2019年高考数学(理)二轮复习教师用书：第1部分 强化专题 专题1 第1讲 三角函数问题 Word版含答案 (52)

第2讲 解三角形问题
题型1 利用正、余弦定理解三角形
(对应学生用书第5页)
■核心知识储备………………………………………………………………………· 1．正弦定理及其变形
在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，
sin A ＝a
2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．
2．余弦定理及其变形
在△ABC 中，a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ；
变形：b 2
＋c 2
－a 2
＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc
.
3．三角形面积公式
S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12
ac sin B .
■典题试解寻法………………………………………………………………………·
【典题1】 (考查解三角形应用举例)如图2­1，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.
图2­1
[思路分析] 由已知条件及三角形内角和定理可得∠ACB 的值―→在△ABC 中，利用正弦定理求得BC ―→在Rt△BCD 中利用锐角三角函数的定义求得CD 的值． [解析] 依题意有AB ＝600，∠CAB ＝30°，
∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠DBC ＝30°，DC ⊥CB .
∴∠ACB ＝45°，
在△ABC 中，由AB sin∠ACB ＝CB
sin∠CAB ，
得600sin 45°＝CB sin 30°， 有CB ＝3002，
在Rt△BCD 中，CD ＝CB ·tan 30°＝1006， 则此山的高度CD ＝100 6 m. [答案] 100 6
【典题2】 (考查应用正余弦定理解三角形)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C
的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 2
3sin A
.
(1)求sin B sin C ；
(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长.
【导学号：07804011】
[解] (1)由题设得12ac sin B ＝a 2
3sin A ，即12c sin B ＝a
3sin A .
由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A
3sin A .
故sin B sin C ＝2
3
.
(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－1
2，
即cos(B ＋C )＝－1
2.
所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π
3
.
由题意得12bc sin A ＝a
2
3sin A ，a ＝3，所以bc ＝8.
由余弦定理得b 2
＋c 2
－bc ＝9， 即(b ＋c )2
－3bc ＝9. 由bc ＝8，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33. [类题通法]
1.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、
统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.
2.在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A 中，有a 2
＋c 2
和ac 两项，二者的关系a 2
＋c 2
＝a ＋c 2
－2ac 经常用到.
3.三角形形状判断的两种思路： 一是化角为边；二是化边为角.
注意：要灵活选用正弦定理或余弦定理，且在变形的时候要注意方程的同解性，如方程两边同除以一个数时要注意该数是否为零，避免漏解.
■对点即时训练………………………………………………………………………·
1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2c cos A ，c ＝2b cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
C [∵b ＝2c cos A ，c ＝2b cos A ， ∴b ＝4b cos 2A ，
即cos A ＝12，或cos A ＝－1
2(舍)．
∴b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．]
2．如图2­2，在△ABC 中，AB ＝2，cos B ＝1
3
，点D 在线段BC 上．
图2­2
(1)若∠ADC ＝3
4
π，求AD 的长；
(2)若BD ＝2DC ，△ACD 的面积为432，求sin∠BAD
sin∠CAD
的值.
【导学号：07804012】
[解] (1)在三角形中，∵c os B ＝13，∴sin B ＝22
3.
在△ABD 中，
AB sin∠ADB ＝AD
sin B
，
又AB ＝2，∠ADB ＝π4，sin B ＝223，∴AD ＝8
3.
(2)∵BD ＝2DC ，∴S △ABD ＝2S △ADC ，S △ABC ＝3S △ADC ，
又S △ADC ＝4
32，∴S △ABC ＝4 2.
∵S △ABC ＝1
2
AB ·BC sin∠ABC ，∴BC ＝6.
∵S △ABD ＝12AB ·AD sin∠BAD ，S △ADC ＝1
2
AC ·AD sin∠CAD ，
S ABD ＝2S △ADC ，∴
sin∠BAD sin∠CAD ＝2·AC
AB
，
在△ABC 中，AC 2
＝AB 2
＋BC 2
－2AB ·BC cos∠ABC ， ∴AC ＝42，∴sin∠BAD sin∠CAD ＝2·AC
AB
＝4 2.
■题型强化集训………………………………………………………………………·
(见专题限时集训T 1、T 2、T 3、T 4、T 5、T 6、T 9、T 10、T 11、T 13) 题型2 与三角形有关的最值、范围问题(答题模板)
(对应学生用书第6页)
与三角形有关的最值、范围问题一般涉及三角形的角度(或边长、面积、周长等)的最大、最小问题．(2015·全国Ⅰ卷T 16、2014·全国Ⅰ卷T 16、2013·全国Ⅱ卷T 17) ■典题试解寻法………………………………………………………………………·
【典题】 (本小题满分12分)(2013·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C ①
的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .②
(1)求B ；
(2)若b ＝2，③
求△ABC 面积的最大值.④
【导学号：07804013】
[审题指导]
又A ＝π－B ＋C ，⑤
故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ． ②
由①②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B ． 5分 又B ∈(0，π)，所以B ＝π
4
.
6分 (2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝2
4ac .
7分 由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2
－2ac cos π4
.
8分 又a 2＋c 2≥2ac ，⑥
故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立.
10分
因此△ABC 面积的最大值为2＋1. 12分
[阅卷者说]
1.求与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域的求法求解范围即可.注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0＜A 、B 、C ＜π，b －c ＜a ＜b ＋c ，三角形中大边对大角等.
2.在利用含有a 2
＋b 2
，
a ＋b
2
，ab 的关系等式求最值时常借助均值不等式.
■对点即时训练………………………………………………………………………
(2017·石家庄一模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin C
sin A －sin B
＝
a ＋b
a －c
. (1)求角B 的大小；
(2)点D 满足BD →＝2BC →
，且AD ＝3，求2a ＋c 的最大值．
[解] (1)sin C sin A －sin B ＝a ＋b a －c ，由正弦定理可得c a －b ＝a ＋b
a －c ，
∴c (a －c )＝(a －b )(a ＋b )， 即a 2
＋c 2
－b 2
＝ac . 又a 2
＋c 2
－b 2
＝2ac cos B ， ∴cos B ＝1
2
，
∵B ∈(0，π)，∴B ＝π
3
.
(2)法一：(利用基本不等式求最值)在△ABD 中，由余弦定理得c 2＋(2a )2
－2×2ac ×cos
π3＝32，
∴(2a ＋c )2
－9＝3×2ac .
∵2ac ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫2a ＋c 22
，
∴(2a ＋c )2－9≤34
(2a ＋c )2
，
即(2a ＋c )2
≤36,2a ＋c ≤6，当且仅当2a ＝c ，即a ＝32，c ＝3时，2a ＋c 取得最大值，最大
值为6.
法二：(利用三角函数的性质求最值)在△ABD 中，由正弦定理知2a sin∠BAD ＝c
sin∠ADB
＝
3sin
π3
＝23，
∴2a ＝23sin∠BAD ，c ＝23sin∠ADB ， ∴2a ＋c ＝23sin∠BAD ＋23sin∠ADB ＝23[sin∠BAD ＋sin∠ADB ]
＝23⎣⎢⎡⎦
⎥⎤sin∠BAD ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－∠BAD ＝6⎝
⎛⎭
⎪⎫32sin∠BAD ＋12cos∠BAD
＝6sin ⎝
⎛⎭⎪⎫∠BAD ＋π6. ∵∠BAD ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，2π3，
∴∠BAD ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6
，5π6，
∴当∠BAD ＋π6＝π2，即∠BAD ＝π
3时，2a ＋c 取得最大值，最大值为6.
■题型强化集训………………………………………………………………………·
(见专题限时集训T 7、T 8、T 12、T 14)
三年真题| 验收复习效果 (对应学生用书第7页)
1．(2016·全国Ⅲ卷)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于1
3
BC ，则cos A ＝
( )
A ．310
10
B ．
1010
C ．－
1010
D ．－31010
C [法一：设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 则由题意得S △ABC ＝12a ·13a ＝12ac sin B ，∴c ＝2
3
a .
由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2
＋29a 2－2×a ×23a ×22＝59a 2，∴b ＝53
a .
∴cos A ＝
b 2＋
c 2－a
2
2bc
＝59a 2＋29a 2－a 22×
53a ×2
3
a ＝－
10
10
.故选C. 法二：同方法一得c ＝23
a . 由正弦定理得sin C ＝23sin A, 又B ＝π4，∴sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A ＝23
sin A ，即22cos A ＋
22sin A ＝2
3
sin A ，∴tan A ＝－3，∴A 为钝角． 又∵1＋tan 2
A ＝1cos 2A ，
∴cos 2
A ＝110，
∴cos A
＝－
10
10
.故选C.] ＝45
，2．(2016·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A
cos C ＝5
13
，a ＝1，则b ＝________.
2113 [因为A ，C 为△ABC 的内角，且cos A ＝45，cos C ＝513， 所以sin A ＝35，sin C ＝1213
，
所以sin B ＝sin(π－A －C )＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝63
65.
又a ＝1，所以由正弦定理得b ＝
a sin B sin A ＝sin B sin A ＝6365×53＝21
13
.] 3．(2015·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围
是________．
(6－2，6＋2) [如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，
过点
C 作CF ∥A
D 交AB 于点F ，则BF <AB <B
E .
在等腰三角形CFB 中，∠FCB ＝30°，
CF ＝BC ＝2，∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2.
在等腰三角形ECB 中， ∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，
BE ＝CE ，BC ＝2，
BE
sin 75°＝2
sin 30°
，
∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2.
∴6－2<AB <6＋ 2.]
A ＋3
4．(2017·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin
cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；
(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积.
【导学号：07804014】
[解] (1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π
3.
在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2
－4c cos 2π3，
即c 2
＋2c －24＝0， 解得c ＝－6(舍去)，c ＝4. (2)
由题设可得∠
CAD ＝π
2
，
所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝
π6
. 故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为 12AB ·AD ·sin π6
1
2
AC ·AD ＝1.
又△ABC 的面积为1
2×4×2sin∠BAC ＝23，
所以△ABD 的面积为 3.。