠EB′O ；然后根据∠ACB′＝∠E B′O−∠COB′，代入计算可表示出
∠ACB的度数.
8．（2分）（2021八上·盐湖期中）有一题目：“如图，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB 交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE=DF，由图形的对称性可得∠DFB=∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB=140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（）
A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°
B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值
C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°
D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值
【答案】A
【完整解答】解：
如图，以点D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，F'，连接DF，DF'，则DE DF DF
=='，
'，
∠
DFF DF F
∴∠='
∠，
BD平分ABC
∠=∠，
由图形的对称性可知：DFB DEB
DE AB，40
∠=︒，
ABC
∴∠=︒-︒=︒，
DEB
18040140
∴∠=︒，
140
DFB
当点F位于点F'处时，
='，
DF DF
18014040DF B DFF ∴∠=∠='︒-︒='︒ ．
故答案为：A ．
【思路引导】以点D 为圆心， DE 长为半径画圆交 AB 于点F ，F ' ，连接 DF ，DF ' ，则 DE DF DF ==' ，由图形的对称性可知DFB DEB ∠=∠ ，结合平行线的性质求∠DFB=140°，当点F 位于点 F ' 处时，由DF=DF'可求出∠DF'B 的度数.
9．（2分）（2021八上·长沙月考）如图，在Rt △ABC 中，∠CBA ＝90°，∠CAB 的角平分线AP 和∠MCB 的平分线CF 相交于点D ，AD 交CB 于点P ，CF 交AB 的延长线于点F ，过点D 作DE ⊥CF 交CB 的延长线于点G ，交AB 的延长线于点E ，连接CE 并延长交FG 于点H ，则下列结论：①∠CDA ＝45°；②AF ﹣CG ＝CA ；③DE ＝DC ；④CF ＝2CD+EG ；其中正确的有（ ）
A ．②③
B ．②④
C ．①②③④
D ．①③④
【答案】C
【完整解答】解：设∠GCD ＝x ，∠DAC ＝y ，根据三角形外角的性质可得：
=2=2x y ADC x y ABC
+∠⎧⎨+∠⎩ ， ∴1==452
ADC ABC ∠∠︒ ，故①正确； 延长GD 与AC 相交于点P ，
∵DE ⊥CF ，∴∠CDG ＝∠CDP ＝90°，
∵CF 平分∠GCP ，
∴∠GCD ＝∠PCD ，
在△GCD 和△PCD 中，
===GCD PCD CD CD
CDG CDP ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
， ∴△GCD ≌△PCD （ASA ），
∴CG ＝CP ，
∵∠ADC ＝45°，
∴∠ADP ＝∠ADF ，
在△AFD 和△APD 中，
===FAD PAD AD AD
ADF ADP ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
， ∴△AFD ≌△APD （ASA ），
∴AF ＝AP ，
∴AF ﹣CG ＝CA ，故②正确；
同理△ACD ≌△AED （ASA ），
∴CD ＝DE ，故③正确；
在DF 上截取DM ＝CD ，则DE 是CM 的垂直平分线， ∴CE ＝EM ，
∵∠ECG ＝∠GCD ﹣45°，∠MEF ＝∠DEF ﹣45°，
∴∠ECG ＝∠FEM ，
∵EF ＝CP ，CP ＝CG ，
∴EF ＝CG ，
在△EMF 和△CEG 中，
===EM CE FEM ECG EF CG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
，∴EMF CEG ≌ （SAS ）
， ∴FM ＝GE ，
∴CF ＝2CD+EG ，故④正确；
故答案为：C.
【思路引导】设∠GCD ＝x ，∠DAC ＝y ，根据三角形外角的性质可得∠ADC=45°，据此判断①；延长GD 与AC 相交于点P ，根据角平分线的概念可得∠GCD ＝∠PCD ，证明△GCD ≌△PCD ，得到CG ＝CP ，进而证明△AFD ≌△APD ，得到AF ＝AP ，据此判断②；同理△ACD ≌△AED ，据此判断③；在DF 上截取DM=CD ，则DE 是CM 的垂直平分线，CE ＝EM ，易得∠ECG ＝∠FEM ，证明△EMF ≌△CEG ，得到FM ＝GE ，据此判断④.
10．（2分）（2021八上·江津期中）如图，D 为∠BAC 的外角平分线上一点并且满足BD ＝CD ，∠DBC ＝∠DCB ，过D 作DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 交BA 的延长线于F ，则下列结论：①△CDE ≌△BDF ；②CE ＝AB+AE ；③∠BDC ＝∠BAC ；④∠DAF ＝∠CBD.其中正确的结论有（ ）个
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D
【完整解答】解：∵AD 平分 CAF ∠ ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，
∴DE DF = ，
在 Rt CDE 和 Rt BDF 中，
BD CD DE DF =⎧⎨=⎩
，
∴Rt CDE Rt BDF ≅ ，故①正确；
∴CE AF = ，
在 t ADE R 和 Rt ADF 中，
AD AD DE DF
=⎧⎨=⎩ ，∴Rt ADE Rt ADF ≅ ， ∴AE AF = ，
∴CE AB AF AB AE =+=+ ，故②正确；
∵Rt CDE Rt BDF ≅ ，
∴DBF DCE ∠=∠ ，
又∵AOB DOC ∠=∠ ，
∴∠BDC ＝∠BAC ，故③正确；
∵AD 平分 CAF ∠ ，
∴DAF DAE ∠=∠ ，
∵BD CD = ，
∴DBC DCB ∠=∠ ，
∵180BAC DAF DAE ∠+∠+∠=︒ ， 180BDC DBC DCB ∠+∠+∠=︒ ，∠BDC ＝∠BAC ， ∴DAF DAE DBC DCB ∠+∠=∠+∠ ，
∴∠DAF ＝∠CBD ，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④；
故答案为：D.
【思路引导】由角平分线的性质可得DE=DF ，根据HL 证明Rt CDE Rt BDF ≅，可得CE=AF ， DBF DCE ∠=∠ ，根据HL 证明Rt ADE Rt ADF ≅，可得AE AF =，从而得出
CE AB AF AB AE =+=+，据此判断①②；在△AOB 和△DOC 中，DBF DCE ∠=∠，∠AOB=∠DOC ，可得∠BDC ＝∠BAC ，据此判断③；利用三角形的内角和可求∠DAF+∠DAE=∠DBC+∠DCB
，从而得出∠DAF ＝∠CBD ，据此判断④.
二．填空题（共10小题，满分10分，每小题1分）
11．（1分）（2021八上·永定期末）在ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝CD，若BC＝6，AD＝4，则
图中阴影部分的面积为.
【答案】6
【完整解答】解：如图，先标注字母，
∵在△ABC中，AD⊥BC，BD＝CD，
∴AB＝AC，∠ADB＝∠ADC＝90°，S△ABD＝S△ACD，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABE和△ACE中，
AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴S△ABE＝S△ACE，
在△BDF和△CDF中，
BD＝CD，∠BDF＝∠CDF，DF＝DF，
∴△BDF≌△CDF（SAS），
∴S△BDF＝S△CDF，
∴S△BEF＝S△CEF，
∵S△ABC＝1
2
BC•AD＝
1
2
×4×6＝12，
∴S阴影＝1
2
S△ABC＝6．
故答案为：6.
【思路引导】由AD⊥BC于D点，BD＝CD，得△ABC是等腰三角形，易证△ABE≌△ACE，△BDF≌△CDF，
继而可得S阴影＝1
2
S△ABC，则可求得答案．
12．（1分）（2021八上·淳安期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，D为BC的中点，连接AD，E是AB上的一点，P是AD上一点，连接EP、BP，AC=10，BC=12，则EP+BP的最小值是.
【答案】9.6
【完整解答】解：连接PC，
∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵D为BC的中点，
∴AD垂直平分BC，BD=1
2
BC=6
∴BP=CP，2222
1068
AD AB BD
=-=-=
∴EP+BP=EP+CP
要使EP+BP的值最小，利用两点之间线段最短和垂线段最短，可知当点E，P，C在同一直线上时，且CE ⊥AB时，EP+BP的值最小，最小值为EC的长；
∵
11
22
ABC
S AB CE CB AD
=⋅=⋅，
∴10CE=12×8
解之：CE=9.6.
故答案为：9.6.
【思路引导】连接PC，利用已知易证△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求出BD的长，利用勾股定理求出AD的长，利用垂直平分线的性质可证得BP=PC；由此可得到EP+BP=EP+CP，要使EP+BP
的值最小，利用两点之间线段最短和垂线段最短，可知当点E，P，C在同一直线上时，且CE⊥AB时，EP+BP 的值最小，最小值为EC的长；然后三角形的面积公式可求出CE的长.
13．（1分）（2021八上·徐汇期末）如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF//OB，EC⊥OB，若EC＝2，则EF＝．
【答案】4
【完整解答】解：作EG⊥OA于G，如图所示：
∵EF//OB，∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB，
∴∠OEF＝∠COE＝15°，EG＝CE＝2，
∵∠AOE＝15°，
∴∠EFG＝15°＋15°＝30°，
∴EF＝2EG＝4．
故答案为：4．
【思路引导】作EG⊥OA于G，根据平行线的性质及角平分线的定义可得∠EFG＝15°＋15°＝30°，再利用含30°角的性质可得EF＝2EG＝4．
14．（1分）（2021八上·槐荫期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝7，DE＝3，则BD的长为．
【答案】4
【完整解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，∵DE＝3，
∴CD＝3，
∴BD＝BC−CD＝7−3＝4．
故答案为：4．
【思路引导】由角平分线的性质可得CD＝DE=3，利用BD＝BC−CD即可求解.
15．（1分）（2021八上·交城期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BD 为△ABC 的角平分线，过点D 作直线l AB ，点P 为直线l 上的一个动点，若△BCD 的面积为16，BC ＝8，则AP 最小值为 ．
【答案】4
【完整解答】解：∵∠C ＝90°，△BCD 的面积为16，BC ＝8， ∴1162
BC CD ⋅=，即4CD =， 作DE ⊥AB ，
∵BD 为△ABC 的角平分线，
∴4DE CD ==，
∵直线l AB ，
∴AP 最小值与DE 相等为4，
故答案为：4．
【思路引导】根据三角形的面积公式求出CD ，根据角平分线的性质求出DE ，根据垂线段最短解答即可。

16．（1分）（2021八上·建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC = ， 50BAC ∠=︒ ， BAC ∠ 的平分线与AB 的垂直平分线OD 交于点O ，点C 沿直线EF 折叠后与点O 重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：①50OEF ∠=︒ ；②图中没有60°的角；③D 、O 、C 三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：
【答案】①
【完整解答】解：∵∠BAC=50°，AO 为∠BAC 的平分线，
∴∠BAO= 1
2
∠BAC=
1
2
×50°=25°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°．
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AO垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=40°；
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠OEF= 1
2
∠CEO=50°，①符合题意；
∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，
∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB =180°-40°-40°-40°=60°，②不符合题意；∵∠ABO=∠BAO=25°，DO 是AB的垂直平分线，
∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，
∵∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°，即D、O、C三点不共线，③不符合题意.
故答案为：①．
【思路引导】根据等腰三角形的性质，角平分线，垂直平分线的定义对每个结论一一判断即可。

17．（1分）（2021八上·如皋月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F 分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为.
【答案】4
【完整解答】解：如图，过点P 作PM ⊥BC 于M ，PN ⊥AC 于N ，PK ⊥AB 于K ，在EB 上取一点J ，使得MJ ＝FN ，连接PJ.
∵BP 平分∠BC ，PA 平分∠CAB ，PM ⊥BC ，PN ⊥AC ，PK ⊥AB ，
∴PM ＝PK ，PK ＝PN ，
∴PM ＝PN ，
∵∠C ＝∠PMC ＝∠PNC ＝90°，
∴四边形PMCN 是矩形，
∴四边形PMCN 是正方形，
∴CM ＝PM ，∴∠MPN ＝90°，
在△PMJ 和△PNF 中，
90PM PN PMJ PNF MJ NF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴△PMJ ≌△PNF （SAS ），
∴∠MPJ ＝∠FPN ，PJ ＝PF ，
∴∠JPF ＝∠MPN ＝90°，
∵∠EPF ＝45°，
∴∠EPF ＝∠EPJ ＝45°，
在△PEF 和△PEJ 中，
PE PE EPF EPJ PF PJ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△PEF ≌△PEJ （SAS ），
∴EF ＝EJ ，
∴EF ＝EM+FN ，
∴△CEF 的周长＝CE+EF+CF ＝CE+EM+CF+FN ＝2CM ＝2PM ，
∵S △ABC ＝
12•BC•AC ＝12（AC+BC+AB ）•PM ， ∴PM ＝2，
∴△ECF 的周长为4，
故答案为：4.
【思路引导】过点P 作PM ⊥BC 于M ，PN ⊥AC 于N ，PK ⊥AB 于K ，在EB 上取一点J ，使得MJ ＝FN ，连接PJ ，利用角平分线的性质可证得PM=PN ，∠C ＝∠PMC ＝∠PNC ＝90°，可推出四边形PMCN 是正方形，利用正方形的性质可得到CM=PM ；再利用SAS 证明△PMJ ≌△PNF ，利用全等三角形的性质可证得∠MPJ ＝∠FPN ，PJ ＝PF ；再利用SAS 证明△PEF ≌△PEJ ，利用全等三角形的对应角相等可证得EF=EJ ，由此可推出EF ＝EM+FN ；然后可证得△CEF 的周长=2PM ；然后证明△ABC 的面积=
12
（AC+BC+AB ）•PM ，可求出PM 的长，即可得到△CEF 的周长.
18．（1分）（2021八上·广州期中）如图，在 ABC ∆ 中， BAC ∠ 和 ABC ∠ 的平分线 AE 、 BF 相交于点 O ， AE 交 BC 于点 E ， BF 交 AC 于点 F ，过点 O 作 OD BC ⊥ 于点 D ，则下列三个结论：①1902AOB C ∠=+∠ ；②当 60C ∠= 时， AF BE AB += ；③若 OD a = ， 2AB BC CA b ++= ，则 12
ABC S ab ∆= ．其中正确的是 ． 【答案】①②
【完整解答】解：∵∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点O ，
∴∠OBA ＝ 12 ∠CBA ，∠OAB ＝ 12
∠CAB ，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣1
2
∠CBA﹣
1
2
∠CAB＝180°﹣
1
2
（180°﹣∠C）＝90°+
1
2
∠C，①符合题意；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝1
2
（∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，在△HBO和△EBO中，
BH BE
HBO EBO
BO BO
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠AOH＝∠AOF，
在△HBO和△EBO中，
HAO FAO
AO AO
AOH AOF
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△HBO≌△EBO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②符合题意；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点O ，
∴点O 在∠C 的平分线上，
∴OH ＝OM ＝OD ＝a ，
∵AB+AC+BC ＝2b
∴S △ABC ＝ 12 ×AB×OM+ 12 ×AC×OH+ 12 ×BC×OD ＝ 12
（AB+AC+BC ）•a ＝ab ，③不符合题意． 故答案为：①②．
【思路引导】由角平分线的定义，结合三角形的内角和的可求解∠AOB 与∠C 的关系，进而判定①；在AB 上取一点H ，使BH ＝BE ，证得△HBO ≌△EBO （SAS ），得出∠HBO ＝∠EBO ，再证得△HBO ≌△EBO （ASA ），得出AF ＝AH ，进而判定②；作OH ⊥AC 于H ，OM ⊥AB 于M ，根据三角形的面积可证得③。

19．（1分）（2021八上·余杭月考）如图， ABC 中，∠ABC 、∠EAC 的角平分线BP 、AP 交于点P ，延
长BA 、BC ，PM ⊥BE ，PN ⊥BF ，则下列结论中正确的是 .
①CP 平分∠ACF ；②∠ABC ＋2∠APC ＝180°；③∠ACB ＝2∠APB ；④S △PAC ＝S △MAP ＋S △NCP .
【答案】①②③④
【完整解答】解：①过点 P 作 PD AC ⊥ 于 D ， PB 平分 ABC ∠ ， PM BE ⊥ ， PN BF ⊥ ，
PM PN ∴= ，
∵PA 平分 EAC ∠ ， PM BE ⊥ ， PD AC ⊥ ，
∴PM PD = ，
PN PD ∴= ，
又∵PN BF ⊥ ， PD AC ⊥ ，
∴ CP 平分∠ACF ，故①正确；
②∵PM BE ⊥ ， PD AC ⊥ ，
∴90PMA PDA ∠=∠=︒ ，
在 Rt PAM 和 Rt PAD 中，
PM PD PA PA =⎧⎨=⎩
， ()Rt PAM Rt PAD HL ∴≌ ，
APM APD ∴∠=∠ ，
同理： ()Rt PCD Rt PCN HL ≌ ，
CPD CPN ∴∠=∠ ，MPN APM APD CPD CPN ∴∠=∠+∠+∠+∠
2()APD CPD =∠+∠2APC =∠ ，
PM AB ⊥ ， PN BC ⊥ ，
9090360ABC MPN ∴∠+︒+∠+︒=︒ ，
180ABC MPN ∴∠+∠=︒ ，
2180ABC APC ∴∠+∠=︒ ，②正确；
③∵CAE ABC ACB ∠=∠+∠ ， MAP ABP APB ∠=∠+∠ ，
∴ACB CAE ABC ∠=∠-∠ ， APB MAP ABP ∠=∠-∠ ， PA 平分 CAE ∠ ， BP 平分 ABC ∠ ，
2CAE PAM ∴∠=∠ ， 2ABC ABP ∠=∠ ，
2()CAE ABC PAM ABP ∴∠-∠=∠-∠ ，
即 2ACB APB ∠=∠ ，③正确；
④由②可知 ()Rt PAM Rt PAD HL ≌ ， ()Rt PCD Rt PCN HL ≌ ，
APD APM S
S ∴= ， CPD CPN S S = ， APM CPN APC S S S ∴+= ，故④正确.
故答案为：①②③④.
【思路引导】过点P 作PD ⊥AC 于D ，由角平分线上的点到角两边的距离相等得PM=PN ，PM=PD ，推出
PN=PD，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上判断出CP平分∠ACF ，据此判断①；证△PAM≌△PAD，△PCD≌△PCN，得到∠APM=∠APD，∠CPD=∠CPN，推出∠MPN=2∠APC，利用四边形内角和为360°求出∠ABC+∠MPN的度数，据此判断②；由三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠MAP=∠ABP+∠APB，由角平分线的概念可得∠CAE=2∠PAM，∠ABC=2∠ABP，据此判断③；由全等三角形的面积相等得S△APD=S△APM，S△CPD=S△CPN，据此判断④.
20．（1分）（2020八上·怀宁期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝124°，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM，PN，垂足分别是点M，N．以下说法：①∠P＝56°；②∠EAF＝68°；③PE＝PF；④点P到点B和
点C的距离相等．正确的是（填序号）．
【答案】①②④
【完整解答】解：∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴∠PMA＝∠PNA＝90°，
∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣124°＝56°，①说法符合题意；
∵∠BAC＝124°，
∴∠B+∠C＝180°﹣124°＝56°，
∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴EC＝EA，FB＝FA，
∴∠EAC＝∠C，∠FAB＝∠B，
∴∠EAF＝∠BAC﹣∠EAC﹣∠FAB＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝124°﹣56°＝68°，②说法符合题意；
△ABC不一定是等腰三角形，
∴BF不一定等于CE，
∴无法判定PE与PF是否相等，③说法不符合题意；
连接PC、PA、PB，
∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴PC ＝PA ，PB ＝PA ，
∴PB ＝PC ，即点P 到点B 和点C 的距离相等，④说法符合题意，
故答案为：①②④．
【思路引导】根据垂直的定义，四边形内角和等于360度计算，判断①，根据线段垂直平分线的性质得到EC ＝EA ，FB ＝FA ，进而得出∠EAC ＝∠C ，∠FAB ＝∠B ，判断②，根据等腰三角形的性质，判断③，根据线段垂直平分线的性质判断④。

三．解答题（共9小题，满分70分）
21．（5分）（2021八上·海珠期末）已知：如图，PC 平分∠APB ，CM ⊥PA 于M ，CN ⊥PB 于N ，D 、E 分别是边PA 和PB 上的点，且CD ＝CE ．求证：∠APB+∠DCE ＝180°．
【答案】证明：∵PC 平分∠APB ，CM ⊥PA 于M ，CN ⊥PB 于N ，
∴CM=CN ，∠PMC=90°，∠PNC=90°，
∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC -∠PNC=360°-90°-90°=180°，
在Rt △MCD 和Rt △NCE 中，
CD CE CM CN
=⎧⎨=⎩， ∴Rt △MCD ≌Rt △NCE （HL ），
∴∠MCD=∠NCE ，
∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°．
【思路引导】根据角平分线的性质和全等三角形的判定与性质求解即可。

22．（5分）（2021八上·房山期末）如图，ABC 中，CD 平分ACB ∠，DE AB ⊥且E 为AB 的中点，
DM BC ⊥于M ，DN AC ⊥于N ，请你判断线段BM 与AN 的数量关系并加以证明．
【答案】解：BM AN =，理由：
如图，连接DA ，DB ，
∵CD 平分ACB ∠，DM BC ⊥于M ，DN AC ⊥于N ，
∴DM DN =，
∵DE AB ⊥且E 为AB 的中点，
∴DB DA =，
在Rt DBM 与Rt DAN 中，DB DA DM DN =⎧⎨=⎩
， ∴Rt Rt DBM DAN ≌（HL ），
∴BM AN =．
【思路引导】先求出 DM DN =， 再利用全等三角形的判定与性质求解即可。

23．（8分）（2021八上·松桃期末）如图，在ABC 中， 30BAC ∠=︒ ，AB 边的垂直平分线分别交AB 于点E ，交AC 于点F ，点D 在EF 上，且 BD CD = ，G 是AC 的中点，连接DG.
（1）（4分）求证：DG AC ⊥ ；
（2）（4分）判断BCD 是否是等边三角形，并说明理由.
【答案】（1）证明：连接AD ，
∵EF 是AB 的垂直平分线，点D 在EF 上，
∴AD BD = .
又∵BD CD = ，
∴AD CD = ，
∴ACD 是等腰三角形.
∵G 是AC 的中点，
∴DG AC ⊥ .
（2）解： BCD 是等边三角形，理由如下：
∵BD CD AD == ，
∴ABD BAD ∠=∠ ， ACD CAD ∠=∠ ，
∵30BAC BAD CAD ABD ACD ∠=∠+∠=∠+∠=︒ ，
∴()180120DBC DCB BAC ABD ACD ∠+∠=︒-∠-∠+∠=︒ ，
∴60DBC DCB ∠=∠=︒ ，
∴BCD 是等边三角形.
【思路引导】（1）连接AD ，由线段垂直平分线的性质可得AD=BD ，即得AD=CD=BD ，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可求解；
（2）是；理由：由AD=CD=BD 可得ABD BAD ∠=∠，ACD CAD ∠=∠，∠DBC=∠DCB ，从而得出 30BAC BAD CAD ABD ACD ∠=∠+∠=∠+∠=︒ ，根据三角形内角和求出∠DBC+∠DCB=
120°，即得∠DBC=∠DCB=60°，根据等边三角形的判定方法即证.
24．（10分）（2021八上·延庆期末）如图，∠AOB ＝45°，OC 是∠AOB 的角平分线，点D 是射线OB 上的
一点，点M为线段OD的中点，过点M作OD的垂线，交射线OA于点E，交射线OC于点F，连接ED，交OC于点G．
（1）（3分）依题意补全图形；
（2）（3分）猜想EF和EG的数量关系并证明；
（3）（4分）求证：ED＋EF＝2EM．
【答案】（1）解：根据题意，如图：
（2）解：EF=EG；
理由如下：如图，
∵点M为线段OD的中点，EM⊥OD，
∴线段EM是△OED的高，也是中线，
∴EM垂直平分OD，∠OME=90°，
∴OE=DE，∴∠EDO=∠AOB=∠OEF=45°，
∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠AOC+∠OEF=∠BOC+∠EDO，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EF=EG；
（3）解：在射线EA上，截取EH=EG，连接GH，如图：
则EH=EF，
∵OE=DE，
∴ED＋EF=OE+EH=OH，
∵∠EDO=∠EOM=∠OEF=45°，点M是OD的中点，
∴OM=EM=DM，∠DEA=45°+45°=90°，
∴OD=2EM；∠EHG=45°，
∵∠AOC=∠BOC，OG=OG，
∴△ODG≌△OHG（AAS），
∴OD=OH，
∴ED＋EF＝2EM．
【思路引导】（1）根据要求画出图形即可；
（2）结论：EF=EG，欲证明EF=EG，只要证明∠EFG=∠EGF=67.5°即可；
（3）过点G作OD的垂线，垂足为N，证明GN=EG=EF，ON=OE=ED，可得结论。

25．（7分）（2020八上·东海期末）问题情境：
七下教材第149页提出这样一个问题：如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F，PE与PF相等吗？
（1）（3分）七年级学习这部分内容时，我们还无法对这个问题的结论加以证明，八下教材第59页第11题不仅对这一问题给出了答案：“通过实验可以得到PE ＝PF”，还要求“现在请你证明这个结论”，请你给出证明：
（2）（4分）变式拓展：
如图2，已知∠AOB ＝120°，OC 平分∠AOB ，P 是OC 上一点，∠EPF ＝60°，PE 边与OA 边相交于点E ，PF 边与射线OB 的反向延长线相交于点F.试解决下列问题：
①PE 与PF 还相等吗？为什么？
②试判断OE 、OF 、OP 三条线段之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：过点P 作PM ⊥OB 于M ，PN ⊥OA 于N.
∵OC 平分∠AOB ，PM ⊥OB ，PN ⊥OA ，
∴PM ＝PN ，
∵∠PMO ＝∠PNO ＝∠MON ＝90°，
∴∠MPN ＝360°﹣3×90°＝90°，
∵∠MPN ＝∠EPF ＝90°，
∴∠MPF ＝∠NPE ，在△PMF 和△PNE 中， 90PMF PNE PW PN PWF PNE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
， ∴△PMF ≌△PNE （ASA ），
∴PF ＝PE.
（2）解：①解：结论：PE ＝PF.
理由：过点P 作PM ⊥OB 于M ，PN ⊥OA 于N.
∵OC 平分∠AOB ，PM ⊥OB ，PN ⊥OA ，
∴PM ＝PN ，
∵∠PMO ＝∠PNO ＝90°，∠MON ＝120°，
∴∠MPN ＝360°﹣2×90°﹣120°＝60°，
∵∠MPN ＝∠EPF ＝60°，
∴∠MPF ＝∠NPE ，
在△PMF 和△PNE 中， 90PMF PNE PW PN PWF PNE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
， ∴△PMF ≌△PNE （ASA ），
∴PF ＝PE.
②解：结论：OE ﹣OF ＝OP.
理由：在△OPM 和△OPN 中， 90PMO PNO POM PON
OP OP ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△POM ≌△PON （AAS ），
∴OM ＝ON ，
∵△PMF ≌△PNE （ASA ），∴FM ＝EN ，
∴OE ﹣OF ＝EN+ON+﹣（FM ﹣OM ）＝2OM ，
在Rt △OPM 中，∠PMO ＝90°，∠POM ＝
12 ∠AOB ＝60°， ∴∠OPM ＝30°，
∴OP ＝2OM ，
∴OE ﹣OF ＝OP.
【思路引导】（1）过点P 作PM ⊥OB 于M ，PN ⊥OA 于N ，由角平分线的性质可得PM ＝PN ，由同角的余角相等得∠MPF ＝∠NPE ，根据ASA 证明△PMF ≌△PNE ，可得PF ＝PE ；
（2）①PE ＝PF ；理由：过点P 作PM ⊥OB 于M ，PN ⊥OA 于N ， 同（1）证法相同；
②OE ﹣OF ＝OP ，理由：先利用AAS 证明△POM ≌△PON ，得OM ＝ON ，由△PMF ≌△PNE 可得FM ＝EN ，从而得出OE ﹣OF ＝EN+ON+﹣（FM ﹣OM ）＝2OM ， 在Rt △OPM 中 ，求出 ∠OPM ＝30°， 可得 OP ＝2OM ， 即得 OE ﹣OF ＝OP.
26．（10分）（2021八上·松江期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，点D 是边AC 上一点（不与点 A 、C 重合），EF 垂直平分BD ，分别交边AB 、BC 于点E 、F ，联结DE 、DF ．
（1）（3分）如图1，当BD ⊥AC 时，求证：EF=AB ；
（2）（3分）如图2，设CD=x ，CF=y ，求y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）（4分）当BE=BF 时，求线段CD 的长．
【答案】（1）证明： ∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，260AC BC A ∴===∠=︒，，
BD AC BD EF ⊥⊥，，30EF AC ABD ∴∠=︒，，113022
EFB C AD AB ∴∠=∠=︒==，，EF 是BD 的垂直平分线，
BE DE ∴=，30EBD EDB ∴∠=∠=︒，303060AED A ∴∠=︒+︒=︒=∠，AED ∴是等边三角形，
12DE AD ∴==，12
BE DE ∴==， 而30EFB ∠=︒， 21EF BE ∴==，.AB EF ∴=（2）解：如图，当EF 过A 点，EF 是BD 的垂直平分线，
则11AD AB CD x ====，，
如图，当EF 过点C ， 则3CD CB x ===，所以E F ，分别在AB 、BC 上时，则13x ≤≤，
如图，过F 作FN AC ⊥于N ，
330CD x CF y BF y C ===-∠=︒，，，，
221132
22FN y CN y y y ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭，，同理：3FD FB y ==-，
DN ∴=CD DN CN x =+=，y x =，整理得：
(2
1.36y x x -=≤≤- （3）解：当BE BF =，
同理可得：ED EB FB FD ==，，
BE ED DF BF ∴===，BD BD =，BED BFD ∴≌，
1452EBD FBD ABC ∴∠=∠=∠=︒，4590FDB BFD ∴∠=︒∠=︒，，设BF DF n ==，
则2CD n CF ==，，
33n n ∴+=，()
3313332231n --∴===+，23 3.CD n ∴==-【思路引导】（1）由直角三角形的性质求出22221360AC BC A ==-=∠=︒，，，
证明AED 是等边三角形，由等边三角形的性质得出12
DE AD ==， 即可得出结论； （2）当EF 过A 点，EF 是BD 的垂直平分线，则11AD AB CD x ====，，
过F 作FN AC ⊥于N ， 有直角三角形的性质以及勾股定理即可得出结论；
（3）证明 BED BFD ≌， 由全等三角形的性质得出1452
EBD FBD ABC ∠=∠=∠=︒，则4590FDB BFD ∠=︒∠=︒，，
设BF DF n ==， 则23CD n CF n ==，， 求出n 的值即可得出答案。

27．（7分）（2021八上·淮滨月考）
（1）（1分）如图1所示，在
ABC 中， 90ACB ∠=︒ ，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，垂足为E ，当BD=5cm ， 30B ∠=︒ ，
ACD 的周长= . （2）（1分）如图2所示，在 ABC 中， AB AC = ， 120A ∠=︒ ，D 是BC 的中点， DE AB ⊥ ，垂足为E ，那么 BE EA =： .（3）（5分）如图3所示，在等边△ABC 中，D ，E 分别是BC ，AC 上的点，且AE=DC ，AD ，BE 交于点P ，作BQ ⊥AD 于点Q ，若BP=2，求PQ 的长.
【答案】（1）15cm
（2）3：1
（3）解：∵△ABC 为等边三角形.
∴AB ＝AC ，∠BAC ＝∠ACB ＝60°，
在△BAE 和△ACD 中，
AE CD BAC ACB AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BAE ≌△ACD （SAS ），
∴∠ABE ＝∠CAD.
∵∠BPQ 为△ABP 外角，
∴∠BPQ ＝∠ABE ＋∠BAD.
∴∠BPQ ＝∠CAD ＋∠BAD ＝∠BAC ＝60°
∵BQ ⊥AD ，
∴∠PBQ ＝30°，
∴BP ＝2PQ ＝2，
∴PQ ＝1.
【完整解答】解：（1）∵DE 是线段BC 的垂直平分线，
∴CD ＝BD=5cm ，
∴∠DCB=∠B ＝30°
∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，
∴∠A=90°-30°=60°，∠ACD=90°-30°=60°
∴△ACD 是等边三角形
∴△ACD 的周长＝3CD ＝15cm.
故答案为：15cm ；
（2）连接AD ，如图所示.
∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，D 是BC 的中点，
∴∠BAD＝60°，∠B=30°，又∵DE⊥AB，
∴∠B＝∠ADE＝30°，
∴AB=2AD，AE＝1
2
AD，
∴BE＝AB-AE=2AD-1
2
AD=
3
2
AD，
∴BE：AE＝3
2
AD：
1
2
AD =3：1.
故答案为：3：1.
【思路引导】（1）根据线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，根据等边对等角得∠DCB=∠B＝30°，易得∠A=60°，∠ACD=60°，推出△ACD是等边三角形，进而可得周长；
（2）连接AD，根据等腰三角形的性质得∠BAD＝60°，根据同角的余角相等得∠B＝∠ADE＝30°，根据含
30°角的直角三角形的性质可得AB=2AD，AE＝1
2
AD，则BE＝
3
2
AD，据此解答；
（3）由等边三角形的性质得AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，证△BAE≌△ACD，得∠ABE＝∠CAD，根据外角的性质得∠BPQ＝∠ABE＋∠BAD，则∠BPQ＝60°，∠PBQ＝30°，推出BP＝2PQ，据此解答. 28．（8分）（2021八上·崇阳期中）
（1）（4分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°−α，BD平分∠ABC.
①如图1，若α=90°，请直接写出AD与CD之间的数量关系_▲_；
②在图2中，①中结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（2）（4分）根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD=BC.【答案】（1）解：①AD=CD
②成立，理由如下：
在BC截取BE=BA，连接DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
又BE=BA，BD=BD，
∴△ABD≌△EBD(SAS)，
∴AD=ED，∠BAD=∠BED，
∵∠BCD=180°−∠BAD，
∴∠BCD=180°−∠BED=∠DEC，
∴CD=ED，
∴AD=CD；
（2）证明：∵在等腰△ABC中，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C= 180100
40
2
︒-︒
=︒，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD= 1
2
∠ABC=20°，
在BC截取BE=BA，在BC截取BF=BD，连接DE、DF，
∴∠BDF=∠BFD= 18020
2
︒-︒
=80°，
∵∠C=40°，
∴∠CDF=80°-40°=40°，
∴DF=FC，∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
又BE=BA，BD=BD，
∴△ABD≌△EBD(SAS)，
∴AD=ED，∠BAD=∠BED=100°，
∵∠DEF=180°−∠BED=180°−100°=80°，
∴∠DEF=∠DFE=80°，
∴DE=DF ，
∴AD=DE=DF=CF ；
∴BD+AD=BF+FC=BC.
【完整解答】解：（1）①∵∠BAD=90°，∠BCD=180°−90°=90°，BD 平分∠ABC ，
∴AD=CD ；
故答案为：AD=CD ；
【思路引导】（1）①易得∠BAD=∠BCD=90°，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得结论； ②在BC 截取BE=BA ，连接DE ，由角平分线的概念可得∠ABD=∠EBD ，利用SAS 证△ABD ≌△EBD ，得AD=ED ，∠BAD=∠BED ，结合∠BCD=180°-∠BAD 可得∠BCD=∠DEC ，推出CD=ED ，据此解答；
（2）根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠B=∠C=40°，由角平分线的概念可得∠ABD=∠CBD=20°，在BC 截取BE=BA ，在BC 截取BF=BD ，连接DE 、DF ，由等腰三角形的性质得∠BDF=∠BFD=80°，结合外角的性质求出∠CDF 的度数，推出DF=FC ，然后证明△ABD ≌△EBD ，得到AD=ED ，∠BAD=∠BED=100°，由邻补角的性质可得∠DEF=80°，推出AD=DE=DF=CF ，据此证明.
29．（10分）（2021八上·余杭月考）在 ABC 中， AB AC = .
（1）（3分）如图1、求证：
B C ∠=∠ ：
（2）（3分）如图2，D 为AB 上一点，连接CD ，E 为CD 中点，过点E 作 EF CD ⊥ 于点E ，连接 FC FD ， ，
求证： FC FD = ； （3）（4分）如图3，在（2）的条件下，过点F 作 FH AC ⊥ 于点H ，连接AF ，若 AF ∥BC ，FH=4，CH=20，BD=10 ，求 ADF 的面积
【答案】（1）证明：过点A 作 AM BC ⊥ 于点 M ，
AM BC ⊥ ，
AMB AMC 90∴∠=∠=︒ ，
在 Rt AMB 和 Rt AMC 中，
AB AC AM AM =⎧⎨=⎩
Rt AMB Rt AMC(HL)∴≌B C ∴∠=∠（2）证明：EF CD ⊥ ， FED FEC 90∴∠=∠=︒ ， E 为 CD 中点，
DE CE ∴=在 FED 和 FEC 中，
FE FE FED FEC DE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
FED FEC()SAS ∴≌FD FC ∴=（3）解：过点F 作FG ⊥BA ，交BA 的延长线于点G ，
∵FH ⊥AC ，FG ⊥DG ，
∴∠FHA ＝∠FHC ＝∠G ＝90°，
∵AF ∥BC ，
∴∠GAF ＝∠B ，∠HAF ＝∠ACB ，
∵∠B ＝∠ACB ，
∴∠GAF ＝∠HAF ，
∵FG ⊥BA ，FH ⊥AC ，
∴FG ＝FH ，
在Rt △AGF 和Rt △AHF 中，
AF AF FG FH
⎧⎨⎩＝＝∴Rt △AGF ≌Rt △AHF （HL ）， ∴AG ＝AH ，
在Rt △GDF 和Rt △HCF 中，
AF AF FG FH ⎧⎨⎩
＝＝∴Rt △GDF ≌Rt △HCF （HL ）， ∴GD ＝HC ，
∴AD ＋AG ＝AC−AH ，
∴AB−BD ＋AG ＝AC−AH ，
∵AB ＝AC ，AG ＝AH ，
∴2AH ＝BD ，
∵BD ＝10，
∴AH ＝AG ＝5，
∵CH ＝20，
∴AB ＝AC ＝AH ＋CH ＝5＋20＝25，
∵BD ＝10，
∴AD ＝AB−BD ＝25−10＝15，
∴△ADF 的面积＝111543022
AD FG ⨯⋅⨯⨯＝＝ 【思路引导】（1）过点A 作AM ⊥BC 于点M ，由垂直的概念可得∠AMB=∠AMC=90°，利用“HL”证明△AMB ≌△AMC ，据此可得结论；
（2）由垂直的概念可得∠FED=∠FEC=90°，由线段中点的概念可得DE=CE ，利用“SAS”证明△FED ≌△FEC ，据此可得结论；
（3）过点F 作FG ⊥BA ，交BA 的延长线于点G ，利用平行线的性质及等腰三角形的性质可证得∠GAF ＝∠HAF ，利用角平分线的性质可得到FG ＝FH ，利用HL 证明Rt △AGF ≌Rt △AHF ，利用全等三角形的性质可推出AG ＝AH ；再利用HL 证明Rt △GDF ≌Rt △HCF ，可得到GD=HC ；再证明2AH ＝BD ，可求出AH 的长，即可得到GF 的长；由此可求出AC 的长，即可得到AB 的长；根据AD ＝AB−BD ，可求出AD 的长；然后利用三角形的面积公式求出△ADF 的面积.。