21-22版：3.2.4 二面角及其度量(创新设计)

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题型三 向量法求二面角 例3 在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，AB⊥AC， PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC 与平面ABCD的夹角. 解 方法一 如图，以A为原点，分别以AC， AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐 标系.
3.2.4 二面角及其度量
第三章——
3.2.4 二面角及其度量
学习目标 理解二面角和二面角的平面角的概念，会用向量 的方法求二面角.
栏目索引
CONTENTS PAGE
1 课前预习 2 课堂互动 3 课堂反馈
知识探究 题型剖析 检测成效
课前预习
[知识链接]
知识探究
二面角的平面角与两法向量有何关系？
ห้องสมุดไป่ตู้
答 设 n1，n2 分别是面 α，β 的法向量，θ 为 α-l-β 的平面角.
A.π3
B.23π
C.π3或23π
D.π6或π3
解析 二面角的大小与两法向量的夹角相等或互补．
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4.若两个平面α、β的法向量分别是n＝(1,0,1)，v＝(－1,1,0)， 则这两个平面所成的锐二面角的度数是___6_0_°___. 解析 cos〈n，v〉＝|nn|··|vv|＝－21，∴〈n，v〉＝120°.
4
[预习导引]
1.二面角的有关概念
平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每
一部分都叫做 半平面 .从一条直线出发的两个半
平面所组成的图形叫做 二面角 ；这条直线叫做
二面角的棱 ，每个半平面叫做 二面角.棱的为面l，
①
两个面分别为α，β的二面角，记作α-l-β.如图①所示，A∈α，
B∈β，二面角也可记作A-l-B，也可记作A-OO′-B.
＝| CC |2＋ CA ·CB . ∴ CA ·CB ＝－| CC |2<0， ∴除了A，B，C′共线的情况外，∠AC′B为钝角. 答案 B
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3.在三棱锥 ABCD 中，平面 ABD 与平面 BCD 的法向量分别为
n1，n2，若〈n1，n2〉＝π3，则二面角 A -BD -C 的大小为( C )
故B1C1⊥BE. 又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1， B1C1，EC1⊂平面EB1C1， 所以BE⊥平面EB1C1.
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(2)解 由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E， 所以∠AEB＝45°，故AE＝AB，AA1＝2AB. 以 D 为坐标原点，D→A的方向为 x 轴正方向， |D→A|为单位长度，建立如图所示的空间直角
则 sin〈n，m〉＝ 23，
所以，二面角
B－EC－C1
的正弦值为
3 2.
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课堂反馈
检测成效
课堂达标
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1.正四面体相邻两个面所成角的余弦值为( A )
A.13
B.14
C.23
D.
2 4
解析 如图，设点A在平面BCD内的射影为O，
BD中点为E，
则∠AEO为相邻两个面所成的角.
则 EF＝ 2a，AC1＝ 3a，
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∴ SAEC1F ＝21AC1·EF＝ 26a2，SABCD＝a2.
设平面AEC1F与平面ABCD所成的二面角的大小为θ，
则
cos
θ＝ SABCD
S AEC1F
＝
36，
即平面
AEC1F
与平面
ABCD
所成的二面角的余弦值为
6 3.
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∴S△ADE＝21× 2×
12＋32－12＝
10 4.
S△ABC＝12×1×1× 23＝ 43.
设截面ADE与底面ABC所成角的大小为θ，
3
则 cos θ＝
410＝
30 10 .
4 ∴截面 ADE 与底面 ABC 所成角的余弦值为 1300.
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坐标系 D－xyz，
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则 C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，E(1，0，1)，C→B ＝(1，0，0)，C→E＝(1，－1，1)，C→C1＝(0，0，2)．
设平面EBC的法向量为n＝(x1，y1，z1)， C→B·n＝0， x1＝0，
则C→E·n＝0，即x1－y1＋z1＝0，
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②当平面α、β的法向量与α、β的关系如下图所示时，二面 角α-l-β的平面角与两法向量n1，n2的夹角〈n1，n2〉互补.
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课堂互动
题型剖析
题型一 几何法求二面角
例1 自二面角α-l-β的棱上一点A在平面β内引一条射线AC， 它与棱l成45°角，和平面α成30°角，求二面角α-l-β的大小. 解 如图所示，在射线AC上取一点C， 作CD⊥平面α，在α内作DB⊥AB，垂足为B， 连接BC. 由三垂线定理知BC⊥AB，则∠CBD为二面角α-l-β的平面角.
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课堂小结
二面角的求法 (1)几何法：作出二面角的平面角，然后解三角形. (2)向量法：设二面角α lβ的两个半平面的法向量分别为n1，n2. ①当平面α、β的法向量与α、β的关系如下图所示时，二面角 α-l-β的平面角即为两法向量n1，n2的夹角〈n1，n2〉.
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二面角 α-l-β 的平面角 θ 与〈n1，n2〉可能相等，可能互补，所以
|cos θ|＝||nn11|·|nn22||.至于 cos θ＝||nn11|·|nn22||，还是 cos θ＝－||nn11|·|nn22||，则需要
结合题意与直观图判断 θ 是锐角还是钝角而定.
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所以可取n＝(0，－1，－1)．
设平面ECC1的法向量为m＝(x2，y2，z2)，
C→C1·m＝0， 2z2＝0，
则C→E·m＝0，
即 x2－y2＋z2＝0，
所以可取m＝(1，1，0)．
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于是 cos〈n，m〉＝|nn|·|mm|＝－12，
①
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说明：这个平面角与点O在l上的位置无关，因为，在l上异于 O的一点O′，O′A′⊥l，O′B′⊥l，则∠AOB与∠A′O′B′都是平面 角，它们的对应边平行且方向相同，因此∠AOB＝∠A′O′B′， 这两个角都是二面角的平面角.
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(1)二面角θ的范围为θ∈[0，π]. (2)二面角的向量求法： ①若 AB，CD 分别是二面角 α-l-β 的两个面内与 l 垂直的异
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方法二 建系如法一，∵PA⊥平面ABCD， ∴A→P＝(0,0，a)为平面 ABCD 的法向量.
A→E＝2b，－a2，a2，A→C＝(b,0,0)，
设平面AEC的法向量为m＝(x，y，z).
m·A→E＝0， 由m·A→C＝0，
得2bx－a2y＋a2z＝0， bx＝0.
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面直线，则二面角就等于A→B与C→D的夹角，如图②所示.
②
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②设n1，n2是二面角α-l-β的两个面α，β的法向量，则向量n1 与n2的夹角(或其补角)就等于二面角的平面角，如图③所示.
③
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3.直二面角 平面角是直角的二面角叫做 直二面角 ，互相垂直的平面也 就是相交成直二面角的两个平面.
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设AB＝a，连接AC，在△AEC中，
AE＝EC＝ 23a，AC＝ 2a， 由余弦定理可知：
cos∠AEC＝
23a2＋ 23a2－
2×
23a×
3 2a
2a2＝－13，
∴所求二面角 A-VB-C 的余弦值为－31.
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题型二 无棱二面角的求法 例2 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1，侧棱长为3， D、E分别是侧棱CC1和BB1上的点，且CD＝1，AD⊥DE， 求截面ADE与底面ABC所成角的余弦值. 解 如图，设BE＝y，由已知可得， 在Rt△ADE中AE2＝AD2＋DE2， 即12＋y2＝(12＋12)＋[12＋(y－1)2]， 解得 y＝23.
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规律方法 利用射影面积与图形面积比求二面角时公式 cos θ＝ SS′的意义：θ 为二面角的大小.S 为在二面角的一个 面内的图形 F 的面积，S′为图形 F 在另一个面内射影 F′ 的面积.当二面角为钝角时，此时二面角的大小为 π－θ.
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跟踪演练2 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 棱长为a，E，F分别为棱BB1，DD1的中点，求平 面AEC1F与平面ABCD所成的二面角的余弦值. 解 ∵EB⊥平面AC，CC1⊥平面AC，FD⊥平面AC， ∴正方形ABCD为菱形AEC1F的射影. 正方形的棱长为a，连接AC1，EF，
求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易
判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，
但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面
角还是锐二面角一般是明显的.
(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；
同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.
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∴x＝0，y＝z.∴取m＝(0,1,1)，
cos〈m，A→P〉＝
→ m·AP
→
＝
|m||AP|
2a·a＝
2 2.
∴平面AEC与平面ABCD的夹角为45°.
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规律方法 (1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关
系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角.只需
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设PA＝AB＝a，AC＝b，连接BD与AC交于点O，取AD中点
F，连接OF、EF，
则 C(b,0,0)，B(0，a,0)，B→A＝C→D.
∴D(b，－a,0)，P(0,0，a)，
∴Eb2，－a2，a2，O2b，0，0，
O→E＝0，－a2，a2，A→C＝(b,0,0).
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设CD＝a，又∠CAD为AC与面α所成的角， 即∠CAD＝30°，∴AC＝2a. 又∠CAB＝45°，∴BC＝ 2a. 在 Rt△CDB 中，sin∠CBD＝CBDC＝ 22， ∴∠CBD＝45°，即二面角α-l-β为45°.
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规律方法 利用几何法求二面角的过程要体现一作、二证、 三计算.即首先作出二面角的平面角，然后证明(或说明)所 作角为什么是二面角的平面角，最后再计算出二面角的平 面角大小.
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跟踪演练1 如图，ABCD是正方形，V是平面 ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面 角A-VB-C的余弦值.
解 取VB的中点为E，连接AE，CE. ∵VA＝AB＝BC＝VC， ∴AE⊥VB.∴CE⊥VB. ∴∠AEC是二面角A-VB-C的平面角.
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则 cos∠AEO＝13.
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2.直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，直角顶点C在α内的 射影是C′，则△ABC′是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.各种情况都有可能
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解析 ∵0＝C→A·C→B＝( C→C′＋ CA )·(CC ＋ CB )
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∵O→E·A→C＝0，∴O→E⊥A→C，
O→F＝21B→A＝0，－a2，0，O→F·A→C＝0. ∴O→F⊥A→C.
∴∠EOF等于平面EAC与平面ABCD的夹角(或补角).
cos〈O→E，O→F〉＝
→→ OE·OF →→
＝
|OE||OF|
2 2.
∴平面EAC与平面ABCD的夹角为45°.
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说明：①二面角的图形，它是由两个半平面和一条棱构成 的图形. ②符号α-l-β的含义是棱为l，两个面分别为α，β的二面角. ③两个平面相交，构成四个二面角.
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2.二面角的平面角 如图①所示，在二面角α-l-β的棱上任取一点O， 在 两 半 平 面 内 分 别 作 射 线 OA⊥l ， OB⊥l ， 则 ∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.
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跟踪演练3 (2019·全国Ⅱ卷)如图，长方体 ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点 E在棱AA1上，BE⊥EC1.
(1)证明：BE⊥平面EB1C1； (2)若AE＝A1E，求二面角B－EC－C1的正弦值．
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(1)证明 由已知得，B1C1⊥平面ABB1A1， BE⊂平面ABB1A1，