厦门一中届高三(下)第二次周考.docx

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
厦门一中
2016届高三（下）第二次周考 数学试题（理科）
第Ⅰ卷（共48分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题6分,共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.已知集合{}{}20,m ,1,2A B ==，那么“1m =
-”是“{}1A B =”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 2.已知复数
21ai
bi i
-=-，其中,,a b R i ∈是虚数单位，则a bi +=（ ） A ．12i -+ B ．1 C ．5 D ．5
4.执行如图所示的程序框图，则输出i 的值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．55
5.已知数列{}n a 、{}n b 满足()1
1111,2*n n n n
b a b a a n N b ++==-==∈，则数列{}
n a b 的前10项的和为（ ） A ．
()94413- B ．()104413- C ．()91413- D ．()101
413
- 6. 已知函数()()sin 0,0,2f x A x B A πωϕωϕ⎛
⎫
=++>><
⎪⎝
⎭
的部分图象，如图所示，将函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位后，得到函数()g x 的图象关于点3,32π⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
对称，则m 的值可能是（ ）
A ．
6π B ．2
π C ．76π D ．712π
7.若,x y 满足条件3560
231500x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，当且仅当3x y ==时，z ax y =+取得最大值，则实数a 的取值
范围是（ ） A ．23,35⎛⎫-
⎪⎝⎭ B ．32,,53⎛
⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭ C ．3253，⎛⎫
- ⎪⎝⎭
D ．23,,35⎛
⎫⎛⎫-∞-
+∞ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝⎭
8.有一个7人学校合作小组，从中选取4人发言，要求其中甲和乙至少有一人参加，若甲和乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（ ） A ．720种 B ．600种
C ．360种
D ．300种 9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
1136 B ．3 C ．533 D ．43
3
10.已知函数()()0x
f x e x =≥，当0x <时，()()4f x f x -=，若函数()()()
0g x f x ax a a =-->有唯一零点，则a 的取值范围（ ） A ．()0,1 B ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,4e ⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭
11.如图，已知12,F F 是双曲线()22
2210,0y x a b a b
-=>>的下，上焦点，过2F 点作以1F 为圆心，1OF 为
半径的圆的切线，P 为切点，若切线段2PF 被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为（ ）
A ．3
B ．2
C ．3
D ．2
12.函数()()22
3,2x f x x x a g x x =-++=-，若()0f g x ⎡⎤≥⎣⎦对[]0,1x ∈恒成立，则实数a 的取值范
围是（ ）
A ．[),e -+∞
B ．[)ln 2,-+∞
C ．[)2,-+∞
D ．1,02⎛⎤
-
⎥⎝⎦
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设204cos n xdx π
=⎰，则二项式1n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式的常数项是 .
14.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线2
4y x =上一动点P 到直线1l 和2l 的距离之和
的最小值是 .
15.三棱锥P ABC -内接于球O ，球O 的表面积是24π，,43
BAC BC π
∠==，则三棱锥P ABC -的最
大体积是 .
16.设数列{}n a 是首项为0的递增数列，()()()11
,sin
,,n n n n n N f x x a x a a n
+∈=-∈⎡⎤⎣⎦，满足：对于任意的[]()0,1,n b f x b ∈=总有两个不同的根，则数列{}n a 的通项公式为 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.(本小题满分12分)
在ABC ∆中，角、、A B C 的对边分别为、、a b c ，且(
)
()32cos 3cos c b A a C π--=.
(Ⅰ)求A 的值； (Ⅱ)若角,6
B B
C π
=
边上的中线7AM =，求ABC ∆得面积.
18. (本小题满分12分)
如图，在四棱锥P ABCD -中，ABD ∆是边长为23的正三角形，30,CBD CDB E ∠=∠=为棱PA 的中点.
(Ⅰ)求证：//DE 平面PBC ；
(Ⅱ)若平面PAB ⊥平面ABCD ，2PA PB ==，求二面角P BC E --的余弦值.
19. (本小题满分12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立. (Ⅰ)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
(Ⅱ)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系： 年入流量X
4080X <<
80120X ≤<
120X >
发电机最多可运行台数 1
2
3
若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值（期望）达到最大，应安装发电机多少台？ 20. (本小题满分12分)
如图，椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>左、右焦点分别为12,F F ，上顶点,A x 轴负半轴上有点B ，满足
112BF F F =，且2AB AF ⊥，若过2、、A B F 三点的圆与直线330x y --=相切.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)若,P Q 为椭圆上的点，且直线PQ 垂直于x 轴，直线:4l x =与x 轴交于点N ，直线2PF 与QN 交于点M ，求PMN ∆的面积的最大值.
21. (本小题满分12分)
已知函数()221
x
ax bx f x e
++=(e 为自然对数的底数). (Ⅰ)若1
2
a =
，求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)若()11f =，且方程()1f x =在(0,1)内有解，求实数a 的取值范围.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. (本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲
如图所示， 已知⊙1O 和⊙2O 相交于、A B 两点，过点A 作⊙1O 的切线交⊙2O 于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙1O 、⊙2O 于点、D E ，DE 与AC 相交于点P . (Ⅰ)求证：//AD EC ；
(Ⅱ)若AD 是⊙2O 的切线，且6,2,9PA PC BD ===，求AD 的长. 23. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程选讲
已知在平面直角坐标系xOy 内，点 (),P x y 在曲线C ：1cos sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=⎩，（θ为参数，R θ∈）上运动，以
Ox 为极轴建立极坐标系.直线l 的极坐标方程为cos 04πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭.
(Ⅰ)写出曲线C 的标准方程和直线l 的直角坐标方程；
(Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于、A B 两点，点M 在曲线C 上移动，求ABM ∆面积的最大值. 24. (本小题满分10分) 选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|2,f x x x a a R =-++∈. (Ⅰ) 当1a =时，解不等式()5f x ≥；
(Ⅱ) 若存在0x 满足()0023f x x +-<，求a 的取值范围.
厦门一中2016届高三（下）第二次周考
数学试题（理科）参考答案
一、选择题
ADBBDD CBCDBC
二、填空题
13.6 14.2 15. 162
3 16. ()()1*2
n n n a n N π-=∈
三、解答题 17.解：(Ⅰ)∵
(
)
()32cos 3cos c b A a C π--=，∴由正弦定理得：
(
)
()3sin 2sin cos 3sinAcos C B A C -⋅-=，即()2sin cos 3sin 3sin B A A C B =+=，又∵
()0,B π，∴sin 0B ≠，∴3cos 2A =
.又()0,A π∈,所以，6
A π
=. (Ⅱ)由66，B A ππ==，知a b =，在ACM ∆中，由余弦定理得2
2
27214cos 32b b b
π+-==-，解得2b =，∴13
22322
ABC S ∆=
⨯⨯⨯=. 18.解：(Ⅰ)证法1：【找线法】………………
证法2：【找面法】取AB 中点F ，连接、EF DF ，∴//EF PB ，∵EF ⊄面PBD ，PB ⊂面PBC ，∴
//DF 面PBD ，∴平面DEF //平面PBC ，∵DE ⊂平面DEF ，∴//DE 平面PBC
.
（Ⅱ）解：∵2,PA PB PF AB ==∴⊥，∵平面PAB ⊥平面ABCD ，交线为AB ，∴PF ⊥平面ABCD ，
且1PF =，连接DF ，分别取,,FB FD FP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则点
()(
)(
)
()()313,0,0,3,0,0,3,2,0,0,3,0,0,0,1,,0,22A B
C
D P
E ⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭
，设平面BCP 的法向量为
(),,3m x y =，则()()
0,2,0,3,0,1BC BP ==-，∴0,0,0,1m BC m BP y x ⋅=⋅===，即
角的余弦值为
57
14
.
19.解：(Ⅰ)
()()()1231035540800.2;801200.7;1200.1505050
p p X p p X p p X =<<=
==≤≤===≥==.由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为：
()()
43
43
14
34
3399194771140.947710101010000
p C p C p p ⎛⎫⎛⎫
=-+-=+⨯⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
（Ⅱ）记水电站总利润为Z （单位：万元）
①安装1台发电机的情形：由于水库年流入量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润
()5000,500015000Z E Z ==⨯=.
②安装2台发电机的情形：依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时50008004200=-=Z ，因此()()1420040800.2P Z P X p ==<<==；当80X ≥时，两台发电机运行，此时
5000210000Z =⨯=，因此()()2310000800.8P Z P X p p ==≥=+=，由此Z 的分布列如右：
()42000.2100000.88840E Z =⨯+⨯=.
Z 4200 10000 P
0.2
0.8
③安装3台发电机的情形：
依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时50000000=-16=34Z ，因此
()()1340040800.2P Z P X p ==<<==；当80120X ≤≤时，两台发电机运行，此时
500020000=-8=92Z ⨯，因此()()29200801200.7P Z P X p ==≤≤==.当120X >时，三台发电
机运行，此5000315000Z =⨯=，因此()()3150001200.1P Z P X p ==>==，由此Z 的分布列为：
Z 3400 9200 15000 P
0.2
0.7
0.1
所以()34000.292000.7150000.88620E Z =⨯+⨯+⨯=. 综上，欲使水电站年总利润的期望达到最大，应安装发电机2台. 20.解：(Ⅰ)由题得112AF F F =，即2132,,0,,022a c F a B a ⎛⎫⎛⎫
=∴-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，2Rt ABF ∆的外接圆圆心为11,02F a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，半径212r F B a ==，∵过2,,A B F 三点的圆与直线:330l x y --=相切，∴
1
3
2
2a a --=，解得：2,1,3a c b ===，∴所求椭圆方程为：22143
x y +=. (Ⅱ)设()()()11122,,0,,P x y y M x y ≠，则()22,Q x y ，∴22
11143
x y +=，2PF 与QN 的方程分别为：()()()()1111110,440y x x y y x x y ---=---=.则
()()()()111122
1111110
583,y 2525440
y x x y x y x x x y x x y ⎧---=-⎪⇒==⎨-----=⎪⎩， ∵
22
2243
x y
+=()
()
()
()()()
()()
2
22
2
2
21111112
222
11115835812583691425325425425x y x y x x x x x x --+-+-+===----，∴点M 恒
在椭圆C 上.设直线:1PM x ty =+，则()2222
1
346903412
x ty t y ty x y =+⎧⇒++-=⎨
+=⎩，记
()()1122,,,P x y M x y ，121222
649
,3434
y y y y t t --+=
=++，
()
22
1212122
121434
t y y y y y y t +-=
+-=+，令()2
11t λλ+=≥,则12212121
313y y λλλλ
-==++
，
∵函数1
3y λλ
=+
在[)1,+∞为增函数，∴当1λ=即0t =时，函数1
3y λλ
=+
有最小值4，即0t =时，
12min 3y y -=，又∵()21212max 139
222
PMN PMN S NF y y y y S ∆∆=
⋅-=-⋅=. 法2.可用交轨法中的斜率计算证明：点M 恒在椭圆C 上.(技术含量高，计算量小，但不易想) 法3.看不出点M 在椭圆上，面积也可用点的坐标表示，再换元，使用二次均值不等式而得（较繁）. 21.解：（Ⅰ）当1
2
a =
，()()()()221,'21x x f x x bx e f x x b x b e --⎡⎤=++=-+-+-⎣⎦，令()'0f x =，得121,1x x b ==-，当0b =时，()'0f x ≤.当0,11b b x >-<<时，()'0,x 1b f x ><-或1x >时，
()'0f x <；当0,11b x b <<<-时，()'0,x 1b f x >>-或1x <时，()'0f x <；
所以0b =时，()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞；
0b >时，()f x 的单调递增区间为()1,1b -，递减区间为()(),1,1,b -∞-+∞； 0b <时，()f x 的单调递增区间为()1,1-b ，递减区间为()(),1,1,b -∞-+∞.
(Ⅱ)由()11f =得21,12a b e b e a ++==--，由()11f =得21x
e ax bx =++，设
()21x g x e ax bx =---，则()g x 在()0,1内有零点.设0x 为()g x 在()0,1内的一个零点，则由()()00,10g g ==知()g x 在区间()00，x 和()01，x 上不可能单调递增，也不可能单调递减，设()()'h x g x =，则()h x 在区间()00，x 和()01，x 上均有零点，即()h x 在()0,1上至少有两个零点，()()'4,'4x x g x e ax b h x e a =--=-.
当1
4a ≤
时，()()'0,h x h x >在区间()0,1上递增，()h x 不可能有两个及以上零点； 当4e
a ≥时，()()'0,h x h x <在区间()0,1上递减，()h x 不可能有两个及以上零点；
当144
e
a <<时，令()'0h x =，得()()ln 40,1x a =∈，所以()h x 在()()0,ln 4a 上递减，在()()ln 41，a 上递增，()h x 在()0,1上存在最小值()()
ln 4h a .若()h x 有两个零点，则有：
()()()()ln 40,00,10h a h h <>>.
()()()()1ln 444ln 464ln 414
4e h a a a a b a a a e a ⎛⎫=--=-+-<< ⎪⎝⎭,设()()3ln 112x x x x e x e ϕ=-+-<<，则()1'ln 2
x x x ϕ=-，令()'0x ϕ=，得x e =.当1x e <<时，()'0x ϕ>，()x ϕ递增，当e x e <<时，()'0x ϕ<，()x ϕ递减，
()()max 10x e e e ϕϕ==+-<，所以()()ln 40h a <恒成立.
由()()01220,140h b a e h e a b =-=-+>=-->，得
2122e a -<<. 当2122
e a -<<时，设()h x 的两个零点为12,x x ，则()g x 在()10,x 递增，在()12,x x 递减，在()21，x 递增，所以()()()()1200,10g x g g x g >=<=，则()g x 在()12,x x 内有零点.综上，实数a 的取值范围是21,22e -⎛⎫ ⎪⎝
⎭. 22.解：(Ⅰ)证明：连接AB ，∵AC 是⊙1O 的切线，∴BAC D ∠=∠，又∵BAC E ∠=∠，∴D E ∠=∠，∴//AD EC .
(Ⅱ)∵PA 是⊙1O 的切线，PD 是⊙1O 的割线，∴2PA PB PD =⋅，∴()269PB PB =⋅+ ，∴3PB =，
在⊙2O 中由相交弦定理，得PA PC BP PE ⋅=⋅，∴4PE =.∵AD 是⊙2O 的切线，DE 是⊙2O 的割线，∴2
916,12AD DB DE AD =⋅=⨯∴=.
23.解：(Ⅰ)消参数θ得曲线C 的标准方程：()2211x y -+=.题得：cos sin 0ρθρθ-=，即直线l 的直角坐标方程为：0x y -=. (Ⅱ)圆心到l 的距离为12211d =
=+，则点M 到l 的最大距离为212d r +=+，2222122AB ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，∴()max 122121222
ABM S ∆⎛⎫+=⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭. 法2.设(),M x y ，则过M 且与l 垂直的直线'l 方程为：10x y +-=，则()221110
x y x y ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得
21222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或21222x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，经检验2122
2
x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩舍去，故当点221,22M ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭时，……
24.解：(Ⅰ) 当1a =时, ()|2|21f x x x =-++.由()5f x ≥得|2|215x x -++≥.
当2x ≥时，不等式 等价于2215x x -++≥，解得2x ≥，所以2x ≥；当122
x -<<时，等价于2215x x -++≥，即2x ≥，所以x ∈∅；当12-x ≤时，不等式等价于2215x x -+-≥，解得43
x ≤-，所以43x ≤-.故原不等式的解集为4|23或x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭
. (Ⅱ) ()()2222242244f x x x x a x x a x a x a +-=-++=-++≥+--=+,∵原命题等价于()()min 2
3,43,71f x x a a +-<+<∴-<<-.。