成都市七中育才学校九年级数学上册第四单元《圆》检测题(含答案解析)

一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A ．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴
B ．平分弦的直径垂直于弦
C ．长度相等的弧是等弧
D ．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等
2．如图，在平面直角坐标系中，P 是直线y ＝2上的一个动点，⊙P 的半径为1，直线OQ 切⊙P 于点Q ，则线段OQ 的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．5
3．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P 落在
O 上，两边分别交圆O 于A ，B 两点，若O 的直径为6，则弦AB 的长为（ ）
A ．3
B ．2
C ．2
D ．3
4．如图，AB 是半圆O 的直径，20BAC =︒∠，则D ∠的度数是（ ）
A ．70°
B ．100°
C ．110°
D ．120° 5．如图，ABC 为O 的一个内接三角形，过点B 作O 的切线PB 与OA 的延长线交于点P ．已知34ACB ∠=︒，则P ∠等于（ ）
A ．17°
B ．27°
C ．32°
D ．22°
6．如图，在三角形ABC 中，AB=22，∠B=30°，∠C=45°，以A 为圆心，以AC 长为半径作弧与AB 相交于点E ，与BC 相交于点F ，则弧EF 的长为( )
A ．6π
B ．2π
C ．23π
D ．π
7．如图，在等边ABC 中，点O 在边AB 上，O 过点B 且分别与边AB BC 、相交于点D 、E ，F 是AC 上的点，判断下列说法错误的是（ ）
A ．若EF AC ⊥，则EF 是
O 的切线 B ．若EF 是
O 的切线，则EF AC ⊥ C ．若32
BE EC =，则AC 是O 的切线 D ．若BE EC =，则AC 是
O 的切线 8．已知
O 的半径为4，点P 在O 外，OP 的长可能是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 9．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，28CDB ∠=︒，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点
E ，则E ∠等于（ ）
A．28︒B．34︒C．44︒D．56︒
10．如图，在△ABC中，
（1）作AB和BC的垂直平分线交于点O；
（2）以点O为圆心，OA长为半径作圆；
（3）⊙O分别与AB和BC的垂直平分线交于点M，N；
（4）连接AM，AN，CM，其中AN与CM交于点P．
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论：
①BC＝2NC；②AB＝2AM；③点P是△ABC的内心；④∠MON＋2∠MPN＝360°．其中正确结论的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，AB为圆O的直径，点C在圆O上，若∠OCA=50°，OB=2，则弧BC的长为（）
A．10
3
πB．
5
9
πC．
10
9
πD．
5
18
π
12．在扇形中，∠AOB=90°，面积为4πcm2，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为 ( )
A．1cm B．2cm C．3n D．4cm
二、填空题
13．如图，用一张半径为10cm的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的高为8cm，那么这张扇形纸板的弧长是_______cm，制作这个帽子需要的纸板的面积为_______cm2．
14．如图，PA，PB是O的切线，A，B为切点，AC是O的直径，
∠=︒，则P
35
BAC
∠的度数为________.
15．如图，四边形ABCD是O的内接四边形，对角线AC，BD交于点E，且==，若70
AC BD AB
∠=︒，则AOB
AEB
∠等于______︒．
16．将面积为3πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，若扇形的圆心角是120°，则该圆锥底面圆的半径为_____cm．
17．如图，O的半径为6，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是O上任意一
⊥于N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周点，过点P作PM AB
⊥于M，PN CD
从点D逆时针方向运动到点C的过程中，当∠QCN度数取最大值时，线段CQ的长为______．
OA=，AB是O的切线，点B是切点，弦18．如图，A是半径为1的O外一点，2
BC OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为________．
//
19．如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 边上一点，连接 AE ，过点 B 作 BG ⊥AE 于点 G ， 连接 CG 并延长交 AD 于点 F ，当 AF 的最大值是 2 时，正方形 ABCD 的边长为______．
20．如图，MN 是O 的直径，2MN =，点A 在O 上，30AMN ∠=︒，B 为弧AN 的中点，点P 是直径MN 上的一个动点，则PA PB +的最小值为_______．
三、解答题
21．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过点C 的切线相互垂直，垂足为D ，且交O 于点E ，连接OC ，BE ，相交于点F ．
（1）求证：EF BF =；
（2）若4DC =，2DE =，求直径AB 的长．
22．如图，已知,90Rt ABC ACB ∆∠=︒．
（1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作一个圆，使得圆心О在边AC 上，且与边,AB BC 所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹);
（2）在（1）的条件下，若9,12AC BC ==，求O 的半径． 23．如图，已知O 的直径AB ⊥弦CD 于点E ，且E 是OB 的中点，连接CO 并延长交AD 于点F .
（1）求证：CF AD ⊥；
（2）若12AB =，求CD 的长．
24．如图，AB 是O 的一条弦，⊥OD AB ，垂足为C ，OD 交O 于点D ，点E 在O 上，若50AOD ．
（1）求DEB ∠的度数：
（2）若3OC =，5OA =，
①求弦AB 的长；
②求劣弧AB 的长．
25．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC ∆的顶点均在格点上，点B 的坐标为()1,0．
（1）画出ABC ∆关于x 轴对称的111A B C ∆，写出1C 点的坐标；
（2）画出将ABC ∆绕原点O 按逆时针旋转90︒所得的222A B C ∆，写出2B 点的坐标并求出A 运动经过的路径的长度．
26．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A 、B 、C ．
（1）画出该圆弧所在圆的圆心D 的位置（不用写作法，保留作图痕迹，用水笔描清楚），并连接AD 、CD ．
（2）⊙D 的半径为 （结果保留根号）；
（3）若用扇形ADC 围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是 ；
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据对称轴的定义对A 进行判断；根据垂径定理的推论对B 进行判断；根据等弧定义对C 进行判断；根据圆心角定理对D 进行判断．
【详解】
解：A 、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以A 选项错误； B 、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B 选项错误； C 、长度相等的弧不一定能重合,所以不一定是等弧，所以C 选项错误；
D 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所以D 选项正确．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了圆的有关性质，掌握相关定理是解题关键．
2．C
解析：C
【分析】
连接PQ 、OP ，如图，根据切线的性质得：PQ ⊥OQ ，再利用勾股定理得出OQ ，利用垂线段最短，当OP 最小时，OQ 最小，即可求解．
【详解】
连接PQ 、OP ，如图，
∵直线OQ 切⊙P 于点Q ，
∴PQ ⊥OQ ，
在直角OPQ △中，2221OQ OP PQ OP =-=-，
当OP 最小时，OQ 最小，
当OP ⊥直线y ＝2时，OP 有最小值2，
∴OQ 的最小值为2213-=，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了勾股定理，熟练掌握切线的性质以及勾股定理是解答本题的关键．
3．A
解析：A
【分析】
连接AO 并延长交O 于点D ，连接BD ；根据同弦所对的圆周角相等可得
30D P ∠=∠=︒；再说明AD=6,然后根据在直角三角形中30°所对的直角边为斜边的一半．
【详解】
解：如图：连接AO 并延长交O 于点D ，连接BD ，
30P ∠=︒，
30D P ∴∠=∠=︒，
∵AD 是O 的直径，6AD =，90ABD ∠=︒，
132
AB AD ∴==． 故答案为A ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质，掌握直径所对的圆周角为直角是解答本题的关键．
4．C
解析：C
【分析】
先根据圆周角定理可得90ACB ∠=︒，再根据直角三角形的性质可得70B ∠=︒，然后根据圆内接四边形的性质即可得．
【详解】
AB 是半圆O 的直径，
90ACB ∴∠=︒，
20BAC ∠=︒，
9070B BAC ∴∠=︒-∠=︒， 又四边形ABCD 是圆O 内接四边形，
180110D B ∴∠=︒-∠=︒，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
5．D
解析：D
【分析】
连接OB ，利用圆周角定理求得∠AOB ，再根据切线性质证得∠OBP=90°，利用直角三角形的两锐角互余即可求解．
【详解】
解：连接OB ，
∵∠ACB=34°，
∴∠AOB=2∠ACB=68°，
∵PB 为O 的切线，
∴OB ⊥PB ，即∠OBP=90°,
∴∠P=90°﹣∠AOB=22°，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了切线的性质、圆周角定理、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解答的关键．
6．A
解析：A
【分析】
过A 作AD ⊥BC ，连接AF ，求出∠FAE ，再利用弧长计算公式计算EF 的长即可．
【详解】
解：过A 作AD 垂直BC ，连接AF ，如图，
∵2,30,45AB B C =∠=︒∠=︒，可得2
∴AC=2，
∵AC=AF
∴∠AFC=∠C=45°，
∴∠FAE=∠AFC-∠B=45°-30°=15°
∴EF 的长为：
152180
π⨯=6π 故选：A
【点睛】
此题主要考查了弧长的计算，关键是掌握弧长计算公式． 7．D
解析：D
【分析】
A 、如图1，连接OE ，根据同圆的半径相等得到OB=OE ，根据等边三角形的性质得到∠BOE=∠BAC ，求得OE ∥AC ，于是得到A 选项正确；
B 、由于EF 是⊙O 的切线，得到OE ⊥EF ，根据平行线的性质得到B 选项正确；
C 、根据等边三角形的性质和圆的性质得到
AO=OB，如图2，过O作OH⊥AC于H，根据三角函数得到OH=
3
2
AO≠OB，于是得到C选
项正确；由于C正确，D自然就错误了．【详解】
解：A、如图，连接OE，
则OB=OE，
∵∠B=60°
∴∠BOE=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOE=∠BAC，
∴OE∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF，
∴EF是⊙O的切线
∴A选项正确
B、∵EF是⊙O的切线，
∴OE⊥EF，
由A知：OE∥AC，
∴AC⊥EF，
∴B选项正确；
C、如图，∵3
，
∴23BE，
∵AB=BC，BO=BE，
∴23OB，
∴3，
∴AC是⊙O的切线，
∴C选项正确．
D、∵∠B=60°，OB=OE，
∴BE=OB，
∵BE=CE，
∴BC=AB=2BO，
∴AO=OB，
如图，过O作OH⊥AC于H，
∵∠BAC=60°，
∴OH=3AO≠OB，
∴D选项错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．8．D
解析：D
【分析】
根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵O的半径为4，点P在⊙O外，
∴OP＞4，
故选：D．
【点睛】
本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围．
9．B
解析：B
【分析】
连接OC，由CE为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CE，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再利用外角性质求出∠COE的度数，即可求出∠E的度数．
【详解】
解：连接OC，
∵CE为圆O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠COE=90°，
∵∠CDB与∠BAC都对BC，且∠CDB=28°，
∴∠BAC=∠CDB=28°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=28°，
∵∠COE为△AOC的外角，
∴∠COE=56°，
则∠E=34°．
故选：B．
【点睛】
此题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
利用垂径定理可对①②进行判断；利用圆周角定理可得到CM、AN为角平分线，则利用
三角形内心的定义可对③进行判断；根据P是△ABC的内心得出∠APC=90°+1
2
∠B，进而
得出∠MON+∠B=180°，再代入求解即可．
【详解】
解：作BC的垂直平分线，则ON平分BC，则BC＝2NC，所以①正确；
作AB的垂直平分线，则OM平分AB，则AB＝2AM，2AM＞AB，所以②错误；∵M点为AB的中点，∴∠ACM=∠BCM，
∵点N为BC的中点，∴∠BAN=∠CAN，
故P点为△ABC的内心，所以③正确；
∵∠APC=180°-∠PAC-∠PCA=180°-1
2∠BAC-1
2
∠BCA=180°-1
2
(∠BAC+∠BCA)=180°-
1 2(180°-∠B)=90°+
1
2
∠B，
∴2∠MPN=2∠APC=180°+∠B，
又OM⊥AB，ON⊥BC，∴∠MON+∠B=180°，
∴∠MON+2∠MPN=∠MON+180°+∠B=180°+180°=360°，故④正确，
∴正确的结论有3个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂径定理、圆周角定理、三角形内心及外心的性质、线段的垂直平分线的尺规作图等，熟练掌握各图形的性质及尺规作图步骤是解决本题的关键．
11．C
解析：C
【分析】
先根据等腰三角形的性质求出∠A ，再利用圆周角定理求得∠BOC ，最后根据弧长公式求求解即可．
【详解】
解：∵∠OCA =50°，OA =OC ，
∴∠A =50°，
∴∠BOC =100°
∵BO =2， ∴1002101809
BC l ππ⨯=
=． 故答案为C ．
【点睛】 本题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，根据题意求得∠BOC 是解答本题的关键． 12．A
解析：A
【分析】
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而要先求扇形的弧长，根据扇形的面积公式2
360
n R S π=，可以求出扇形的半径，就可以求出弧长． 【详解】 解：根据扇形的面积公式2360n R S π=得到：2
904360
R ππ=； ∴R=4，则弧长9042180
cm ππ⋅=
=， 设圆锥的底面半径为r ，则2π=2πr ；
∴r=1cm ．
故选：A ．
【点睛】 本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：
（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；
（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
二、填空题
13．12π60π【分析】首先根据底面半径求得圆锥的底面的周长从而求得扇形的弧长和面积；【详解】∵扇形的半径为10cm 做成的圆锥形帽子的高为8cm ∴圆锥的底面半径为∴底面周长为∴这张扇形纸板的弧长是扇形的
解析：12π 60π
【分析】
首先根据底面半径求得圆锥的底面的周长，从而求得扇形的弧长和面积；
【详解】
∵扇形的半径为10cm ，做成的圆锥形帽子的高为8cm ，
∴圆锥的底面半径为221086-=，
∴底面周长为2612cm ππ⨯=，
∴这张扇形纸板的弧长是12cm π，
扇形的面积为21110126022
lr cm ππ=⨯⨯=． 故答案是：12π；60π．
【点睛】
本题主要考查了扇形弧长计算和面积计算，准确分析计算是解题的关键．
14．70°【分析】根据题意可以求得∠OAP 和∠OBP 的度数然后根据∠BAC ＝35°即可求得∠P 的度数【详解】解：连接OB ：∵PAPB 是⊙O 的两条切线AB 是切点AC 是⊙O 的直径∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°
解析：70°
【分析】
根据题意可以求得∠OAP 和∠OBP 的度数，然后根据∠BAC ＝35°，即可求得∠P 的度数．
【详解】
解：连接OB ：
∵PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 是切点，AC 是⊙O 的直径，
∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，
∵∠BAC ＝35°，OA ＝OB ，
∴∠BAC ＝∠OBA ＝35°，
∴∠PAB ＝∠PBA ＝55°，
∴∠P ＝180°−∠PAB−∠PBA ＝70°，
即∠P 的度数是70°，
故答案为：70°．
【点睛】
本题考查切线的性质，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用切线的性质解答问题．
15．125【分析】根据题意先求出∠ABE=∠BAE=55°然后由等腰三角形的定义和
三角形的内角和定理求出∠C=625°即可求出的度数【详解】解：根据题意∵在圆中有∴∴∴在△ABE 中∴在等腰△ABC 中则∴
解析：125
【分析】
根据题意，先求出∠ABE=∠BAE=55°，然后由等腰三角形的定义和三角形的内角和定理，求出∠C=62.5°，即可求出AOB ∠的度数．
【详解】
解：根据题意，
∵在圆中，有AC BD AB ==，
∴AC BD =，
∴AD BC =，
∴ABD BAC ∠=∠，
在△ABE 中，70AEB ∠=︒， ∴1(18070)552
ABD BAC ∠=∠=⨯︒-︒=︒， 在等腰△ABC 中，AC AB =则
1(18055)62.52
C ∠=⨯︒-︒=︒， ∴2125AOB C ∠=∠=︒；
故答案为：125．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的定义，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．
16．1【分析】直接利用已知得出圆锥的母线长再利用圆锥侧面展开图与各部分对应情况得出答案【详解】解：设圆锥的母线长为Rcm 底面圆的半径为rcm ∵面积为3πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面扇形的圆心角是120
解析：1
【分析】
直接利用已知得出圆锥的母线长，再利用圆锥侧面展开图与各部分对应情况得出答案．
【详解】
解：设圆锥的母线长为Rcm ，底面圆的半径为rcm ，
∵面积为3πcm 2的扇形围成一个圆锥的侧面，扇形的圆心角是120°， ∴2120360
R π⨯＝3π， 解得：R ＝3，
由题意可得：2πr ＝
1203180
π⨯， 解得：r ＝1．
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查了圆锥的计算，正确得出母线长是解题关键．
17．【分析】利用矩形的性质得出OQ＝MN＝OP＝3再利用当CQ与此圆相切时∠QCN最大此时在直角三角形CQ′O中通过勾股定理求得答案【详解】连接OQ∵MN＝OP（矩形对角线相等）⊙O的半径为6∴OQ＝M
解析：33
【分析】
利用矩形的性质得出OQ＝1
2
MN＝
1
2
OP＝3，再利用当CQ与此圆相切时，∠QCN最大，
此时，在直角三角形CQ′O中，通过勾股定理求得答案．【详解】
连接OQ，
∵MN＝OP（矩形对角线相等），⊙O的半径为6，
∴OQ＝1
2MN＝
1
2
OP＝3，
可得点Q的运动轨迹是以O为圆心，3为半径的半圆，当CQ与此圆相切时，∠QCN最大，
此时，在直角三角形CQ′O中，
∠CQ′O＝90°，OQ′＝3，CO＝6，
∴CQ′22
CO OQ
-'33
即线段CQ的长为33
故答案为：33′
【点睛】
此题主要考查了矩形的性质、点的轨迹，圆的切线等，得出当CQ与此圆相切时，∠QCN 最大是解题的关键．
18．【分析】连接OCOB易证△OAB为等边三角形由BC∥OA得S△OCB＝
S△ACB把阴影部分的面积转化为扇形OBC的面积【详解】连接OCOB∵是的切线∴OB⊥AB在Rt△OBA中∵OB=1OA=2∴∠
解析：
6
π
【分析】
连接OC ，OB ，易证△OAB 为等边三角形，由BC ∥OA ，得S △OCB ＝S △ACB ，把阴影部分的面积转化为扇形OBC 的面积．
【详解】
连接OC ，OB
∵AB 是O 的切线
∴OB ⊥AB
在Rt △OBA 中
∵OB=1，OA=2
∴∠AOB=60°
又∵//BC OA
∴∠OBC=60°
∵OB=OC
∴△OAB 为等边三角形
又∵BC ∥OA ∴S △OCB ＝S △ACB
∴S 阴＝S 扇形OBC =2601360π⨯⨯ =6π
故答案为：
6
π 【点睛】 本题考查扇形面积的求解，将不规则图形转化成规则的扇形是解题的关键．
19．8【分析】以AB 为直径作圆O 则∠AGB=90º当CF 与圆O 相切时AF 最大AF=2由切线长定理的AF=FGBC=CG 过F 作FH ⊥BC 与H 则四边形ABHF 为矩形AB=FHAF=BH=2设正方形的边长为x
解析：8．
【分析】
以AB 为直径作圆O ，则∠AGB=90º，当CF 与圆O 相切时，AF 最大，AF=2，由切线长定理的AF=FG ，BC=CG ，过F 作FH ⊥BC 与H ，则四边形ABHF 为矩形，AB=FH ，AF=BH=2，设正方形的边长为x ，在Rt △FHC 中，由勾股定理得x 2+(x-2)2=(x+2)2解之即可．
【详解】
以AB 为直径作圆O ，
∵AB 为直径，
∴∠AGB=90º，
当CF 与圆O 相切时，AF 最大，AF=2，
由切线长定理的AF=FG ，BC=CG ，
过F 作FH ⊥BC 与H ，则四边形ABHF 为矩形，AB=FH ，AF=BH=2，
设正方形的边长为x ，
则HC=x-2，FC=2+x ，FH=x ，
在Rt △FHC 中，由勾股定理得，
x 2+(x-2)2=(x+2)2，
整理得：x 2-8x=0，
解得x=8，x=0（舍去），
故答案为：8．
【点睛】
本题考查圆的切线问题，涉及切线长，直径所对的圆周角，引辅助圆与辅助线，正方形的性质，矩形的性质与判定，能综合运用这些知识解决问题特别是勾股定理构造分析是解题关键．
20．【分析】作点A 的对称点根据中位线可知最小时P 正好在上在根据圆周角定理和等弧所对圆心角相等求得再利用勾股定理即可求解【详解】如图作点关于的垂线交圆与连接交于点连接则此时的值最小∵∴∵点是的中点∴∵关于 解析：2
【分析】
作点A 的对称点，根据中位线可知PA PA =' ，PA PB +最小时P 正好在A B '上，在根据圆周角定理和等弧所对圆心角相等求得90AOB ∠'=︒，再利用勾股定理即可求解．
【详解】
如图，作点A 关于MN 的垂线交圆与A ' ，
连接A B ' 交MN 于点P ，连接AP OB OA OA '、、、 ，
则此时AP BP + 的值最小A B =' ，
∵30AMN ∠=︒，
∴60AON ∠=︒，
∵点B 是AN 的中点，
∴30BON ∠=︒ ，
∵A A '、 关于MN 对称，
∴60AON AON ∠'=∠=︒，
∴306090AOB ∠'=︒+︒=︒，
又∵112122
OA OB MN '==
=⨯=， 在RT A OB '△中 ∴
A B '=AP BP + 的值最小
．
【点睛】
本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系、圆周角定理、垂直平分线定理、勾股定理等．在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．本题是与圆有关的将军饮马模型． 三、解答题
21．（1）见解析（2）10
【分析】
（1）根据题意和平行线的性质、垂径定理可以证明结论成立；
（2）根据题意，利用矩形的性质和勾股定理可以解答本题．
【详解】
（1）证明：∵OC ⊥CD ，AD ⊥CD ，
∴OC ∥AD ，
∴∠AEB ＝∠OFB ，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠AEB ＝90°，
∴∠OFB ＝90°，
∴OF ⊥BE 且平分BE ，
∴EF ＝BF ；
（2）∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠AEB ＝90°，
∵∠OCD ＝∠CFE ＝90°，
∴四边形EFCD 是矩形，
∴EF ＝CD ，DE ＝CF ，
∵DC ＝4，DE ＝2，
∴EF ＝4，CF ＝2，
设⊙O 的为r ，
∵∠OFB ＝90°，
∴OB 2＝OF 2＋BF 2，
即r 2＝（r−2）2＋42，
解得，r ＝5，
∴AB ＝2r ＝10，
即直径AB 的长是10．
【点睛】
本题考查切线的性质、垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22．（1）见解析；（2）O 的半径为4 【分析】
（1）先作∠ABC 的角平分线，交AC 于点O ，然后过O 作AB 的垂线，交AB 于E ，以O 为圆心，OE 为半径作圆即可；
（2）先利用勾股定理求出AB ，然后由OBC ABO ABC S S S ∆∆∆+=即可求出O 的半径．
【详解】
解:（1）如图所示：
（2）设直线AB 与O 切于点D ，连接OD ，
则,OD AB ⊥
90,ACB ∴∠=︒
22222291215AB AC BC ∴=+=+=．
15,AB ∴=
设O 的半径为,r
由得OBC ABO ABC S S S ∆∆∆+=
1215912,r r +=⨯
4,r ∴=
即O 的半径为4
【点睛】
本题考查了尺规作图，切线的性质，理解题意熟练掌握角平分线和垂线的作图是解题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）63CD =．
【分析】
（1）首先根据垂径定理和等腰三角形的性质得到CB=CO ，然后结合OC=OB ，得到OCB 是等边三角形根据圆周角定理和对顶角的性质，结合三角形内角和定理即可证明90AFO ∠=︒，即可证明；
（2）根据题意和（1）问结论得到OE=3，在Rt OCE 中应用勾股定理求得CE ，结合垂径定理即可求得CD ．
【详解】 （1）证明：如图，连接BC .
∵AB CD ⊥，E 是OB 的中点，
∴CB CO =，12
BCD BCO ∠=
∠. ∵OC OB =，
∴OB OC BC ==， ∴
OCB 是等边三角形，
∴60BOC BCO ∠=∠=°，
∴60AOF BOC ∠=∠=°，30BCD BAD ∠=∠=︒， ∴()180603090AFO ∠=-+=°°°°，
∴CF AD ⊥.
（2）∵12AB =，
∴6OB =.
∵E 是OB 的中点， ∴132
OE OB ==.
在Rt OCE 中，CE =
∵AB CD ⊥， ∴
2CD CE ==.
【点睛】
本题考查了垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，属于圆的综合题，重点是掌握相关定理，要求考生熟记并能熟练应用，是中考的重难点．
24．（1）25°；（2）①8；②
25π9 【分析】
（1）根据垂径定理和圆周角定理求解即可；
（2）①根据勾股定理和垂径定理求解即可；
②先求出100AOB ∠=︒，再根据弧长公式计算即可．
【详解】
解：（1）∵⊥OD AB ，∴AD BD =， ∴11502522
DEB AOD ∠=∠=⨯︒=︒； （2）①∵3OC =，5OA =，⊥OD AB ， ∴
4AC ==，
∴AB=2AC=8；
②∵
50AOD ，AD BD =，
∴100AOB ∠=︒， ∵5OA =，
∴弧AB 的长π1005π25π1801809
n r ⨯=
==． 【点睛】
本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，以及弧长公式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
25．（1）如图，111A B C ∆为所作，见解析；1C (3,-1)；（2）如图，222A B C ∆为所作，见解
析；A
【分析】
（1）根据网格结构找出点A 、B 、C 关于x 轴的对称点1A 、1B 、1C 的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点1C 的坐标即可；
（2）根据网格结构找出点A 、B 、C 关绕点O 按照逆时针旋转90°后的对应点2A 、2B 、2C 的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点2B 的坐标再根据弧长公式求解即可；
【详解】
（1）如图，111A B C ∆为所作
∴ 1C (3，-1) ，
(2)如图，222A B C ∆为所作
∴2B (0，1)，
∵点A(2，2)，
∴ OA=22， ∵∠2AOA =90°
∴A 运动经过的路径的长度为：90222180
ππ⋅⋅=
【点睛】
本题考查了利用旋转变换与对称轴变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键；
26．（1）图见解析；（2）2535 【分析】
（1）根据垂进定理，作出AB 、BC 的垂直平分线交点为圆心D ．
（2）根据正方形网格长度，运用勾股定理求出半径．
（3）根据圆锥特点，先求出ABC 的弧长，利用圆锥的底面圆周长等于弧长的长度，便可解答．
【详解】
解：（1）
（2）⊙D 的半径AD 222425=+=
（3）根据图上信息，可知道AOD DFC ≅
ADO DCF ∴∠=∠
90ADC ∴∠=
ABC ∴ 的长度9025π⨯ =5π 扇形ADC 围成一个圆锥的侧面,则圆锥的底面圆周长等于弧长的长度． ∴ 圆锥的底面圆半径55π== 【点睛】
本题考查了垂径定理，弧长公式得计算，属于基础题．。