2018版高考一轮总复习数学(文)模拟演练第3章三角函数、解三角形3-7含答案

（时间：40分钟)
1．海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角,从B望C和A成75°视角，则BC＝（) A．10错误!n mile B．错误!n mile
C．5错误!n mile D．5错误!n mile
答案D
解析由题意可知，∠CAB＝60°，∠CBA＝75°，所以∠C＝45°，由正弦定理得错误!＝错误!,所以BC＝5错误!。

2。

如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为( ）
A．a km B．错误!a km
C．错误!a km D．2a km
答案B
解析 在△ABC 中,由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠ACB ＝a 2＋a 2－2a 2cos120°＝3a 2,故|AB |＝3a 。

3．某工程中要将一坡长为100 m ，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高度不变，则坡底需加长（ )
A ．100错误! m
B ．100错误! m
C ．50(错误!＋错误!） m
D ．200 m
答案 A 解析 设坡底需加长x m ，由正弦定理得错误!＝错误!，解得x ＝100错误!。

4．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°、60°，则塔高为( )
A ．4003
m B ．错误! m C ．错误! m
D ．错误! m
答案 A
解析如图,由已知可得∠BAC＝30°，
∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，
又AB＝200，∴AC＝400
3错误!.
在△ACD中,由正弦定理，得
错误!＝错误!，即DC＝错误!＝错误!(m)．
5。

如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km,水的流速为2 km/h,若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为( ）
A．8 km/h B．6 2 km/h
C．234 km/h D．10 km/h
答案B
解析设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h,由题意知，sinθ＝错误!＝错误!，从而cosθ＝错误!，所以由余弦定理得错误!2＝错误!2＋12－2×错误!×2×1×错误!,解得v＝6错误!。

6．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的错误!倍,甲船为了尽快追上乙船,则应取北偏东________(填角度)的方向前进．
答案30°
解析设两船在C处相遇，则由题意∠ABC＝180°－60°＝120°，且错误!＝错误!,
由正弦定理得错误!＝错误!＝
错误!⇒sin∠BAC＝错误!。

又0°<∠BAC<60°，所以∠BAC＝30°，60°－30°＝30°。

7．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°方向，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为______米．
答案700
解析由题意，△ABC中，AC＝300，BC＝500，∠ACB＝120°，利用余弦定理可得，AB2＝3002＋5002－2×300×500×cos120°，∴AB＝700。

8．如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0。

39，sin37°≈0。

60，cos37°≈0.80，3≈1.73)
答案60
解析AC＝2×46＝92，AB＝错误!，
在△ABC中，由正弦定理可知：
错误!＝错误!，∴BC＝错误!≈60。

9。

如图，为了测量河的宽度,在一岸边选定两点A,B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120米，求河的宽度．
解在△ABC中,∵∠CAB＝45°，∠CBA＝75°,
∴∠ACB＝60°。

由正弦定理可得AC＝错误!,
∴AC＝错误!＝20(3错误!＋错误!)．
设C到AB的距离为CD，则CD＝AC sin∠CAB＝错误!AC＝20(错误!＋3）．∴河的宽度为20（错误!＋3）米．
10．如图,点A，B，C在同一水平面上,AC＝4，CB＝6.现要在点
C处搭建一个观测站CD,点D在顶端．
(1）原计划CD为铅垂线方向，α＝45°，求CD的长；
(2)搭建完成后，发现CD与铅垂线方向有偏差，并测得β＝30°，α＝53°，求CD2。

(结果精确到1）
(本题参考数据:sin97°≈1，cos53°≈0。

6)
解（1）∵CD为铅垂线方向，点D在顶端，∴CD⊥AB.
又∵α＝45°，∴CD＝AC＝4。

(2）在△ABD中,α＋β＝53°＋30°＝83°，AB＝AC＋CB＝
4＋6＝10,∴∠ADB＝180°－83°＝97°，
∴由AD
sinβ＝错误!得
AD＝错误!＝错误!＝错误!≈5.
在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC cosα＝52＋42－2×5×4×cos53°≈17.
（时间:20分钟)
11．一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（)
A．10错误!海里B．10错误!海里
C．20 3 海里D．20错误!海里
答案A
解析如图所示,易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得错误!＝错误!，解得BC＝10错误!（海里）．
12. 某观察站B在A城的南偏西20°的方向,由A出发的一条公路的走向是南偏东25°。

现在B处测得此公路上距B处30 km的C 处有一人正沿此公路骑车以40 km/h的速度向A城驶去，行驶了15 min后到达D处，此时测得B与D之间的距离为8错误!km,则此人到达A城还需要（）
A．40 min B．42 min
C．48 min D．60 min
答案C
解析由题意可知，CD＝40×错误!＝10.
cos∠BDC＝错误!＝－错误!，
∴cos∠ADB＝cos(π－∠BDC）＝错误!，
∴sin∠ABD＝sin＝错误!.
在△ABD中,由正弦定理,得错误!＝错误!，
∴错误!＝错误!，∴AD＝32，∴所需时间t＝错误!＝0。

8 h，∴此人还需要0。

8 h即48 min到达A城．
13．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10000 m，速度为50 m/s。

某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔高度为________m．（取错误!＝1。

4，错误!＝1.7)
答案2650
解析如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知∠A ＝15°,∠DBC＝45°，∴∠ACB＝30°，
AB＝50×420＝21000（m）．
又在△ABC中，错误!＝错误!,
∴BC＝错误!×sin15°＝10500(错误!－错误!)（m）．
∵CD⊥AD,∴CD＝BC·sin∠DBC＝10500(错误!－错误!）×错误!＝10500（错误!－1）＝7350（m）．
故山顶的海拔高度h＝10000－7350＝2650(m）．
14．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向,相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进,若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度,沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
学必求其心得，业必贵于专精
解如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，
∠ABC＝120°。

根据余弦定理，得
（14x）2＝122＋（10x）2－240x cos120°，
解得x＝2.故AC＝28，BC＝20。

根据正弦定理，得错误!＝错误!，
解得sinα＝错误!＝错误!.
所以红方侦察艇所需要的时间为2小时,角α的正弦值为错误!。