山东省莱西市第一中学高三第一次模拟考试数学(理)试卷

高三数学一模模拟测试题（理科）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
依题意，，则，故选A．
2.若复数对应复平面内的点，且，则复数的虚部为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
依题意，，故，故复数的虚部为，故选B．
3.为了检验设备与设备的生产效率，研究人员作出统计，得到如下表所示的结果，则（）
设备设备
生产出的合格产品48 43
生产出的不合格产品 2 7
附：
参考公式：，其中.
A. 有90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性
B. 没有的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性
C. 可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性
D. 不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性【答案】A
【解析】
将表中的数据代入公式，计算得，∵，∴有90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性，故选A．
4.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
角的终边在直线，即上，则,
，故，故选C．
5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组合而成的，故所求表面积为
，故选B．
6.为了计算满足的最大正整数，设置了如下图所示的程序框图，若判断框中填写的是“”，则输出框中应填（）
A. 输出
B. 输出
C. 输出
D. 输出
【答案】D
【解析】
由程序框图可知，当首次满足时，已经多执行一次“”，之后又执行一次“”，故输出框中应填写“输出”，故选D．
7.已知实数满足约束条件，则的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示（含边界）. 的几何意义为平面区域内的点与点连线的斜率.观察可知，，因为，所以，则，故选B．
8.函数的大致图象为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
由，得，解得，.故函数的图象与轴的两个交点坐标为，，排除B、D．又，排除A，故选C．
9.如图，已知直四棱柱中，，，且，则直线与直线所成角的余弦值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
不妨设，如图，延长至点，使得，连接，易证直线与直线
所成的角等于或其补角.
易知，，，所以
，则直线与直线所成角的余弦值为，故选B．
10.已知中，内角所对的边分别是，若，且
，则当取到最小值时，（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
，即，由正弦定理得
，即，由正弦定理和余弦定理得，则，从而，故，由得，故，则，所以，故，当且仅当时等号成立.故选A.
11.定义在上的偶函数满足：当时，，
.若函数有6个零点，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
依题意，当时，，则，即，故（为常数），因为，所以，故.此时，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴.在同一直角坐标系中作出的大致图象如下图所示，观察可知，当时，它们有6个交点，即函数有6个零点，故选A．
12.已知抛物线的焦点为，且到准线的距离为2，直线与抛物线交于两点（点在轴上方），与准线交于点，若，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
设，易知.由题意知，则抛物线.因为，所以，又，得（负值舍去），，联立，
得，故，所以，故，过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，易知，故，故选C．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量，，若向量与共线，则实数_________.
【答案】
【解析】
【分析】
可求出，根据向量23与共线即可得出2m+2（6+3m）＝0，解出m即可．
【详解】解：；
∵与共线；
∴2m+2（6+3m）＝0；
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查向量坐标的减法和数乘运算，以及平行向量的坐标关系．
14.的展开式中的系数为_________.
【答案】
【解析】
的展开式的通项为，令
，解得，故的系数为.
15.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数
的图象的对称轴方程为_________.
【答案】
【解析】
依题意，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到
的图象，令，解得，即函数的图象的对称轴方程为.
16.我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，且过点．若直线与在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形绕轴旋转一周所得几何体的体积为_________.
【答案】
【解析】
设双曲线的方程为，由题意得，解得，则
双曲线的方程为.作直线，交双曲线于点，交渐近线于点，交轴于点.则，∴，∴.根据祖暅原理，可得该几何体与底面积为、高为6的柱体体积相等，故所求体积为.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知等差数列满足，，数列满足.
（1）求数列、的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）
【解析】
（1）依题意，，即，所以，则，
故.
因为，所以①，
当时，②，
①②得，即.
当时，满足上式.
∴数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，，
记数列的前项和为，的前项和为，
则，
，
故数列的前项和为.
18.为了了解某市高三学生的身体情况，某健康研究协会对该市高三学生组织了两次体测，其中第一次体测的成绩（满分：100分）的频率分布直方图如下图所示，第二次体测的成绩.
（Ⅰ）试通过计算比较两次体测成绩平均分的高低；
（Ⅱ）若该市有高三学生20000人，记体测成绩在70分以上的同学的身体素质为优秀，假设这20000人都参与了第二次体测，试估计第二次体测中身体素质为优秀的人数；
（Ⅲ）以频率估计概率，若在参与第一次体测的学生中随机抽取4人，记这4人成绩在
的人数为，求的分布列及数学期望.
附：，，
.
【答案】（Ⅰ）第一次体测成绩的平均分高于第二次体测成绩的平均分；（Ⅱ）456；（Ⅲ）见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由频率分布直方图求出第一次体测成绩的平均分．第二次体测的成绩X～N（65，2.52），由此求出第二次体测成绩的平均分为65．从而第一次体测成绩平均分高于第二次体测成绩平均分；
（Ⅱ）由X～N（65，2.52），能估计第二次体测中身体素质为优秀的人数；
（Ⅲ）依题意，（0.025+0.035）×10＝0.6，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，ξ～B（4，），由此能求出ξ的分布列及数学期望．
【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图可得第一次体测成绩的平均分为：
；
第二次体测的成绩，故第二次体测成绩的平均分为65.
∵，∴第一次体测成绩的平均分高于第二次体测成绩的平均分.
（Ⅱ）因为，所以，故所求人数大约为.
（Ⅲ）依题意，，的可能取值为0，1，2，3，4，.
，，，
，.
故的分布列为：
0 1 2 3 4
.
【点睛】本题考查平均数、频数的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、正态分布、二项分布、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.如图所示，四棱锥中，，，，二面角的大小为.
（1）求证：；
（2）在线段上找一点，使得二面角的大小为.
【答案】（1）见解析；（2）点E是上靠近点S的三等分点
【解析】
（1）由题意得，不妨设，则，所以，而，，所以，则.
因为二面角的大小为，且平面平面，平面，所以平面，
而平面，所以.
（2）因为二面角的大小为，交线是，所以以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系．
由（1）知，则，，，．
设，则．
设是平面的法向量，则，即，取，得，∴是平面的一个法向量．易知平面的一个法向量是
．
依题意，即，解方程得或，
又因为，所以，故点E是上靠近点S的三等分点.
20.已知椭圆过点，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于两点，且，设分别是直线的斜率，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）定值2
【解析】
（1）将代入椭圆中，得，又，，解得，故椭圆的标准方程为.
（2）将代入，整理化简，得，
直线与椭圆交于两点，设，，
则，.
又，，所以
故为定值2.
21.已知函数.
（Ⅰ）当时，判断函数的单调性；
（Ⅱ）当时，证明：.（为自然对数的底数）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）函数的定义域为.
.
①当时，.
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
②当时，.
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
③当时，.
易知恒成立，函数在上单调递增；
④当时，.
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
综上，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，不等式化为.
记，则.
显然在上单调递增，
且，
.
所以在上有唯一的零点，且.
所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.
由，即，得，
所以，
而易知函数在上单调递减，
所以，
所以.
所以，即.
请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分. 选修44：坐标系与参数方程
22.选修44：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的极坐标方程为.
（Ⅰ）求直线的普通方程以及圆的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点在直线上，过点作圆的切线，求的最小值.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
（1）由直线的参数方程消去参数，得，即.
所以直线的普通方程为.
圆的极坐标方程为，即，
将极坐标方程与直角坐标方程的转化公式代入上式可得，即，此为圆的直角坐标方程.
（2）由（1）可知圆的圆心为，半径，
所以，
而的最小值为圆心到直线的距离.
所以的最小值为.
选修45：不等式选讲
23.选修45：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）解关于的不等式；
（Ⅱ）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）①当时，不等式可化为，解得，故；
②当时，不等式可化为，解得，故；
③当时，不等式可化为，解得.显然与矛盾，故此时不等式无解.
综上，不等式的解集为.
（2）由（1）知，.
作出函数的图象，如图，
显然.
故由不等式恒成立可得，解得. 所以的取值范围为.。