2019年高考(理科)复习真题演练：选4-4 坐标系与参数方程

真题演练集训
1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝acos t
y ＝1＋asin t (t 为参数，
a>0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a.
解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2
＋(y －1)2
＝a 2
.C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆． 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中， 得到C 1的极坐标方程为ρ2
－2ρsin θ＋1－a 2
＝0. (2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
ρ2
－2ρsin θ＋1－a 2
＝0
ρ＝4cos θ.
若ρ≠0，由方程组得16cos 2
θ－8sin θcos θ＋1－a 2
＝0， 由tan θ＝2，可得16cos 2
θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2
＝0，解得a ＝ －1(舍去)或a ＝1. a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上． 所以a ＝1.
2．[2016·新课标全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2
＋y 2
＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
(2)直线l 的参数方程是⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝tcos αy ＝tsin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|＝10，求l 的斜率．
解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2
＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程，得ρ2
＋12ρcos α＋11＝0.
于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ
2
2－4ρ1ρ2
＝144cos 2
α－44.
由|AB|＝10，得cos 2
α＝38，tan α＝±153.
所以l 的斜率为
153或－15
3
.
3．[2016·新课标全国卷Ⅲ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝3cos α
y ＝sin α
(α为参
数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.
(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标． 解：(1)C 1的普通方程为x 2
3
＋y 2
＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4 ＝0.
(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ|的最小值即为P 到C 2的距离d(α)的最小值，
d(α)＝|3cos α＋sin α－4|
2
＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.
4．[2015·新课标全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2
＋(y －2)2
＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C 1，C 2的极坐标方程；
(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π
4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．
解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，
C 2的极坐标方程为ρ2
－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2
－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，
得ρ2
－32ρ＋4＝0， 解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝ 2. 由于C 2的半径为1， 所以△C 2MN 的面积为1
2
.
5．[2015·新课标全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝tcos α
y ＝tsin α(t 为参数，t≠0)，其中
0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.
(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；
(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB|的最大值．
解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－23x ＝0.
联立⎩⎨⎧
x 2＋y 2
－2y ＝0
x 2
＋y 2－23x ＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝0y ＝0
或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3
2y ＝32
.
所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝
⎛⎭
⎪⎫
32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)， 其中0≤α＜π.
因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB|＝|2sin α－23cos α| ＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π
6
时，|AB|取得最大值，最大值为4.
课外拓展阅读
直线参数方程中参数t 的几何意义
过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝x 0＋tcos α
y ＝y 0＋tsin α.(t 为参数)①
通常称①为直线l 的参数方程的“标准式”．其中参数t 的几何意义是：|t|是直线上任一点M(x ，y)到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M|＝|t|.
当0<α<π时，sin α>0，所以，直线l 的单位方向向量e 的方向总是向上．此时，若t>0，则M 0M →
的
方向向上；若t<0，则M 0M →
的方向向下；若t ＝0，则点M 与点M 0重合．即当点M 在M 0上方时，有t ＝|M 0M →
|；
当点M 在M 0下方时，有t ＝－|M 0M →
|.
该参数t 经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中，解题时通常过某定点作一直线与圆锥曲线相交于A ，B 两点，所求问题与定点到A ，B 两点的距离有关．解题时主要应用定点在直线AB 上，利用参数t 的几何意义，结合根与系数的关系进行处理，巧妙求出问题的解．
[典例1] 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C ：ρsin 2
θ＝2acos θ(a>0)，过点P(－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2＋2
2t y ＝－4＋22
t (t 为参数)．直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．
(1)求a 的取值范围；
(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a 的值．
[思路分析] (1)由题意知，曲线C 的直角坐标方程为y 2
＝2ax(a>0)，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，令Δ>0即可求得结果；
(2)设交点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，由参数方程中t 1，t 2的几何意义，可得t 1＋t 2＝2(42＋2a)，t 1t 2＝2(16＋4a)，然后由|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，可得|t 1－t 2|2
＝|t 1t 2|，代入求解即可．
[解] (1)由题意，可得曲线C 的直角坐标方程为y 2
＝2ax(a>0)，将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2＋22t y ＝－4＋22
t (t 为参数)代入曲线C 的直角坐标方程，得12
t 2
－(42＋2a)t ＋16＋4a ＝0，
因为直线l 与曲线C 交于M ，N 两点， 所以Δ>0，即a>0或a<－4.
又a>0，所以a 的取值范围为(0，＋∞)． (2)设交点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2. 则由(1)知，t 1＋t 2＝2(42＋2a)．t 1t 2 ＝2(16＋4a)，
若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，则|t 1－t 2|2
＝|t 1t 2|. 解得a ＝1或a ＝－4(舍去)， 所以实数a 的值为1.
[典例2] 过点M(2,1)作曲线x 2
＋4y 2
＝16的弦AB ，若M 为线段AB 的三等分点，求线段AB 所在直线的方程．
[思路分析]
[解] 设直线AB 的参数方程为
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋tcos αy ＝1＋tsin α(t 为参数)，
代入曲线方程，得
(cos 2
α＋4sin 2
α)t 2
＋4(cos α＋2sin α)t －8＝0， 令A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－4cos α＋8sin αcos 2α＋4sin 2
α，① t 1·t 2＝－8
cos 2α＋4sin 2
α
.② 因为点M(2,1)是弦AB 的三等分点，不妨令点M 为靠近点B 的一个三等分点， 所以t 1＝－2t 2，t 1＋t 2＝－t 2， t 1·t 2＝－2t 2
2＝－2(t 1＋t 2)2
，③
将①②代入③，得12tan 2
α＋16tan α＋3＝0， 可求得tan α＝－4±7
6
，
则AB 所在直线的方程为y －1＝－4±7
6(x －2)．。