江西省樟村中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案

江西省樟村中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案
一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．若实数2a ≥，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A ．21(1)(2)a a a a +++>+
B ．1log (1)log (2)a a a a ++>+
C ．1
log (1)a a a a ++< D ．12
log (2)1
a a a a +++<
+ 【答案】ABD 【分析】
对于选项A ：原式等价于
()()
ln 1ln 212
a a a a ++>
++，对于选项C ：1
log (1)a a a a ++<
()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a
+⇔<
+，对于选项D ：变形为()()ln 2ln 121
a a a a ++<
++，构造函数()ln x
f x x =，通过求导判断其在(),x e ∈+∞上的单调性即可判断；
对于选项B ：利用换底公式：1log (1)log (2)a a a a ++>+()()
()
ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔
>+， 等价于()()2
ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，利用基本不等式2
2a b ab +⎛⎫≤ ⎪
⎝⎭
，再结合放缩法即可
判断； 【详解】 令()ln x f x x =
，则()21ln x f x x -'=0<在()3,x ∈+∞上恒成立，所以函数()
ln x
f x x
=在(),x e ∈+∞上单调递减， 对于选项A ：因为2a ≥，所以
21(1)(2)a a a a +++>+()()()()2ln 11ln 2a a a a ⇔++>++，
即原不等式等价于
()()
ln 1ln 212
a a a a ++>
++，因为12a a +<+，所以()()ln 1ln 212a a a a ++>
++，从而可得2
1(1)(2)a a a a +++>+，故选项A 正确； 对于选项C ：1
log (1)a a a a ++<()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a
+⇔<
+， 由于函数()ln x f x x =在(),e +∞上单调递减，所以()()43f f <，即ln 4ln 3
43
<，
因为
ln 42ln 2ln 2442==，所以ln 2ln 3
23<，取2a =，则()ln 1ln 1a a a a
+>+，故选项C 错
误；
对于选项D ：12log (2)1a a a a +++<+()()ln 22ln 11a a a a ++⇔<++()()ln 2ln 121
a a a a ++⇔<++，与选项A 相同，故选项D 正确.
对于选项B ：1log (1)log (2)a a a a ++>+()()
()
ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔
>+，因为2a ≥， 所以等价于()()2
ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，因为()()2
ln ln 2ln ln 22a a a a ++⎡⎤⋅+<⎢⎥⎣⎦
，
因为()()()()2
2
2
22
2ln 2ln 21ln ln 2ln 1222a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤+++++⎡⎤⎢
⎥⎢⎥=<=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 所以不等式1log (1)log (2)a a a a ++>+成立，故选项B 正确； 故选：ABD 【点睛】
本题考查利用对数的换底公式、构造函数法、利用导数判断函数的单调性、结合基本不等式和放缩法比较大小；考查逻辑推理能力、知识的综合运用能力、转化与化归能力和运算求解能力；属于综合型强、难度大型试题.
2．已知函数22(2)log (1),1
()2,1x x x f x x +⎧+>-⎪=⎨≤-⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不等实根1x ，
2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，则下列结论正确的是（ ）
A ．12m <≤
B ．11sin cos 0x x ->
C ．3441x x +>- D
．22
12log m
x x ++10
【答案】ACD 【分析】
画出()f x 的图象，结合图象求得1234,,,,m x x x x 的取值范围，利用特殊值确定B 选项错误，利用基本不等式确定CD 选项正确. 【详解】
画出()f x 的图象如下图所示，
由于关于x 的方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<， 由图可知12m <≤，故A 选项正确. 由图可知12,x x 关于直线2x =-对称，故12
122,42
x x x x +=-+=-， 由(
)
()2
2221x x +=≤-解得3x =-或1x =-，
所以1232,21x x -≤<--<≤-，
3324π-<-
<-，当134x π=-
时，1212sin cos ,sin cos 02
x x x x ==--=，所以B 选项错误. 令(
)
()2
221x m x +=≤-，()2
2log 2log 1x m m m +==，()2
2log 21m x +=，
(
)2
22log 1m x +=，12,x x 是此方程的解，
所以()
2
11log 22m x =
+
，或()2
21log 22m x =
+，
故()()
2
222
12112
11
log 422m x x x x x ++=+--+
+
()()
2
12
1122881022x x =++
+≥=+，
当且仅当()()
2
112
11
522,222x x x +=
=-+时等号成立，故D 选项正确. 由图象可知()()2324log 1log 1x x +=-+，
()()2324log 1log 10x x +++=，()()34111x x +⋅+=，4433111,111
x x x x +=
=-++， 由()()2log 111x x +=>-，解得1x =或1
2
x =-，
由()()2log 121x x +=>-，解得3x =或3
4
x =-， 所以3431
,1342
x x -
≤<-<≤， ()34333311
44145111
x x x x x x +=+
-+=-++
+ 51≥=-①. 令()()21134,1,142
1x x x x +=
==-++或12x =-，
所以①的等号不成立，即3441x x +>-，故C 选项正确. 故选：ACD
【点睛】
求解有关方程的根、函数的零点问题，可考虑结合图象来求解.求解不等式、最值有关的问题，可考虑利用基本不等式来求解.
3．对于函数()9
f x x x
=+
，则下列判断正确的是（ ） A ．()f x 在定义域内是奇函数
B ．函数()f x 的值域是(][
),66,-∞-⋃+∞ C ．()12,0,3x x ∀∈，12x x ≠，有
()()1212
0f x f x x x ->-
D ．对任意()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠，有()()12121
22x x f f x f x +⎛⎫<+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
【答案】ABD 【分析】
根据函数奇偶性定义判断()f x 的奇偶性，利用基本不等式求()f x 的值域，设
1203x x <<<，根据解析式判断()()12,f x f x 的大小，进而确定
()()1212
,0f x f x x x --的大
小关系，应用作差、作商法判断12122,2()()f x f x x x f +⎛⎫
⎪+⎝⎭
大小关系，进而确定各项的
正误. 【详解】
A ：由解析式知：定义域为0x ≠，99
()()()f x x x f x x x
-=-+=-+=--，即()f x 在定义域内是奇函数，正确； B ：当0x >时，(
)96f x x x =+
≥=当且仅当3x =时等号成立；当0x <时有0x ->，(
)9[()()]6f x x x
=--+-≤-=-当且仅当3x =-时等号成立；
故其值域(][
),66,-∞-⋃+∞，正确；
C ：当1203x x <<<时，()()1212121212
999()(1)f x f x x x x x x x x x -=-+
-=--，而120x x -<，12910x x -
<，则()()120f x f x ->，所以()()1212
0f x f x x x -<-，错误；
D ：若120x x >>，1212
12
3622x x f x x x x +⎛⎫
=++
⎪+⎝⎭，121212
99
()()f x f x x x x x +=++
+，所以121212123699()()]2[()2f x f x x x x x x x f +⎛⎫
- ⎪⎝+=-++⎭，而12122
121236
4199()x x x x x x x x +=<++，即()()1212122x x f f x f x +⎛⎫<+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
，正确； 故选：ABD 【点睛】
关键点点睛：综合应用函数奇偶性的证明、对勾函数值域的求法、作差(作商)法比较大小，判断各选项的正误.
4．已知当0x >时，2()24f x x x =-+；0x ≤时(2)y f x =+，以下结论正确的是（ ）
A ．()f x 在区间[]6,4--上是增函数；
B ．()()220212f f -+-=；
C ．函数()y f x =周期函数，且最小正周期为2；
D ．若方程()1f x kx =+恰有3
个实根，则
1
42
k <<-
4k =；
【答案】BD 【分析】
利用函数的性质，依次对选项加以判断，ABC 考查函数的周期性及函数的单调性，重点理解函数周期性的应用，是解题的关键，D 选项考查方程的根的个数，需要转化为两个函数的交点个数，在同一图像中分别研究两个函数，临界条件是直线与函数()f x 相切，结合图像将问题简单化. 【详解】
对于A ，0x ≤时(2)y f x =+，
即()f x 在区间[]6,4--上的单调性与()f x 在区间[]
0,2上单调性一致， 所以()f x 在[]6,5--上是增函数，在[]
5,4--上是减函数，故A 错误； 对于B ，当0x ≤时，()2()f x f x +=，
()()22=22242=0f f -=-⨯+⨯，
()()()()20211=1+2=1=2+42f f f f -=---=，故B 正确；
对于C ，当0x ≤时，()2()f x f x +=， 当0x >时，()f x 不是周期函数，故C 错误； 对于D ，由0x >时，2
()24f x x x =-+；
0x ≤时(2)y f x =+，可求得当20x -<<时，2()24f x x x =--；
直线1y kx =+恒过点(0,1)，方程()1f x kx =+恰有3个实根， 即函数()f x 和函数1y kx =+的图像有三个交点，
当0k >时，直线1y kx =+与函数()f x （0x >）相切于点00(,)x y ，
则0200012
44124k k x kx x x
⎧
>⎪⎪=-+⎨⎪+=-+⎪⎩
，解得04k x ⎧=-⎪
⎨⎪⎩，
要函数()f x 和函数1y kx =+的图像有三个交点， 则k
的取值范围为：
1
42
k <<- 当0k <时，当0x >时，直线1y kx =+与函数()f x 有两个交点， 设直线1y kx =+与函数()f x （0x ≤）相切于点00(,)x y ''，
则020*******k x kx x x =-'-⎧⎨'+=-'-'⎩
，解得04
=2k x ⎧=⎪
⎨'-
⎪⎩
综上，方程()1f x kx =+有3个实根， 则
1
4222
k <<-或224k =-,故D 正确.
故选：BD. 【点睛】
本题考查函数的性质，单调性，及函数零点个数的判断，主要考查学生的逻辑推理能力，数形结合能力，属于较难题.
5．定义：若函数()F x 在区间[]a b ，上的值域为[]a b ，，则称区间[]
a b ，是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间()F x 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数
()21f x x =-，则（ ）
A ．[]0,1是()f x 的一个“完美区间”
B ．151522⎡-⎢⎣⎦
是()f x 的一个“完美区间” C ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为35+ D ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为325+【答案】AC 【分析】
根据定义，当[]
0,1x ∈时求得()f x 的值域，即可判断A ；对于B ，结合函数值域特点即可判断；对于C 、D ，讨论1b ≤与1b >两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项. 【详解】
对于A ，当[]
0,1x ∈时，()2
2
11f x x x =-=-，则其值域为[]0,1，满足定义域与值域的
范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A 正确；
对于B ，因为函数()210f x x =-≥，所以其值域为[
)0,+∞
，而
102
-<，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B 错误；
对于C ，由定义域为[
]
a b ，，可知0a b ≤<， 当1b ≤时，[][]0,1a b ，，此时()22
11f x x x =-=-，所以()f x 在[]a b ，内单调递
减，
则满足()()2
2
11f a a b f b b a
⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，化简可得22a a b b -=-， 即221122a b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，所以1122a b -=-或1122a b -=-，
解得a b =（舍）或1a b +=， 由2
1
1
a b a b +=⎧⎨
+=⎩解得1b =或0b =（舍）， 所以10a b =-=，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为[]0,1，则“复区间长度”为
()22b a -=；
当1b >时，①若01a ≤<，则[]1a b ∈，，此时()()min 10f x f ==.当()f x 在[]
a b ，的值域为[]
a b ，，则()0,a f b b ==，因为1b > ，所以()2
1f b b b =-=，即满足
2
10b b --=
，解得b =
b =.
所以此时完美区间为⎡⎢⎣⎦
，则“复区间长度”为(
)12212
b a +-=⨯
=+ ②若1a ≤，则()2
1f x x =-，[]x a b ∈，，此时()f x 在[]
a b ，内单调递增，若()
f x 的值域为[]a b ，，则()()2
2
11f a a a
f b b b
⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，则,a b 为方程210x x --=的两个不等式实数根，
解得112x =
，2x =，
所以a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，与1a ≤矛盾，所以此时不存在完美
区间.
综上可知，函数()2
1f x x =-的“复区间长度”
的和为213++=C 正确，
D 错误； 故选：AC.
【点睛】
本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.
6．若定义在R 上的函数()f x 满足()
()
0f x f x ，当0x <时，
23
()22
f x x ax a =++(a ∈R )，则下列说法正确的是（ ）
A ．若方程()2
a
f x ax =+有两个不同的实数根，则0a <或48a << B ．若方程()2
a
f x ax =+有两个不同的实数根，则48a << C ．若方程()2
a
f x ax =+有4个不同的实数根，则8a > D ．若方程()2
a
f x ax =+有4个不同的实数根，则4a > 【答案】AC 【分析】
由题知()f x 是R 上的奇函数，则由0x <时的解析式可求出()f x 在R 上的解析式.先讨论特殊情况0x =为方程的根，则可求出0a =，此时方程化为()0f x =，而函数()f x 为R 上的减函数，则方程仅有一个根.当0x ≠时，由分段函数分类讨论得出0x <时，
1(1)2(1)a x x =-++
+-+，0x >时，4
242
a x x =-++-.利用数形结合思想，画出图
象，则可得知方程()2
a
f x ax =+不同的实数根个数分别为2个和4时，参数a 的取值范围. 【详解】 因为()
()
0f x f x 所以()()f x f x -=-，
所以()f x 是R 上的奇函数，(0)0f =， 当0x >时，0x -<，2
3
()22
f x x ax a -=-+， 所以2
3()()22
f x f x x ax a =--=-+-
， 综上2
232,02()0,03
2,0
2x ax a x f x x x ax a x ⎧++<⎪⎪
==⎨⎪⎪-+->⎩
，
若0x =是方程()2
a
f x ax =+的一个根，
则0a =，此时()2
a
f x ax =+
，即()0f x =， 而22,0()0,0,0x x f x x x x ⎧<⎪
==⎨⎪->⎩
，在R 上单调递减，
当0a =时，原方程有一个实根. 当0x <时，2
3222
a x ax a ax ++
=+， 所以20x ax a ++=，当1x =-时不满足，
所以21
(1)21(1)
x a x x x =-
=-++++-+， 当0x >时，2
3222
a
x ax a ax -+-
=+， 所以220x ax a -+=，当2x =时不满足，
所以24
2422
x a x x x ==-++--，如图：
若方程()2
a
f x ax =+有两个不同的实数根， 则0a <或48a <<；
若方程()2
a
f x ax =+有4个不同的实数根，则8a >. 故选：AC 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是将方程()2
a
f x ax =+进行参数分离，再借助数形结合法，求出对应的参数的取值范围.
7．已知函数()22,1,1x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩
，若存在实数a ，使得()()f a f f a ⎡⎤=⎣⎦，则a 的个数不是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】ABD
【分析】
令()f a t =，即满足()f t t =，对t 进行分类讨论，结合已知函数解析式代入即可求得满足题意的t ，进而求得a.
【详解】
令()f a t =，即满足()f t t =，转化为函数()1y f t =与2y t =有交点，结合图像
由图可知，()f t t =有两个根0t =或1t =
（1）当1t =，即()1f a =，由()22,1,1
a a f a a a -≥⎧=⎨<⎩，得1a =±时，经检验均满足题意； （2）当0t =，即()0f a =，当1a ≥时，()20f a a =-=，解得：2a =；当1a <时，()2
0f a a ==，解得：0a =； 综上所述：共有4个a ．
故选：ABD ．
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解
8．已知函数4()n n f x x x
=+(n 为正整数)，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()f x 始终为奇函数
B ．当n 为偶数时，函数()f x 的最小值为4
C ．当n 为奇数时，函数()f x 的极小值为4
D ．当1n =时，函数()y f x =的图象关于直线2y x =对称
【答案】BC
【分析】
由已知得()()4
()n n f x x x -=-+-，分n 为偶数和n 为奇数得出函数()f x 的奇偶性，可判
断A 和；当n 为偶数时，>0n x ，运用基本不等式可判断B ；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，构造函数4()g t t t =+
，利用其单调性可判断C ；当1n =时，取函数4()f x x x
=+
上点()15P ，，求出点P 关于直线2y x =对称的对称点，代入可判断D. 【详解】 因为函数4()n
n f x x x =+(n 为正整数)，所以()()4()n n f x x x -=-+-， 当n 为偶数时，()()44()()n n n n f x x x f x x x -=-+
=+=-，函数()f x 是偶函数； 当n 为奇数时，()4()n n f x x f x x
-=-+=--，函数()f x 是奇函数，故A 不正确； 当n 为偶数时，>0n x
，所以4()4n n f x x x =+≥=，当且仅当4n n x x =时， 即2>0n x =取等号，所以函数()f x 的最小值为4，故B 正确； 当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，函数()f x 化为4()g t t t =+
， 而4()g t t t
=+在()()22-∞-+∞，，，上单调递增，在()()2002-，，，上单调递递减， 所以4()g t t t =+
在2t =时，取得极小值4(2)242g =+=，故C 正确； 当1n =时，函数4()f x x x
=+上点()15P ，，设点P 关于直线2y x =对称的对称点为()000P x y ，， 则000051121+5+222y x x y -⎧=-⎪-⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得00175195x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，而将0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入4()f x x x
=+
不满足， 所以函数()y f x =的图象不关于直线2y x =对称，故D 不正确，
故选：BC ．
【点睛】
本题考查综合考查函数的奇偶性，单调性，对称性，以及函数的最值，属于较难题.
二、导数及其应用多选题
9．定义在R 上的函数()f x ，若存在函数()g x ax b =+（a ，b 为常数），使得
()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数，下列命题中正确的是（ ）
A ．函数()2g x =-是函数ln ,0()1,0x x f x x >⎧=⎨⎩
的一个承托函数 B ．函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数
C ．若函数()g x ax = 是函数()x f x e =的一个承托函数，则a 的取值范围是[0,]e
D ．值域是R 的函数()f x 不存在承托函数
【答案】BC
【分析】
由承托函数的定义依次判断即可.
【详解】
解：对A ，∵当0x >时，()ln (,)f x x =∈-∞+∞，
∴()()2f x g x ≥=-对一切实数x 不一定都成立，故A 错误；
对B ，令()()()t x f x g x =-，则()sin (1)sin 10t x x x x x =+--=+≥恒成立， ∴函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数，故B 正确；
对C ，令()x h x e ax =-，则()x
h x e a '=-，
若0a =，由题意知，结论成立，
若0a >，令()0h x '=，得ln x a =，
∴函数()h x 在(,ln )a -∞上为减函数，在(ln ,)a +∞上为增函数，
∴当ln x a =时，函数()h x 取得极小值，也是最小值，为ln a a a -，
∵()g x ax =是函数()x f x e =的一个承托函数，
∴ln 0a a a -≥，
即ln 1a ≤，
∴0a e <≤，
若0a <，当x →-∞时，()h x →-∞，故不成立，
综上，当0a e 时，函数()g x ax =是函数()x f x e =的一个承托函数，故C 正确； 对D ，不妨令()2,()21f x x g x x ==-，则()()10f x g x -=≥恒成立，
故()21g x x =-是()2f x x =的一个承托函数，故D 错误.
故选：BC .
【点睛】
方法点睛：以函数为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中函数只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．
10．对于函数2ln ()x f x x =，下列说法正确的是（ ） A
．函数在x e =处取得极大值12e B ．函数的值域为1,
2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．()f x 有两个不同的零点
D ．(2)()(3)f f f π<<
【答案】ABD
【分析】 求导，利用导数研究函数的单调区间，进而研究函数的极值可判断A 选项，作出函数()f x 的抽象图像可以判断BCD 选项.
【详解】
函数的定义域为()0,∞+，求导243
1ln 212ln ()x x x x x f x x x ⋅-⋅-'==， 令()0f x '=，解得：x e =
x
()0,e e (),e +∞ ()'f x
+ 0 - ()f x 极大值
所以当x e =时，函数有极大值()2f e e
=
，故A 正确； 对于BCD ，令()0f x =，得ln 0x =，即1x =，当x →+∞时，ln 0x >，20x >，则()0f x > 作出函数()f x 的抽象图像，如图所示：
由图可知函数的值域为1,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
，故B 正确；函数只有一个零点，故C 错误；又函数
()f x 在)
+∞2<<<，则(2)f f f <<，故D 正确；
故选：ABD
【点睛】
方法点睛：本题考查利用导数研究函数单调性，函数的极值，函数的值域，及求函数零点个数，求函数零点个数常用的方法：
（1）方程法：令()0f x =，如果能求出解，有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[]
,a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
（3）数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．。