2024届杭州高三上学期1月期末学业水平测试数学试题及参考答案

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2023 学年第一学期期末学业水平测试
高三数学参考答案
选择题部分 (共 60 分)
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
联立直线 y x 1与椭圆 x2 2y2 2 0 的方程得 3x2 4x 0 ，
…………2 分
所以 | PF1 | | QF2 || PF1 | | Q F1 |
2 | x1
x2
|
4 3
2．
（Ⅱ）联立直线
x
y k
1 与椭圆
x2
2y2
2
0
得
(
1 k2
2) y2
2y k
1 0
，
S1 S2 S△F1F2P S△F1F2Q y1 y2
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…………2 分 …………6 分
（Ⅱ）由 2(CD2 AD2 ) a2 b2 解得 CD 4 2 ．
…………8 分
故 cos BDC BD2 DC 2 a2 3 ．
2BD DC
4
18．（本题满分 12 分）
（Ⅰ）由 2
S2 a2S1 a1Fra bibliotekS3 a3
得2
2a1 2 a1 2
1
3a1 6 a1 4
4 3
,
4,
2)
得，直线
BD
与平面
ECA1
所成的角的正弦值为
|
cos
BD,
n
|
|
|BD BD |
n| |n
|
11 21
．
…………10 分 …………12 分
20．（本题满分 12 分）． （Ⅰ）设直线 PF1 与椭圆的另一个交点为 Q ，由椭圆的对称性得 Q,Q 关于原点对称．
设点 P(x1, y1) ， Q(x2 , y2 ) ．
，解得 a1
2．
故 an 2n ．
…………10 分 …………4 分 …………6 分
（Ⅱ）由（1）得 Sn n2 n ，
故 S2n 4n 2n ，
故数列 {S2n }
的前
n
项和为
4n1 3
2n1
10 3
．
19．（本题满分 12 分）
（Ⅰ）证明：由 BA AC ， BA AA1 得 BA 平面ACC1A1 ，故 BA A1C ，
…………8 分 …………10 分 …………12 分
…………2 分
由 CD 1, AC 2, AA1 4 且四边形 ACC1A1 为矩形得 AD A1C ，故 A1C 平面BDA ，…………4 分
第 1 页 （共 3 页）
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（Ⅱ）
P( A)
140 60 C2
200
，
P( AB)
19
90 41 C2
200
50
，
故 P(B | A) P(AB) 47 ． P(A) 105
22．（本题满分 12 分）
（Ⅰ） f (x) ( 1 ln x a)ex ，由 f (x) f (x) 得 ln x 1 a 0 ．
69 131 60 140
69 131 60 140
…………4 分
因为 2 x0.05 ，所以没有充分证据推断 H0 不成立，故元宵节的降水与中秋节的降水无关．
第 2 页 （共 3 页）
…………6 分
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所以 平面BDA 平面ECA1 ．
…………5 分
（Ⅱ）以 A 为原点， AB, AC, AA1 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系，
…………6 分
点 A1(0, 0, 4) ， B(2, 0, 0) ， B(2, 0, 4) ， C(0, 2, 0) ， D(0, 2,1) ，设点 E(2, 0,t) ，
x
2x
令 h(x) ln x 1 a ， 2x
因为 h(x) 在 (0, ) 上单调递增，故 h(x) 至多一个零点，
又因为
h(ea
)
1 2ea
0 ， h(e2a2 ) 2 a2
a
1 2e 2 a 2
1 a2
a
0
，
…………8 分 …………10 分 …………12 分
…………2 分
所以 x0 (ea , ea2 2 ) 使 h(x0 ) 0 ，故对于 a R ，函数 y f (x) 有唯一然点 x0 ． …………4 分
由
A1C
(0,
2,
4)
，
A1E
(2,
0,t
4)
得平面
ECA1
的法向量
n
(4
t,
4,
2)
，
由
A1B1
(2, 0, 0)
得点
B1 到平面
ECA1 的距离
d
|
A1B1
n
|n|
|
| 8 2t | 4 ， (4 t)2 20 7
…………8 分
解得 t 8 ， 3
由
BD
(2,
2,1)
，
n
(
2≤ 1 2k
2， 2
k
所以当 k
2 2
时，
S1
S2 取到最大值
2． 2
21．（本题满分 12 分）
…………4 分 …………6 分 …………10 分
…………12 分
（Ⅰ）零假设为 H0 ：元宵节的降水与中秋节的降水无关．
…………2 分
2 200（ 19 90 41 50）2 200 3402 0.3 1，
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．0
14．7
15．310
16． 6 2
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题满分 10 分）
（Ⅰ）由 1 ab sin C 4 7 得 sin C 7 ，
2
4
由角 C 为锐角得 cos C 3 ，故 c2 a2 b2 2ab cosC 32 ，解得 c 4 2 ． 4
题目要求的。
1．D
2．B
3．C
4．A
5．C
6．B
7．D
8．B
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9．ABD
10．BCD
11．ACD
非选择题部分 (共 90 分)
11．AC